Problema 1: (i) Studiare qualitativamente la soluzione y(t) del problema di Cauchy ( y 0 = t cot y,

Analisi Matematica IIb

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova finale del 13/04/2011

A.A. 2010/2011

Parte A. Risolvere i seguenti esercizi:

Problema 1: (i) Studiare qualitativamente la soluzione y(t) del problema di Cauchy ( y ⁰ = t cot y,

y(0) = ^π ₄ . e scriverne la soluzione esplicitamente.

(ii) Calcolare la soluzione di

( y ⁰ = t cot y, y(0) = ⁵ ₄ π.

Problema 2: Verificare che la superficie (Σ, ~r) di equazione parametrica

~r(u, v) = (u ² , u ² + cos v, sin v), (u, v) ∈ [0, 1] × [0, 2π],

`e regolare e scriverne l’equazione cartesiana.

Calcolare il flusso del campo F = (xe ^−y

+ z, xe ^−y

, y ² ) attraverso Σ.

Problema 3: Calcolare il seguente integrale Z

R

sin x x + x ³ dx.

Problema 4: Sia f il prolungamento periodico su R della funzione ( 1, −π ≤ x < 0,

− ¹ ₂ , 0 ≤ x < π.

Calcolare la serie di Fourier associata a f , studiarne la convergenza, scri- vere l’identit`a di Parseval e sfruttare i risultati ottenuti per calcolare la somma delle seguenti serie numeriche:

X ∞ n=0

1 (2n + 1) ² ,

X ∞ n=0

(−1) ⁿ 2n + 1 .

Parte B. Discutere i seguenti argomenti:

Tema 1: Teorema dei Moltiplicatori di Lagrange.

Tema 2: Formula integrale di Cauchy: dimostrazione ed alcune sue applicazioni.