Leggi orarie in coordinate polari
Per i tre moti sotto indicati si diano le leggi orarie in coordinate polari (r, φ).
Nei casi (1) e (2) si calcolino le componenti di velocit`a e accelerazione in coordinate polari. Nel caso (3) si specifichi quale `e la traiettoria seguita dal punto.
x2+ y2 = d2
|~v| = V = costante (1)
y = mx
|~v| = v0+ at (2)
x = ceγt
y = ce−γt (3)
Soluzione 1
Il moto `e circolare uniforme. L’equazione del moto `e:
r(t) = d
φ(t) = ±Vdt(+φ0) (4)
Una eventuale costante iniziale φ0 va specificata attraverso le condizioni iniziali. Inoltre, il segno della velocit`a angolare non `e specificato dal prob- lema, in quanto viene solamente dato il modulo della velocit`a, positivo per definizione. In seguito assumeremo il segno positivo.
La velocit`a ha solamente componente tangenziale:
˙r(t) = 0
φ(t) =˙ Vd (5)
L’accelerazione ha solamente componente radiale:
r(t) = −V¨ 2/d
phi(t) = 0¨ (6)
Soluzione 2
1
Il moto avviene lungo una retta di pendenza m ed `e uniformemente accelerato. L’equazione del moto in coordinate polari `e:
r(t) = r0± (v0t + 12at2)
φ(t) = atan(m) (7)
Come nel caso precedente, il problema non specifica il segno della ve- locit`a. In seguito assumeremo il segno positivo. Vecolit`a ed accelerazione sono dirette lunghe la direzione radiale, per cui:
˙r(t) = v0+ at
φ(t) = 0˙ (8)
e
r(t) = a¨
phi(t) = 0¨ (9)
Soluzione 3
Vediamo prima la traiettoria seguita dal punto materiale. Per far questo
`e necessario eliminare il parametro t dalle due equazioni. Questo si fa sem- plicemente moltiplicando membro a membro le due equazioni. Risulta:
xy = C2 (10)
che `e l’equazione di una iperbole equilatera. Si noti che x e y sono definiti solamente nel primo quadrante (per C > 0).
In coordinate polari:
r(t) = Ceγt√
1 − e−4γt
φ(t) = atan(e−2γt) (11)
2
