Possiamo rappresentarlo utilizzando le coordinate polari rispetto all’origine O = (0, 0) ( x = ⇢ cos ✓

Risoluzione

1. L’insieme {(x, y) 2 R ² | x ² + y ² = 9, x 0, y  0} `e rappresentato nel piano dall’arco di circonferenza x ² + y ² = 9, di centro l’origine e raggio 3, nel quarto quadrante

Possiamo rappresentarlo utilizzando le coordinate polari rispetto all’origine O = (0, 0) ( x = ⇢ cos ✓

y = ⇢ sin ✓ come

{(⇢, ✓) | ⇢ = 3, ✓ 2 [ ^⇡ ₂ , 0] }

2. L’insieme {(x, y) 2 R ² | (x 1) ² + y ² = 4, y 0 } nel piano rappresenta la porzione di circon- ferenza (x 1) ² + y ² = 4, di centro (1, 0) e raggio 2 nel primo e secondo quadrante

Possiamo rappresentarlo utilizzando le coordinate polari rispetto al centro P ₀ = (1, 0) ( x = 1 + ⇢ cos ✓

y = ⇢ sin ✓ come

{(⇢, ✓) | ⇢ = 2, ✓ 2 [0, ⇡]}

3. L’insieme {(x, y) 2 R ² | x ² + y ² = 4, y |x|} `e costituito dai punti della circonferenza di centro l’origine e raggio 2 che si trovano al di sopra del grafico della funzione y = |x|

Potremo quindi rappresentare tale insieme utilizzando le coordinate coordinate polari rispetto

all’origine O = (0, 0) (

x = ⇢ cos ✓ y = ⇢ sin ✓ come

{(⇢, ✓) | ⇢ = 2, ✓ 2 [ ^⇡ ₄ , ^3⇡ ₄ ] }

4. L’insieme {(x, y) 2 R ² | x ² + y ²  1, y p

3x } `e rappresentato nel piano cartesiano dai punti interni alla circonferenza x ² + y ² = 1 di centro l’origine e raggio 1 che si trovano al di sopra della retta y = p

3x

Osservato che i punti di intersezione della retta con la circonferenza sono i punti P _± = ( ± ¹ ₂ , ± ^p ₂ ³ ), possiamo rappresentare tale insieme utilizzando le coordinate polari rispetto all’origine come

{(⇢, ✓) | ⇢ 2 [0, 1], ✓ 2 [ ^⇡ ₃ , ^4⇡ ₃ ] }

5. L’insieme {(x, y) 2 R ² | 0 < x ² + y ² < 9, |y| < x} nel piano `e rappresentato dai punti interni alla circonferenzax ² + y ² = 9 diversi dall’origine, con ascissa x maggiore del valore assoluto dell’ordinata, ovvero che si trovano alla destra del grafico della funzione x = |y|

Possiamo rappresentare tale insieme utilizzando le coordinate polari rispetto all’origine come {(⇢, ✓) | ⇢ 2 (0, 3), ✓ 2 [ ^⇡ ₄ , ^⇡ ₄ ] }

6. L’insieme {(x, y) 2 R ² | x ² + ^y ₄

= 1, y  0} rappresenta i punti dell’ellisse x ² + ^y ₄

= 1, di centro l’origine e semiassi 1 e 2, con ordinata non positiva

Possiamo rappresentarlo utilizzando le coordinate polari ellittiche rispetto all’origine con parametri

1 e 2 (

x = ⇢ cos ✓ y = 2⇢ sin ✓ come

{(⇢, ✓) | ⇢ = 1, ✓ 2 [⇡, 2⇡]}

7. L’insieme {(x, y) 2 R ² | ^x ₉

+(y +1) ² = 1, x 0 } rappresenta i punti dell’ellisse ^x ₉

+(y + 1) ² = 1,

di centro (0, 1) e semiassi 3 e 1, con ascissa non negativa

Possiamo rappresentarlo utilizzando le coordinate polari ellittiche rispetto al centro (0, 1) con

parametri 3 e 1 (

x = 3⇢ cos ✓ y = 1 + ⇢ sin ✓ come

{(⇢, ✓) | ⇢ = 1, ✓ 2 [ ^⇡ ₂ , ^⇡ ₂ ] }

8. L’insieme {(x, y) 2 R ² | 0 < ^{(x 2)} ₄

+ y ²  1, x 2 } nel piano `e rappresentato dai punti interni all’ellisse ^{(x 2)} ₄

+ y ² = 1 di centro (2, 0) e semiassi 2 e 1 con ascissa maggiore o uguale a 2

Possiamo descriverlo utilizzando le coordinate polari ellittiche rispetto al centro (2, 0) con parametri

2 e 1 (

x = 2 + 2⇢ cos ✓ y = ⇢ sin ✓ come

{(⇢, ✓) | ⇢ 2 (0, 1], ✓ 2 [ ^⇡ ₂ , ^⇡ ₂ ] }

9. L’insieme {(x, y) 2 R ² | 4x ² + y ²  4, 0  y  2x} `e rappresentato nel piano cartesiano dai

punti interni all’ellisse x ² + ^y ₄

= 1 con ordinata non negativa, che si trovano al di sotto della

retta y = 2x

Osservato che il punto di intersezione della retta con la circonferenza e con ordinata non negativa

`e il punto P = ( ^p ₂ ² , p

2), possiamo rappresentarlo utilizzando le coordinate polari ellittiche rispetto all’origine con parametri 1 e 2

( x = ⇢ cos ✓ y = 2⇢ sin ✓ come

{(⇢, ✓) | ⇢ 2 [0, 1], ✓ 2 [0, ^⇡ ₄ ] } dato che il punto P corrisponde a ⇢ = 1 e ✓ = ^⇡ ₄ .

10. L’insieme {(x, y) 2 R ² | 1  ^x ₄

+ y ²  4, x 0 } `e rappresentato nel piano dai punti esterni all’ellisse ^x ₄

+ y ² = 1 e interni all’ellisse ^x ₁₆

+ ^y ₄

= 1 con ascisse non negative

Possiamo rappresentarlo utilizzando le coordinate polari ellittiche rispetto al centro l’origine con

parametri 2 e 1 (

x = 2⇢ cos ✓ y = ⇢ sin ✓ come

{(⇢, ✓) | ⇢ 2 [1, 2], ✓ 2 [ ^⇡ ₂ , ^⇡ ₂ ] }