UNIVERSIT ` A DEGLI STUDI DI FERRARA
FACOLT `A DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI
Corso di Laurea Triennale in Matematica
Indirizzo Didattica della Matematica e Divulgazione Scientifica
STRUMENTI DELLA TOPOLOGIA GENERALE IN ANALISI FUNZIONALE
Relatore:
Chiar.mo Prof.
Josef Eschgf ¨aller
Laureanda:
Lucilla Baldini
Anno Accademico 2009-2010
Indice
Introduzione 3
1. Richiami sugli spazi di Banach 6
2. Il teorema di Stone-Weierstrass 12
3. Il teorema del Dini 20
4. Spazi metrici totalmente limitati 21
5. Il teorema di Ascoli-Arzel `a 25
6. Il teorema di Baire 31
7. Il teorema di Hahn-Banach 40
8. Il teorema di Banach-Steinhaus 51
9. Il teorema dell’applicazione aperta 54
10. Topologie deboli e dualit `a 58
11. Algebre di Banach 60
Bibliografia 67
Introduzione
La tesi raccoglie i pi `u importanti strumenti topologici dell’analisi funzionale lineare in spazi vettoriali normati. Questi teoremi classi- ci spesso non sono affatto banali e vengono utilizzati in molti campi dell’analisi nello studio di spazi di funzioni, ad esempio per teoremi di esistenza o enunciati di continuit `a. Essi costituiscono il punto di partenza anche per rami molto attuali della matematica e della fisica matematica, ad esempio dell’analisi complessa in pi `u variabili e della geometria non commutativa.
Il primo capitolo introduce i concetti di spazio vettoriale normato e di spazio di Banach (uno spazio vettoriale normato completo). Si di- mostra tra l’altro che uno spazio vettoriale normato `e uno spazio di Banach se e solo se ogni serie assolutamente convergente `e conver- gente.
Nel secondo capitolo si dimostra il teorema di approssimazione di Stone-Weierstrass, ottenuto tramite il lemma di Zem ´anek da un risul- tato sui sottoreticoli vettoriali di C(Ω, R). Questo teorema permette di raggiungere molti risultati in spazi di funzioni dimostrandoli per polinomi o funzioni trigonometriche.
Il terzo capitolo contiene il teorema del Dini sulla convergenza uni- forme di una successione monotona di funzioni continue su uno spazio compatto.
Un sottoinsieme di Rn `e compatto se e solo se `e chiuso (o equivalen- temente completo) e limitato. In uno spazio metrico generale bisogna chiedere una forma pi `u forte di limitatezza, la totale limitatezza. Que- sto concetto viene introdotto e discusso nel quarto capitolo. Di grande aiuto `e qui l’uso di filtri: uno spazio metrico `e completo se e solo se ogni filtro di Cauchy su esso converge ed `e totalmente limitato se e solo se ogni ultrafiltro `e un filtro di Cauchy. Con ci`o si dimostra facilmente che uno spazio metrico `e compatto se e solo se `e totalmente limitato e completo.
Uno dei pi `u importanti teoremi sugli spazi di funzioni `e il teore- ma di Ascoli-Arzel `a a cui `e dedicato il quinto capitolo. Un insieme di funzioni continue su uno spazio compatto `e relativamente compatto nella topologia indotta dalla norma se e solo se `e equicontinuo e limi- tato in ogni punto. Questo teorema implica in particolare il teorema di Vitali-Montel dell’analisi complessa: un insieme di funzioni olomorfe su un aperto di Cn `e compatto se e solo se `e limitato e chiuso nella topologia di Fr´echet. In questo capitolo si dimostra inoltre il teorema di ricoprimento di Lebesgue che a sua volta permette di ottenere come corollario che un insieme equicontinuo su uno spazio metrico compatto
`e uniformemente equicontinuo.
Il teorema di Baire e le sue conseguenze appartengono agli stru- menti maggiormente utilizzati per teoremi di esistenza in topologia e analisi. Gli spazi topologici di Baire vengono presentati nel sesto capi- tolo. Uno spazio topologico si chiama di Baire se per ogni successione
A1, A2, . . . di aperti densi l’intersezione
∞T
n=1
An`e densa. Si dimostra che due delle pi `u importanti classi di spazi topologici possiedono questa propriet `a: ogni spazio metrico completo `e uno spazio di Baire e ogni spazio localmente compatto e di Hausdorff `e di Baire (in particolare quindi ogni spazio compatto e di Hausdorff). La seconda met `a del ca- pitolo fornisce delle condizioni per cui un sottoinsieme di uno spazio di Baire `e ancora di Baire; qui si rivela utile la suddivisione in insiemi di prima e seconda categoria. Particolarmente significativo `e il risul- tato che ogni Gδ denso in un spazio di Baire `e ancora uno spazio di Baire. Come applicazioni facciamo vedere che non esiste una funzione R −→ R continua esattamente sui numeri razionali e che uno spazio di Banach di dimensione infinita non pu`o possedere una base nume- rabile.
Il settimo capitolo contiene il teorema di Hahn-Banach che si rivela fondamentale per la teoria di struttura degli spazi vettoriali topolo- gici. Inizialmente si introducono le funzioni sublineari (a valori reali) su uno spazio vettoriale e quindi si dimostra che i funzionali lineari sono esattamente le funzioni sublineari minimali. A questo punto con l’aiuto del lemma di Zorn segue facilmente che per ogni funzione sub- lineare f esiste una funzione lineare α con α ≤ f . Questo approccio generale pu`o essere variato in molti modi e conduce ad enunciati di struttura estremamente importanti. In particolare si dimostra che in uno spazio vettoriale normatoX per ogni sottospazio vettoriale Y ed ogniα0 ∈ Y′ esiste un’estensione α ∈ X′ tale chekαk = kα0k e che X′ separa i punti diX. Soltanto con ci`o si riesce a dimostrare che X′ 6= 0.
In particolare si ottiene un’immersione isometrica lineareX −→ X′′. Una semplice, ma tipica applicazione `e il risultato che uno spazio vet- toriale normato, il cui duale `e separabile, `e anch’esso separabile.
Nell’ottavo capitolo usiamo il teorema di Baire per dimostrare il principio di uniforme limitatezza e il teorema di Banach-Steinhaus.
Quest’ultimo lo useremo nel decimo capitolo per dimostrare che per una successione
x xn X′-convergente in uno spazio vettoriale norma- toX, l’insieme {kxnk | n ∈ N} `e limitato.
Nel nono capitolo, ancora con l’aiuto del teorema di Baire, si di- mostra che un’applicazione lineare continua e suriettiva tra spazi di Banach `e aperta (teorema dell’applicazione aperta). Da ci`o segue il teo- rema del grafico chiuso: un’applicazione lineare tra spazi di Banach il cui grafico `e chiuso `e continua.
Nel decimo capitolo per uno spazio vettoriale normatoX si introdu- cono laX′-topologia suX e la X-topologia su X′, che nella letteratura sono note come topologia debole e∗-debole. Una semplice ma impor- tante conseguenza del teorema di Tikhonov della topologia generale `e il teorema di Alaoglu: la palla unitaria del duale diX `e X-compatta.
Il conclusivo undicesimo capitolo contiene un’introduzione alla teo- ria delle algebre di Banach commutative, dimostrando, all’inizio, che lo spettro di un operatore lineare ϕ in uno spazio di Banach `e com- patto, non vuoto e limitato dalla normakϕk. In questo modo si ottiene
dapprima il teorema di Gelfand-Mazur che afferma che ogni algebra di Banach che `e un campo `e isomorfa in modo naturale a C. Siccome per un ideale massimale m di un’algebra di BanachA, l’algebra A/m `e sempre un campo, si arriva cos`ı al primo teorema fondamentale della teoria spettrale di Gelfand: l’applicazione
a
m
fm : A −→ C(Max A, C)
`e un omomorfismo di algebre di Banach con nucleo T
m∈Max A
m.
1. Richiami sugli spazi di Banach
Situazione 1.1.Usiamo le seguenti notazioni:
R+ := [0, ∞) K:= R oppure C
Definizione 1.2.Sia X uno spazio vettoriale su K. Una seminorma su X `e un’applicazionekk : X −→ R+ tale che per ogni x, y ∈ X ed ogni λ∈ K siano soddisfatte le seguenti condizioni:
(1) kx + yk ≤ kxk + kyk.
(2) kλxk = |λ| kxk.
Si noti che la(2) implica k0k = 0. Se inoltre (3) kxk = 0 =⇒ x = 0,
allorakk si chiama una norma.
La coppia X = (X, kk) si chiama uno spazio seminormato (nel caso di una seminorma) rispettivamente uno spazio normato (nel caso di una norma).
Nella teoria generale degli spazi vettoriali topologici (non normati) seminorme vengono spesso denotate con lettere: p, q, . . .
Osservazione 1.3.Sia X uno spazio seminormato. Se poniamo d(x, y) := kx − yk, allora (X, d) `e uno spazio semimetrico. Se kk `e una norma, allora(X, d) `e uno spazio metrico.
Concetti topologici si riferiranno sempre alla semimetrica risp.
metrica d.
Dimostrazione. `E sufficiente verificare la disuguaglianza triangolare. Per x, y, z∈ X abbiamo
d(x, z) = kx − zk = kx − y + y − zk ≤ kx − yk + ky − zk = d(x, y) + d(y, z) Lemma 1.4. Sia(X, d) uno spazio semimetrico. Per x, y, u, v ∈ X allora
|d(x, y) − d(u, v)| ≤ d(x, u) + d(y, v) Dimostrazione. Abbiamo
d(x, y) ≤ d(x, u) + d(u, v) + d(v, y) e quindi
d(x, y) − d(u, v) ≤ d(x, u) + d(y, v) e similmente
d(u, v) ≤ d(u, x) + d(x, y) + d(y, v) e quindi
d(u, v) − d(x, y) ≤ d(x, u) + d(y, v)
Corollario 1.5. Sia(X, d) uno spazio semimetrico. Allora l’applicazione d: X × X −→ R `e uniformemente continua (rispetto alla semimetrica naturale su X× X).
Corollario 1.6. Sia X uno spazio seminormato. Per x, y, u, v∈ X allora
|kx − yk − ku − vk| ≤ kx − uk + ky − vk
Corollario 1.7. Sia X uno spazio seminormato. Per x, y∈ X allora
|kxk − kyk| ≤ kxk + kyk
Corollario 1.8. Sia X uno spazio seminormato. Allora l’applicazione kk : X −→ R `e uniformemente continua.
Definizione 1.9.Uno spazio di Banach (reale risp. complesso) `e uno spazio normato (reale risp. complesso) completo (rispetto alla metrica definita dalla norma).
Osservazione 1.10.Siano(X, d) uno spazio metrico e
n
xn una suc- cessione di Cauchy in X. Sia n0 < n1 < n2 < ... una successione stret- tamente crescente di numeri naturali tali che
k
xnk−→ x per qualche x∈ X. Allora anche
n
xn−→ x.
Dimostrazione. Sia ε >0. Allora esiste ν ∈ N tale che d(xn, xm) < ε
2 per n, m≥ ν, perch´e la successione
n
xn`e di Cauchy.
La convergenza della successione
k
xnk implica per`o anche che esiste k∈ N con nk≥ ν tale che d(xnh, x) < ε
2. Allora per n≥ nkabbiamo
d(xn, x) ≤ d(xn, xnk) + d(xnk, x) < ε 2+ ε
2 = ε
Definizione 1.11. Sia X uno spazio normato. Una serie
∞
P
n=0
an in X si dice assolutamente convergente, se la serie di numeri reali
∞
P
n=0
kank converge.
Proposizione 1.12. Sia X uno spazio normato. Allora sono equiva- lenti:
(1) X `e uno spazio di Banach.
(2) Ogni serie assolutamente convergente in X converge.
Dimostrazione.(1) ⇒ (2): Sia
n
anuna successione di elementi di X tale che
∞
P
n=0
kank converge. Per n ∈ N poniamo xn:=
n
P
k=0
ak.
Per n≥ m allora kxn− xmk = k
n
P
k=m+1
akk ≤
n
P
k=m+1
kakk E chiaro a questo punto che`
n
xn `e una successione di Cauchy e per ipotesi questa successione converge. Ci`o significa proprio che la serie
∞
P
n=0
anconverge.
(2) ⇒ (1): Sia
n
xn una successione di Cauchy in X. Allora possiamo trovare una successione
k
nk di numeri naturali tale che
n0< n1 < n2 < . . . ekxnk+1− xnkk < 1
2k per ogni k.
La serie
∞
P
k=0
kxnk+1 − xnkk `e allora assolutamente convergente e per ipotesi converge anche la serie
∞
P
k=0
(xnk+1− xnk), le cui somme parziali sono proprio gli xnk. Per l’oss. 1.10 converge anche la successione
n
xn. Proposizione 1.13. Siano X uno spazio metrico ed A⊂ X.
(1) Se X `e completo ed A un chiuso di X, allora A `e completo.
(2) Se A `e completo, allora A `e chiuso in X.
Dimostrazione.(1) Se
n
an `e una successione di Cauchy in A, allora
n
an `e una successione di Cauchy anche in X. Perci`o esiste x ∈ X tale che
n
an−→ x. Ci`o significa x ∈ A = A.
La successione
n
an `e perci`o convergente in A.
(2) Sia x ∈ A. Allora esiste una successione
n
anin A tale che
n
an −→ x. La successione convergente
n
an `e di Cauchy in A; per ipotesi esiste a∈ A tale che
n
an −→ a. Per l’unicit `a del limite in uno spazio metrico x= a ∈ A.
Corollario 1.14. Siano X uno spazio di Banach ed E un sottospazio vettoriale di X. Allora sono equivalenti:
(1) E `e uno spazio di Banach.
(2) E `e chiuso in X.
Definizione 1.15.Per un insiemeΩ sia
l∞(Ω) := l∞(Ω, K) := {f : Ω −→ K | f `e limitata } Per f ∈ l∞(Ω) poniamo
kf kΩ:= sup{|f (ω)| | ω ∈ Ω}
Invece dikkΩ si usa spesso il simbolokk∞. Per spazi topologiciΩ ed S siano
C(Ω, S) := {f : Ω −→ S | f `e continua } C(Ω) := C(Ω, K)
Cb(Ω) := Cb(Ω, K) := C(Ω) ∩ l∞(Ω)
SeΩ `e compatto, allora C(Ω) ⊂ l∞(Ω) e per f ∈ C(Ω) si ha kf kΩ= max {|f (ω)| | ω ∈ Ω}
Proposizione 1.16. SiaΩ un insieme non vuoto. Allora (l∞(Ω), kkΩ) `e uno spazio di Banach.
Dimostrazione.(1) `E immediato che l∞(Ω) `e uno spazio vettoriale e si verifica facilmente chekk := kkΩ `e una norma.
(2) Dimostriamo la completezza.
Sia
n
fnuna successione di Cauchy in l∞(Ω). Per n, m ∈ N ed x ∈ Ω allora |fn(x) − fm(x)| ≤ kfn− fmk, cosicch´e la successione
n
fn(x) `e una successione di Cauchy in R che converge a un valore che
denotiamo con f(x).
In questo modo otteniamo una funzione f := Ω −→ K. Dobbiamo dimostrare che f `e limitata e che lim
n→∞kfn− f k = 0.
Sia ε > 0. Per ipotesi esiste N ∈ N tale che kfn− fmk < ε 2 per n, m≥ N . Sia x ∈ Ω. Siccome per costruzione lim
n→∞fn(x) = f (x), esiste n′≥ N tale che |fn(x) − f (x)| < ε
2 per ogni n≥ n′. In particolare|fn′(x) − f (x)| < ε
2. Per n≥ N abbiamo quindi
|fn(x) − f (x)| ≤ |fn(x) − fn′(x)| + |fn′(x) − f (x)|
≤ kfn− fn′k +ε 2 < ε
2 +ε 2 = ε Abbiamo perci`o in particolare
|f (x)| ≤ |fN(x)| + |f (x) − fN(x)| ≤ kfNk + ε
Si noti che N non dipende da x. Ci`o mostra che la funzione f `e limitata, cosicch´e, tenendo conto della disuguaglianza|fn(x) − f (x)| < ε valida per ogni n ≥ N , possiamo scrivere kfn − f k ≤ ε e ci`o implica che
n→∞lim kfn− f k = 0.
Lemma 1.17. SianoΩ un insieme non vuoto ed f, g ∈ l∞(Ω). Allora kf gkΩ ≤ kf kΩkgkΩ
Dimostrazione. Sia x∈ Ω. Allora
|f g(x)| = |f (x)| |g(x)| ≤ kf kΩkgkΩ
Proposizione 1.18. Sia Ω uno spazio topologico non vuoto. Allora (Cb(Ω), kkΩ) `e uno spazio di Banach.
Dimostrazione. Cb(Ω) `e un sottospazio vettoriale di l∞(Ω), perci`o per la prop. 1.16 e il cor. 1.14 `e sufficiente dimostrare che Cb(Ω) `e chiuso in l∞(Ω) rispetto alla norma kk := kkΩ.
Siano
n
fnuna successione in Cb(Ω) ed f ∈ l∞(Ω) tali che
n→∞lim kfn− f k = 0. Dobbiamo dimostrare che f `e continua.
Siano x∈ Ω ed ε > 0. In primo luogo esiste m ∈ N tale che kfm−f k < ε 3. Per la continuit `a di fm esiste un intorno U di x tale che per ogni y∈ U si abbia |fm(y) − fm(x)| < ε
3 e quindi anche
|f (y) − f (x)| ≤ |f (y) − fm(y)| + |fm(y) − fm(x)| + |fm(x) − f (x)|
<kf − fmk + |fm(y) − fm(x)| + kfm− f k
<2kfm− f k + ε 3 <2ε
3 +ε 3
Corollario 1.19. Sia Ω uno spazio topologico non vuoto e compatto.
Allora(C(Ω), kkΩ) `e uno spazio di Banach.
Nota 1.20.In particolare `e uno spazio di Banach lo spazio C([a, b]) per a, b ∈ R con a < b. Per il teorema di approssimazione di Weierstrass (che dimostreremo nel prossimo capitolo) ogni elemento di C([a, b]) `e limite uniforme (cio`e rispetto alla norma kkΩ) di una successione di polinomi. Ci`o mostra che C1([a, b]) `e denso (e quindi sicuramente non chiuso) in C([a, b]). Per il cor. 1.14 perci`o C1([a, b]) non `e uno spazio di Banach rispetto alla normakk[a,b].
Definizione 1.21.Sia(X, d) uno spazio metrico. Un’applicazione τ : X −→ X `e detta una contrazione, se esiste α ∈ [0, 1] tale che
d(τ (x), τ (y)) ≤ αd(x, y)
per ogni x, y∈ X. α si chiama un fattore di contrazione per τ .
Una contrazione `e evidentemente uniformemente continua e quindi anche continua.
Proposizione 1.22 (teorema del punto fisso di Banach). Siano (X, d) uno spazio metrico completo non vuoto e τ : X −→ X una con- trazione. Allora esiste esattamente un punto fisso x0di τ , cio`e un punto x0 ∈ X tale che τ (x0) = x0.
Inoltre lim
n→∞τn(x) = x0per ogni x∈ X.
Dimostrazione. Nibbi, pag. 15.
Definizione 1.23.Per p∈ [1, ∞) sia lp(N) := lp(N, K) :=
x= (x0, x1, . . .) ∈ KN |
∞
P
n=0
|xn|p <∞
Si dimostra facilmente (utilizzando la disuguaglianza di H¨older) che lp(N) diventa uno spazio di Banach con la norma
kxkp :=
∞ P
n=0
|xn|p
1p
Lo spazio di Banach l∞(N) `e invece un caso speciale degli spazi l∞(Ω) introdotti nella definizione 1.15.
Definizione 1.24. Sia (Ω, A, p) uno spazio di misura. Per p ∈ [1, ∞) poniamo
Lp(Ω) := Lp(Ω, K) := Lp(Ω, A, p, K) :=
:=
f : Ω −→ K | f misurabile e Z
|f (w)|pdp(w) < ∞
Allora con kf kp := R |f(w)|pdp(w)p1
otteniamo una seminorma su Lp(Ω) che, identificando funzioni f e g per le quali kf − gkp = 0, defi- nisce uno spazio Lp(Ω) e una norma su di esso. Si dimostra (teorema di Riesz-Fischer) che Lp(Ω) `e uno spazio di Banach.
Similmente si definisconoL∞(Ω) e lo spazio di Banach L∞(Ω) median- te il supremo essenziale.
Rimandiamo ai corsi di analisi per i dettagli.
Osservazione 1.25. Siccome l’integrale di una funzione misurabile f ≥ 0 si annulla se e solo se l’insieme (f > 0) ha misura nulla (El- strodt, pag. 124), nella definizione 1.24 due funzioni f e g per p∈ [1, ∞) definiscono lo stesso elemento in Lp(Ω) se e solo se µ(f 6= g) = 0. Segue facilmente dalla definizione di supremo essenziale che ci`o rimane vero anche per p= ∞.
2. Il teorema di Stone-Weierstrass
Situazione 2.1.SiaΩ un insieme non vuoto, quando non indicato di- versamente.
Definizione 2.2.Sia F ⊂ KΩ. Diciamo che F separa i punti, se per x, y∈ Ω con x 6= y esiste sempre una funzione f ∈ F tale che
f (x)6= f(y).
Osservazione 2.3.SiaF un sottospazio vettoriale di KΩ che contie- ne le funzioni costanti e separa i punti. Siano α, β ∈ R ed x, y ∈ Ω.
Allora:
(1) Sex6= y, allora esiste f ∈ F tale che f(x) = α ed f(y) = β.
(2) Esistef ∈ F tale che f(x) = α.
Dimostrazione.(1) Per ipotesi esiste g ∈ F tale che g(x) 6= g(y).
Poniamo allora
f := (α− β)g + βg(x) − αg(y) g(x)− g(y)
Le nostre ipotesi implicanof ∈ F. Inoltre f (x) = (α− β)g(x) + βg(x) − αg(y)
g(x)− g(y) = αg(x)− αg(y) g(x)− g(y) = α f (y) = (α− β)g(y) + βg(x) − αg(y)
g(x)− g(y) = −βg(y) + βg(x) g(x)− g(y) = β (2) Per ipotesi la costante α appartiene adF.
Definizione 2.4.Un sottoreticolo vettoriale di RΩ `e un sottospazio vet- toriale F di RΩ tale che per f ,g ∈ F si abbia sempre f ∨ g ∈ F ed f∧ g ∈ F.
E’ chiaro cheF contiene le funzioni costanti se e solo se 1 ∈ F.
Teorema 2.5. SiaΩ uno spazio topologico compatto non vuoto. SiaF un sottoreticolo vettoriale diC(Ω, R) che contiene le funzioni costanti e separa i punti. AlloraF = C(Ω, R).
Dimostrazione. Seguiamo Schaefer, pagg. 243-244.
La chiusuraF nell’enunciato si riferisce naturalmente alla topologia indotta dalla normakk := kkΩ.
Sianof ∈ C(Ω, R) ed ε > 0.
(1) Sia x∈ Ω. Per l’oss. 2.3 allora per ogni y ∈ Ω esiste una funzione gy ∈ F tale che gy− f si annulli sia in x che in y. Queste funzioni sono tutte continue, perci`o per ogniy∈ Ω esiste Uy ∈ U(y) tale che
gy(z) > f (z) − ε per ogni z ∈ Uy. Siccome Ω `e compatto, esistono y1, . . . , ym ∈ Ω tali che Ω = Uy1∪ . . . ∪ Uym. Se adesso definiamo
hx := gy1 ∨ . . . ∨ gym : Ω−→ R allorahx∈ F e inoltre hx> f − ε.
(2) Per ogni x∈ Ω per`o hx− f si annulla in x, cosicch´e esiste
Vx ∈ U(x) tale che hx(z) < f (z) + ε per ogni z ∈ Vx. Per la compattezza diΩ esistono x1, . . . , xn∈ Ω tali che Ω = Vx1∪ . . . ∪ Vxn. Sia ora
h := hx1∧ . . . ∧ hxn: Ω−→ R Allorah∈ F e inoltre h < f + ε.
Siccome per`ohx > f − ε per ogni x ∈ Ω, abbiamo anche h > f − ε e cos`ı in tuttof − ε < h < f + ε. Ci`o implica kf − hk < ε.
(3) Abbiamo cos`ı dimostrato che f ∈ F.
Definizione 2.6.Una sottoalgebra di KΩ `e un sottospazio vettorialeF di KΩtale che perf, g∈ F si abbia sempre fg ∈ F.
Osservazione 2.7.SiaF una sottoalgebra di l∞(Ω). Allora ancheF `e una sottoalgebra dil∞(Ω).
Lemma 2.8 (Zem ´anek). SiaF una sottoalgebra chiusa di l∞(Ω) che contiene le funzioni costanti.
Siaf ∈ F ed f ≥ 0. Allora√ f ∈ F.
Dimostrazione. Seguiamo Heuser,2o volume, pag. 60.
Siakk := kkΩ. Usiamo pi `u volte il lemma 1.17.
(1) Supponiamo prima chek1 − fk < 1. Scegliamo α in modo tale che k1 − fk < α < 1 e poniamo E := (kFk ≤ α).
Per la prop. 1.16l∞(Ω) `e uno spazio di Banach; siccome F `e chiusa inl∞(Ω), per la prop. 1.13F `e completa. E `e chiuso in F e quindi per la stessa proposizioneE `e uno spazio metrico completo, evidentemente non vuoto. Dimostriamo che l’applicazione
A :=
u
1− f + u2
2 :E −→ E `e ben definita e una contrazione.
(a) Sia u∈ E. Allora
1− f + u2 2
≤ k1 − fk + ku2k 2
1.17≤ k1 − fk + kuk2
2 < α + α2 2 < α Perci`o l’applicazioneA `e ben definita.
(b) Dimostriamo che A `e una contrazione. Siano u, v∈ E. Allora kA(u) − A(v)k =ku2− v2k
2 = k(u − v)(u + v)k 2
≤ ku − vkku + vk
2 ≤ kuk + kvk
2 ku − vk
≤ α + α
2 ku − vk = αku − vk
(c) Per la prop. 1.22 esiste perci`o una funzione u∈ E tale che 1− f + u2
2 = u.
Ci`o significa che1− f + u2= 2u ovvero f = u2− 2u + 1 = (1 − u)2. (d) Per ipotesi f ≥ 0, perci`o la funzione√
f =
x pf(x) `e ben definita e chiaramente√
f ∈ l∞(Ω).
Per ognix ∈ Ω abbiamo pf(x) = ±(1 − u(x)). Ci`o implica u(x) ∈ R anche quando K = C. Per`o u ∈ E, cosicch´e 0 ≤ u(x) ≤ α < 1, per cui 1− u(x) > 0. Ci`o implica√
f = 1− u. Adesso `e chiaro che√ f ∈ F.
(2) Rinunciando all’ipotesik1 − fk < 1, supponiamo per`o che esista un ε > 0 tale che f ≥ ε. Siccome la funzione f `e limitata, abbiamo allora0 < ε≤ f ≤ kfk, cosicch´e
1− f kfk
= 1
kfkkkfk − fk < 1.
Per il punto (1) r f
kfk = 1
pkfkpf ∈ F e quindi anche √
f ∈ F, perch´eF `e una sottoalgebra di l∞(Ω).
(3) In quest’ultima parte della dimostrazione supponiamo solo che f ≥ 0. Per il punto (2) abbiamo
r f + 1
n ∈ F per ognin∈ N + 1.
Ma
0 ≤ r
f +1 n−√
f =
f + 1
n
− f r
f + 1 n +√
f
= 1
n r
f + 1 n +√
f
! ≤ 1 n
r1 n
= 1
√n
cosicch´e
r f + 1
n−√ f
≤ 1
√n
e ci`o mostra che lim
n→∞
r f + 1
n =√
f in l∞(Ω).
Siccome r
f + 1
n ∈ F per ogni n, dall’ipotesi che F sia chiusa in l∞(Ω) otteniamo√
f ∈ F.
Lemma 2.9. SiaF una sottoalgebra chiusa di l∞(Ω, R) che contiene le funzioni costanti. Sianof, g∈ F.
Allora anche le funzioni|f|, f ∨ g e f ∧ g appartengono ad F.
F `e quindi un sottoreticolo di l∞(Ω, R).
Dimostrazione.(1) Per ipotesi f e g assumono solo valori reali, per cuif2≥ 0 e |f| =pf2. Il lemma 2.8 implica|f| ∈ F.
(2) Da ci`o segue che
f ∨ g = f + g +|f − g|
2 ∈ F
f ∧ g = f + g− |f − g|
2 ∈ F
Teorema 2.10 (Stone-Weierstrass). SiaΩ uno spazio topologico com- patto e non vuoto. Sia F una sottoalgebra di C(Ω, R) che contiene le funzioni costanti e separa i punti. AlloraF = C(Ω, R).
Dimostrazione. Per il cor. 1.19 C(Ω, R) `e chiusa in l∞(Ω) e quindi anche la sottoalgebra (oss. 2.7) F `e chiusa in l∞(Ω) e quindi, per il lemma 2.9, un sottoreticolo di l∞(Ω). L’enunciato segue dal teorema 2.5.
Osservazione 2.11.Una dimostrazione elementare, basata su sottili stime apposite, del teorema di Stone-Weierstrass `e data nel lavoro di Brosowski/Deutsch.
Una dimostrazione che utilizza il teorema di Alaoglu e il teorema di Krein-Milman, dovuta a Louis de Branges, si trova ad esempio in Conway, pagg. 149-150.
Definizione 2.12.Uno spazio topologicoX si dice completamente re- golare, se `e di Hausdorff e per ogni x ∈ X ed ogni chiuso A di X con x /∈ A esiste una funzione continua f : X −→ [0, 1] tale che f(x) = 1 e (f = 0, in A).
Osservazione 2.13.SiaΩ uno spazio topologico non vuoto, compatto e di Hausdorff. Allora Ω `e completamente regolare, per cui C(Ω, R) separa i punti.
Nota 2.14.L’ oss. 2.3 e la dimostrazione del teorema di Stone-Weier- strass rimangono valide se la condizione cheF contenga le funzioni costanti viene sostituita con la condizione pi `u debole cheF abbia sup- porto pieno, cio`e che per ognix∈ Ω esiste una funzione f ∈ F tale che f (x)6= 0.
Se inoltre F non separa i punti oppure non ha supporto pieno, ci`o vale evidentemente anche perF. Da ci`o segue che il teorema di Stone- Weierstrass pu`o essere formulato nel modo seguente:
Siano Ω uno spazio topologico non vuoto, compatto e di Hausdorff, edF una sottoalgebra di C(Ω, R). Allora sono equivqlenti:
(1)F = C(Ω, R).
(2)F separa i punti e possiede supporto pieno.
Questa variante si trova in Appell/V ¨ath, pagg. 325-327.
Osservazione 2.15.SiaΩ un sottoinsieme di Rnil cui interno sia non vuoto. Se due polinomi f, g ∈ R[x1, . . . , xn] sono tali che f (ω) = g(ω) per ogniω ∈ Ω, per il principio di identit`a per polinomi in pi `u variabili (ad es. Scheja/Storch,2ovolume, pag. 48) i polinomif e g devono coin- cidere. Possiamo quindi considerare R[x1, . . . , xn] come sottoalgebra di C(Ω, R) che ovviamente contiene le funzioni costanti.
Abbiamo per`o anche per un qualsiasi sottoinsieme non vuotoΩ di Rn un’applicazione naturale
f
ω
f (ω) : R[x1, . . . , xn] −→ RΩ; l’immagine R[x1, . . . , xn]Ω di quest’applicazione `e una sottoalgebra diC(Ω, R) che contiene le funzioni costanti.
Corollario 2.16 (teorema di approssimazione di Weierstrass).
SiaΩ un sottoinsieme compatto e non vuoto di Rn. Allora R[x1, . . . , xn] = C(Ω, R).
Dimostrazione. Per l’oss. 2.15 e il teorema 2.10 `e sufficiente verifi- care che R[x1, . . . , xn] separa i punti di Ω.
Siano a, b due punti distinti di Ω; allora essi si distinguono, ad es- empio, nella prima coordinata e per il polinomio f := x1 abbiamo f (a)6= f(b).
Corollario 2.17. Sianoa, b∈ R con a < b. Allora R[x][a,b]= C([a, b], R).
Nota 2.18.Per funzioni continue definite su intervalli, polinomi ap- prossimanti possono essere indicati esplicitamente. `E sufficiente con- siderare il caso dell’intervallo [0, 1], perch´e ogni altro intervallo [a, b]
pu`o essere trasformato in esso tramite la trasformazione affine x
x− a b− a.
Perf ∈ C([0, 1], R) ed n ∈ N definiamo l’n-esimo polinomio di Bern- stein tramite
Bn(f ) :=
n
P
k=0
f k n
n k
xk(1− x)n−k Allora la successione
n
Bn(f ) converge uniformemente ad f .
Dimostrazione. Ad esempio Davis, pagg. 108-111, oppure Wloka, pagg.
17-18.
Definizione 2.19.PerF ⊂ CΩ poniamo ReF := {Re f | f ∈ F}
ImF := {Im f | f ∈ F}
Teorema 2.20. SiaΩ uno spazio topologico non vuoto e compatto. Sia F una sottoalgebra (complessa) di C(Ω, C) che soddisfa le seguenti tre condizioni:
(1)F separa i punti.
(2)F contiene le funzioni costanti.
(3) ReF ⊂ F e ImF ⊂ F.
AlloraF = C(Ω, C).
Dimostrazione.(1) SiaFR :=F ∩ C(Ω, R). Allora FR `e una sottoalge- bra (reale) diC(Ω, R) che contiene le funzioni costanti.
(2) Dimostriamo cheFRsepara i punti.
Sianox, y∈ Ω tali che x 6= y. Per ipotesi esiste f ∈ F tale che f (x)6= f(y). Ci`o implica per`o che Re f(x) 6= Re f(y) oppure
Im f (x) 6= Im f(y). Evidentemente per`o Re f ed Im f appartengono ad FR.
(3) Dal teorema 2.10 segue cheFR = C(Ω, R).
(4) Siano adesso f ∈ C(Ω, C) ed ε > 0. Per il punto (3) esistono u, v∈ FRtali chek Re f − uk < ε
2 ek Im f − vk < ε
2. Quindi avremo kf − u + ivk = k Re f + i Im f − u + ivk ≤ k Re f − uk + k Im f − vk < ε Dunque abbiamo dimostrato cheF = C(Ω, C).
Osservazione 2.21.SiaF una sottoalgebra di CΩ. Allora sono equi- valenti:
(1) ReF ⊂ F e ImF ⊂ F.
(2) f ∈ F =⇒ f ∈ F.
Dimostrazione. Perf ∈ F, si hanno le relazioni f = Re f − i Im f, che mostra l’implicazione(1) ⇒ (2), e Re f = f + f
2 ,Im f = f − f
2i , da cui segue l’implicazione(2)⇒ (1).
Nota 2.22.La condizione (3) del teorema 2.20 `e necessaria, come si vede dal seguente esempio: Siano D:= (|C| < 1) il disco unitario aperto di C edF :=f : D −→ C continua | f olomorfa in D .
E immediato che` F `e una sottoalgebra (complessa) di C(D, C) che separa i punti e contiene le funzioni costanti. Invece, mentre
z
z∈ F, la funzione
z z non fa pi `u parte diF, non essendo olomorfa.
Ed effettivamente, per un noto teorema dell’analisi complessa si ha F = F 6= C(D, C).
Corollario 2.23. Sia Ω un sottoinsieme compatto e non vuoto di Cn. Allora C[x1, x1, . . . , xn, xn]Ω = C(Ω, C).
Dimostrazione. Come nella dimostrazione del cor. 2.16 si dimostra che C[x1, x1, . . . , xn, xn] separa i punti. `E chiaro allora che sono soddi- sfatte le ipotesi del teorema 2.20.
L’algebra C[x1, x1, . . . , xn, xn] `e definita in analogia con l’oss. 2.15.
Proposizione 2.24. SianoΩ e Ω′ due spazi topologici non vuoti, com- patti e di Hausdorff. Sia
F := {
(x,y) m
X
k=1
fk(x)gk(y)| m ∈ N + 1,
f1, . . . , fm ∈ C(Ω, R), g1, . . . , gm ∈ C(Ω′, R)} AlloraF = C(Ω × Ω′, R).
Dimostrazione. `E chiaro che F `e una sottoalgebra di C(Ω × Ω′) che contiene le funzioni costanti.
Per il teorema 2.10 `e sufficiente dimostrare che F separa i punti.
Siano(x, x′) e (y, y′) due punti di Ω× Ω′ e, ad esempio,x6= y.
Per l’oss. 2.13 esistef ∈ C(Ω, R) tale che f(x) 6= f(y).
Alloraϕ :=
(x,y)
f (x) appartiene adF e separa i due punti. Infatti ϕ(x, x′) = f (x)6= f(y) = ϕ(y, y′)
Osservazione 2.25. SiaΩ uno spazio topologico. Se C(Ω, K) separa i punti, alloraΩ `e uno spazio di Hausdorff.
Quindi anche se nei teoremi 2.5, 2.10 e 2.20 non abbiamo supposto esplicitamente cheΩ sia di Hausdorff, questa ipotesi `e automaticamen- te soddisfatta.
Dimostrazione. Sianox, y∈ Ω con x 6= y. Per ipotesi esiste
f ∈ C(Ω, K) tale che f(x) 6= f(y). Siccome K `e uno spazio di Hausdorff, esistono U ∈ Uf(x) e V ∈ Uf(y) tali che U ∩ V = ∅ e quindi anche f−1(U )∩ f−1(V ) = f−1(U∩ V ) = ∅. f−1(U ) e f−1(V ) sono intorni di x perch´e la funzionef `e continua.
Proposizione 2.26. Sia
F := {f :S1−→ C | esistono n ∈ N e c−n, . . . , cn∈ C tali che f =
z n
X
k=−n
ckzk}
AlloraF = C(S1, C).
Dimostrazione. Ovviamente F `e una sottoalgebra di C(S1, C) che contiene le funzioni costanti. Dobbiamo dimostrare che sono soddi- sfatte le condizioni(1) e (3) del teorema 2.20.
CheF separa i punti `e chiaro perch´e la funzione
z
z appartiene adF.
Per l’oss. 2.21 rimane da dimostrare chef ∈ F implica f ∈ F.
Ma perz∈ S1si haz = z−1, per cui
z n
P
k=−n
ckzk=
z n
P
k=−n
c−kzk∈ F.
Definizione 2.27.Un polinomio trigonometrico (su[0, 2π]) `e una fun- zione della forma
t
(a0+ Pn
k=1
(akcoskt + bksenkt)) : [0, 2π]−→ R
conn∈ N ed a0, . . . , an, b1, . . . , bn∈ R.
Pern = 0 naturalmente appare solo il termine costante a0. Nota 2.28.Sianon∈ N e c−n, . . . , cn∈ C ed
f :=
z n
P
k=−n
ckzk: S1 −→ C Consideriamo la funzioneg :=
t
f (eit) : [0, 2π]−→ C.
Allorag(0) = g(2π).
Per ognik sia ck= αk+ iβkconαk, βk∈ R.
(1) Per t∈ [0, 2π] abbiamo allora g(t) =
n
X
k=−n
(αk+ iβk)eikt =
n
X
k=−n
(αk+ iβk)(cos kt + i sin kt)
=
n
X
k=−n
(αkcos kt− βksin kt) + i
n
X
k=−n
(αksin kt + βkcos kt)
(2) Assumiamo adesso che g (o f ) assuma solo valori reali. Allora g(t) =
n
P
k=−n
(αkcos kt− βksin kt)
per ognit∈ [0, 2π]. Per`o cos(−kt) = cos kt e sin(−kt) = − sin kt, cosicch´e possiamo scrivere
g(t) = α0+
n
X
k=1
(αk+ α−k) cos kt−
n
X
k=1
(βk− β−k) sin kt
= a0+
n
X
k=1
(akcos kt + bksin kt)
cona0:= α0,ak := αk+ α−k,bk:= β−k− βk.
Proposizione 2.29. Sia G l’insieme dei polinomi trigonometrici (su [0, 2π]). Nella topologia dell’uniforme convergenza si ha
G = {ϕ ∈ C([0, 2π], R) | ϕ(0) = ϕ(2π)}
Dimostrazione. Siaϕ∈ C([0, 2π], R) con ϕ(0) = ϕ(2π).
Definiamoψ : S1 −→ R tramite ψ(eit) := ϕ(t).
Si dimostra facilmente che ψ `e ben definita e continua (cfr. ad es- empio Schempp/Dreseler, pag. 11). Per la prop. 2.26 possiamo appros- simare ψ con funzioni della forma f =
z n
P
k=−n
ckzk e quindi anche tramite le parti reali di queste funzioni (per una succesione ˜f −→ ψ si haRe ˜f −→ Re ψ = ψ).
Per la nota 2.28 otteniamo un’approssimazione diψ tramite polino- mi trigonometrici.
3. Il teorema del Dini
Situazione 3.1.SiaΩ uno spazio topologico non vuoto.
Scriviamokk invece di kkΩ.
Lemma 3.2. Siano Ω compatto ed F ⊂ C(Ω, R). Sia ϕ ∈ C(Ω, R) tale che per ogni x∈ Ω esiste f(x)∈ F tale che f(x)(x) > ϕ(x).
Allora esistono f1, . . . , fm ∈ F tali che f1∨ . . . ∨ fm> ϕ.
Dimostrazione. Dalla continuit `a di queste funzioni segue che per ogni x ∈ Ω l’insieme (f(x) > ϕ) = (f(x)− ϕ > 0) `e un aperto che per ipotesi contiene x.
Per la compattezza diΩ esistono x1, . . . , xm∈ Ω tali che Ω =
Sm i=1
(f(xi)− ϕ > 0).
Per avere l’enunciato basta porre fi= f(xi).
Definizione 3.3.Un insieme quasi ordinato(F, ≤) si dice diretto verso l’alto, se per ogni f, g∈ F esiste h ∈ F tale che f, g ≤ h.
Proposizione 3.4. SianoΩ compatto ed F un sottoinsieme diretto ver- so l’alto di C(Ω, R).
Per ogni x∈ Ω sia ϕ(x) := sup {f (x) | f ∈ F} < ∞. La funzione ϕ: Ω −→ R cos`ı ottenuta sia continua.
Allora per ogni ε > 0 esiste f ∈ F con 0 ≤ ϕ − g < ε e quindi in particolarekϕ − gk < ε per ogni g ∈ (F ≥ f ).
Dimostrazione. Sia ε >0. Allora, per costruzione di ϕ, per ogni x ∈ Ω esiste f(x) ∈ F tale che f(x)(x) > ϕ(x) − ε. Per il lemma 3.2 esistono f1, . . . , fm ∈ F tali che f1∨ . . . ∨ fm > ϕ− ε.
Per`o l’insiemeF `e diretto verso l’alto, perci`o esiste f ∈ F tale che f ≥ f1∨ . . . ∨ fme quindi anche f > ϕ− ε, ovvero ϕ − f < ε.
Sia ora g∈ F con g ≥ f . Per la definizione di ϕ si ha allora f ≤ g ≤ ϕ, cosicch´e0 ≤ ϕ − g ≤ ϕ − f < ε. Ci`o a sua volta implica kϕ − gk < ε.
Teorema 3.5 (teorema del Dini). SianoΩ compatto ed
f0 ≤ f1 ≤ f2 ≤ . . . una successione monotona di funzioni continue Ω −→ R e ϕ ∈ C(Ω, R) tale che
n
fn(x) −→ ϕ(x) per ogni x ∈ Ω.
Allora la successione converge uniformemente, si ha cio`e
n
kϕ − fnk −→ 0.
Dimostrazione. Ci`o `e una conseguenza immediata della prop. 3.4 ap- plicata all’insiemeF = {fn| n ∈ N}.
Infatti `e chiaro che ϕ= sup F.
4. Spazi metrici totalmente limitati
Nota 4.1. Per i concetti di filtro e ultrafiltro rimandiamo ai libri di testo di Topologia generale oppure a Chiodera.
Proposizione 4.2. SianoX uno spazio topologico compatto ed A un chiuso diX. Allora A `e compatto.
Dimostrazione. Chiodera, pag. 17.
Proposizione 4.3. Siano X uno spazio topologico di Hausdorff ed A un sottoinsieme compatto diX. Allora A `e chiuso in X.
Dimostrazione. Chiodera, pag. 18.
Proposizione 4.4. Ogni spazio metrico `e sottospazio denso di uno spazio metrico completo.
Dimostrazione. Engelking, pag. 721.
Definizione 4.5.Sia(X, d) uno spazio metrico. Un filtro ˙x su X si dice di Cauchy, se per ogniε > 0 esiste un insieme F ∈ ˙x tale che d(u, v) < ε per ogniu, v ∈ F .
Definizione 4.6.Siano X uno spazio topologico, ˙x un filtro su X ed x ∈ X. Diciamo che ˙x converge ad x e scriviamo ˙x −→ x, se U (x) ⊂ ˙x.
Lemma 4.7. Uno spazio metrico(X, d) `e completo se e solo se ogni filtro di Cauchy suX converge.
Dimostrazione.(1) Assumiamo che ogni filtro di Cauchy su X con- verga. Sia
n
xnuna successione di Cauchy inX. Sia
˙x := {F ⊂ X | esiste n0 con {xn| n ≥ n0} ⊂ F } il filtro ottenuto da
n
xn. `E chiaro che ˙x `e un filtro di Cauchy.
Per ipotesi esistex ∈ X con ˙x −→ x.
Siaε > 0. Allora esiste n0 tale che{xn| n ≥ n0} ⊂ (d(X, x) < ε). Ma ci`o significa ched(xn, x) < ε per ogni n ≥ n0e vediamo che
n
xn−→ x.
(2) Siano X completo ed ˙x un filtro di Cauchy su X. Dobbiamo dimo- strare che ˙x converge.
Siccome ˙x `e un filtro di Cauchy, per ogni n ≥ 1 esiste Fn∈ ˙x tale che d(u, v) < 1/n per ogni u, v ∈ Fn. Possiamo fare in modo che
Fn+1 ⊂ Fn.
Gli insiemiFnnon sono vuoti, quindi per ogni n possiamo scegliere un puntoxn∈ Fn.
E chiaro che`
n
xn `e una successione di Cauchy. Infatti per ogni ε > 0 esiste n0tale che1/n0 < ε.
Pern, m ≥ n0 abbiamo alloraxn, xm ∈ Fn0 e quindi
d(xn, xm) < 1/n0 < ε. Siccome X `e completo, esiste x ∈ X con
n
xn −→ x. Dobbiamo dimostrare che ˙x −→ x. Sia ε > 0. Allora esiste n ∈ N + 1 tale che 1/n < ε/2 e d(xn, x) < ε/2. Sia U := (d(X, x) < ε).
Dimostriamo cheU ∈ ˙x. Per z ∈ Fnabbiamo d(z, x) ≤ d(z, xn) + d(xn, x) < 1
n+ε 2 < ε
2+ ε 2 = ε Ci`o implicaFn⊂ U ∈ ˙x, per cui U ∈ ˙x.
Lemma 4.8. Siano X uno spazio metrico completo ed ˙x un filtro di Cauchy su X. Siano ˙y un filtro su X con ˙x ⊂ ˙y ed x ∈ X tale che
˙y −→ x. Allora ˙x −→ x.
Dimostrazione. Siaε > 0. Dimostriamo che (d(X, x) < ε) ∈ ˙x.
Siccome ˙x `e un filtro di Cauchy, esiste F ∈ ˙x tale che d(u, v) < ε 2 per ogni u, v ∈ F . Siccome ˙y −→ x, si ha inoltre U := (d(X, x) < ε) ∈ ˙y.
Per`o anche F ∈ ˙y, per cui U ∩ F 6= ∅. Sia w ∈ U ∩ F . Allora per ogni z ∈ F si ha
d(x, z) ≤ d(x, w) + d(w, z) < ε 2 +ε
2 = ε
Ci`o significaF ⊂ (d(X, ε) < ε) e quindi (d(X, ε) < ε) ∈ ˙x.
Proposizione 4.9. Uno spazio metrico compatto `e completo.
Dimostrazione. SiaX uno spazio metrico compatto. Per la prop. 4.4 X `e sottospazio denso di uno spazio metrico completo E. Dal lemma 4.3 segue cheX `e chiuso in E e deve quindi coincidere con E.
Invece della prop. 4.4 possiamo anche usare il lemma 4.7. Siano in- fatti ˙x un filtro di Cauchy su X ed ¨x un ultrafiltro con ˙x ⊂ ¨x.
SiccomeX `e compatto, esiste x ∈ X tale che ¨x −→ x. Per il lemma 4.8, ˙x −→ x. Il lemma 4.7 implica che X `e completo.
Definizione 4.10.Uno spazio metrico(X, d) si dice totalmente limita- to(o precompatto), seX `e vuoto oppure per ogni ε > 0 esistono
a1, . . . , am∈ X tali che Sm i=1
(d(X, ai) < ε) = X.
Osservazione 4.11.Uno spazio metrico compatto `e totalmente limitato.
Lemma 4.12. Uno spazio metricoX `e totalmente limitato se e solo se ogni ultrafiltro suX `e un filtro di Cauchy.
Dimostrazione. Possiamo assumere cheX 6= ∅.
(1) Siano X totalmente limitato ed ¨x un ultrafiltro su X. Sia ε > 0.
Per ipotesi esistonoa1, . . . , am ∈ X tali che Sm i=1
(d(X, ai) < ε) = X. Per una nota propriet `a degli ultrafiltri (Chiodera, pag. 13) esiste uni tale cheF := (d(X, ai) < ε/2) ∈ ¨x.
Peru, v ∈ F abbiamo allora d(u, v) ≤ d(u, ai) + d(ai, v) < ε
2 +ε 2 = ε Ci`o mostra chex `e un filtro di Cauchy.¨
(2) Sia X non totalmente limitato. Allora esiste ε > 0 tale che X non pu`o essere ricoperto con un numero finito di palle aperte di raggioε.
Ci`o implica che, se perx ∈ X poniamo Ax:= (d(X, x) ≥ ε), allora α := {Ax | x ∈ X} `e un intreccio (possiede cio`e la propriet `a dell’interse- zione finita, cfr. Chiodera, pag. 6). Perci`o esiste un ultrafiltro x su X¨ conα ⊂ ¨x. Dimostriamo che ¨x non `e un filtro di Cauchy. Supponiamo, per assurdo, che esistaF ∈ ¨x tale che d(u, v) < ε per ogni u, v ∈ F .
Scegliamo un punto arbitrariou ∈ F . Abbiamo Au∈ ¨x, quindi anche F ∩ Au ∈ ¨x e di conseguenza F ∩ Au 6= ∅. Possiamo quindi scegliere un v ∈ F ∩ Au.
Allorau, v ∈ F ∈ ˙x e d(u, v) ≥ ε, in contrasto con la scelta di F . Teorema 4.13. Uno spazio metrico X `e compatto se e solo se `e total- mente limitato e completo.
Dimostrazione.(1) Sia X compatto. Allora X `e totalmente limitato per l’oss. 4.11 e completo per la prop. 4.9.
(2) Sia X totalmente limitato e completo. Per il lemma 4.12 ogni ultrafiltro suX `e di Cauchy e quindi converge per il lemma 4.7.
Corollario 4.14. Uno spazio metrico completo `e compatto se e solo se `e totalmente limitato.
Lemma 4.15. Sia X uno spazio metrico totalmente limitato. Allora ogni sottospazio diX `e totalmente limitato.
Dimostrazione. SiaY ⊂ X. Siano ¨y un ultrafiltro su Y ed i : Y −→ X l’inclusione. Allora i(¨y) `e un ultrafiltro su X (Chiodera, prop. 2.38) e quindi un filtro di Cauchy. Sia ε > 0. Allora esiste F ∈ i(¨y) tale che d(F ) < ε. Per`o F ∈ i(¨y) significa che A ∩ F ∈ ¨y ed `e chiaro che anche d(A ∩ F ) < ε. Ci`o mostra che ¨y `e di Cauchy.
Lemma 4.16. SianoE uno spazio metrico ed X un sottoinsieme di E.
AlloraX `e totalmente limitato se e solo se X `e totalmente limitato.
Dimostrazione. SeX `e totalmente limitato, lo `e anche X, per il lem- ma 4.15.
SiaX totalmente limitato. Possiamo assumere che X 6= ∅. Sia ε > 0.
Per ipotesi esistono a1, . . . , am ∈ X tali che Sm i=1
(d(X, ai) < ε/2) = X.
Allora `e chiaro che X ⊂
Sm i=1
(d(X, ai) < ε/2) e quindi Sm i=1
(d(X, ai) < ε) = X.
Definizione 4.17.SianoE uno spazio topologico ed X ⊂ E. X si dice relativamente compattoinE, se la chiusura X di X in E `e compatta.
Proposizione 4.18. Siano E uno spazio metrico completo ed X un sottoinsieme diE. Allora sono equivalenti:
(1) X `e totalmente limitato.
(2) X `e relativamente compatto in E.
Dimostrazione. (1) ⇒ (2): Sia X totalmente limitato. Per il lemma 4.16 ancheX `e totalmente limitato. Per la prop. 1.13 per`o X `e completo e quindi compatto per il teorema 4.13.
(2) ⇒ (1): Sia X compatto. Allora X `e totalmente limitato e quindi lo `e ancheX, per il lemma 4.15.
Osservazione 4.19. Uno spazio metrico(X, d) totalmente limitato `e limitato.
Dimostrazione. Per ipotesi esistonoa1, . . . , am ∈ X tali che Sm
i=1
(d(X, ai) < 1) = X.
Siaρ := max {d(ai, aj) | 1 ≤ i, j ≤ m}. Per x, y ∈ X allora esistono i, j tali ched(x, ai) < 1 e d(y, aj) < 1 e quindi
d(x, y) ≤ d(x, ai) + d(ai, aj) + d(aj, y) < 2 + ρ
Osservazione 4.20.Per un sottoinsiemeX ⊂ Knsono equivalenti:
(1) X `e totalmente limitato.
(2) X `e limitato.
(3) X `e relativamente compatto in Kn. Dimostrazione.(1) ⇒ (2): Oss. 4.19.
(2) ⇒ (3): Se X `e limitato, allora X `e limitato e chiuso, quindi compatto.
(3) ⇒ (1): Prop. 4.18.
Nota 4.21. Il criterio nell’oss. 4.20 vale solo per sottoinsiemi di Kn, non in uno spazio metrico completo generale. Infatti, in ogni spazio metrico(X, d) si pu`o sostituire la metrica con D(x, y) := min(1, d(x, y)) per ottenere una metrica limitata (con D(x, y) ≤ 1 per ogni x, y) che induce la stessa topologia; cfr. Engelking, pagg. 250-251 e 269.
E chiaro che` (X, D) `e completo se e solo se lo `e (X, d) e quindi risul- terebbe che ogni spazio metrico completo `e compatto.
Per esempio, se su R introduciamo una nuova metrica con
D(x, y) := min(1, |x − y|), allora otteniamo uno spazio metrico comple- to limitato omeomorfo alla retta reale euclidea e quindi non compatto.
5. Il teorema di Ascoli-Arzel ` a
Nota 5.1. Sia Ω uno spazio topologico non vuoto. Per un insieme di funzioniF ⊂ KΩ edx ∈ Ω, A ⊂ Ω siano
F(x) := {f (x) | f ∈ F}
F(A) := {f (a) | f ∈ F, a ∈ A}
Scriviamokk invece di kkΩ.
Definizione 5.2.Sia(S, θ) uno spazio metrico. Un insieme di funzioni F ⊂ SΩsi dice
(1) equicontinuo, se per ogni x ∈ Ω ed ogni ε > 0 esiste un intorno U ∈ U (x) tale che θ(f (x), f (y)) < ε per ogni f ∈ F ed ogni y ∈ U ;
(2) limitato in ogni punto, se l’insieme F(x) `e limitato per ogni x ∈ Ω.
Osservazione 5.3.Siano(S, θ) uno spazio metrico ed F un sottoinsie- me equicontinuo diSΩ. AlloraF ⊂ C(Ω, S).
Proposizione 5.4. Ogni sottoinsieme totalmente limitato di Cb(Ω, K)
`e equicontinuo.
Dimostrazione. SiaF ⊂ Cb(Ω, K) ed F totalmente limitato. Siano x ∈ Ω ed ε > 0. Per ipotesi esistono g1, . . . , gm∈ F tali che
Sm i=1
(kF −gik < ε/3) = F. Ci`o significa che per ogni f ∈ F esiste un i tale chekf −gikΩ < ε/3. Sia ora U := {y ∈ Ω | |gi(y) − gi(x)| < ε/3 per ogni i}.
E chiaro che` U `e un aperto di Ω, quindi, siccome evidentemente x ∈ Ω, abbiamo U ∈ U (x).
Sianoy ∈ U ed f ∈ F. Allora esiste un i tale che kf − gikΩ < ε/3, per cui
|f (x) − f (y)| ≤ |f (x) − gi(x)| + |gi(x) − gi(y)| + |gi(y) − f (y)|
< ε 3 +ε
3 +ε 3 = ε Osservazione 5.5.L’applicazione
f
f (x) : Cb(Ω, K) −→ K `e continua per ognix ∈ Ω.
Dimostrazione. Siax ∈ Ω. Siano
n fnuna successione inCb(Ω, K) ed f ∈ Cb(Ω, K) tali che nkfn− f k −→ 0.
Siccome|fn(x) − f (x)| ≤ kfn− f k per ogni x ∈ Ω, `e chiaro che
n |fn(x) − f (x)| −→ 0, cio`e
n fn(x) −→ f (x).
Corollario 5.6. SiaF un sottoinsieme relativamente compatto di Cb(Ω, K).
Per ognix ∈ Ω allora l’insieme F(x) `e limitato.
Dimostrazione. Per ipotesiF `e compatto. Dall’oss. 5.5 segue che F(x)
`e compatto e quindi un sottoinsieme limitato di K. Perci`o anche F(x)
`e limitato.
Nota 5.7.Lo spazio KΩ pu`o essere dotato della topologia prodotto (detta anche topologia della convergenza puntuale), in cui per ogni g ∈ KΩgli insiemi della forma
Wε(x1, . . . , xm) :=
h ∈ KΩ| |h(xi) − g(xi)| < ε per i = 1, . . . , m conε > 0 ed x1, . . . , xm ∈ Ω, formano una base per gli intorni di g.
Una rete (successione di Moore-Smith, cfr. Willard, pagg. 73-77, op- pure Riviera, pagg. 1-5)
λ
fλ convergeadf nella topologia prodotto se e solo se
λ
fλ(x) −→ f (x) per ogni x ∈ Ω.
Proposizione 5.8. SianoF un sottoinsieme equicontinuo di KΩ ed bF la chiusura diF nella topologia prodotto.
Allora anche bF `e un insieme equicontinuo e quindi in particolare si ha bF ⊂ C(Ω, K).
Dimostrazione. Siano x ∈ Ω e ε > 0. Per ipotesi esiste un intorno U ∈ U (x) tale che |f (x) − f (y)| < ε/3 per ogni f ∈ F ed ogni y ∈ U . Dimostriamo che|g(x) − g(y)| < ε per ogni g ∈ bF ed ogni y ∈ U .
Sia infatti g ∈ bF. Allora, nella notazione della nota 5.7, l’insieme Wε/3(x, y) `e un intorno di g nella topologia prodotto, per cui esiste un f ∈ F ∩ Wε/3(x, y).
Ci`o significa che esiste unf ∈ F tale che |f (x) − g(x)| < ε/3 e
|f (y) − g(y)| < ε/3.
Ci`o implica
|g(x) − g(y)| ≤ |g(x) − f (x)| + |f (x) − f (y)| + |f (y) − g(y)|
< ε 3 +ε
3 +ε 3 = ε
Proposizione 5.9. SianoΩ compatto ed F un sottoinsieme equiconti- nuo di KΩ. Allora su F la topologia prodotto coincide con la topologia indotta dalla normakkΩ.
Dimostrazione.(1) `E chiaro che la convergenza in norma implica la convergenza puntuale.
(2) Siano f ∈ F e
λ
fλ una rete in KΩ che puntualmente converge adf . Sia ε > 0.
Per l’ipotesi di equicontinuit `a, per ognix ∈ Ω esiste un intorno Ux∈ U (x) tale che |g(x) − g(y)| < ε/3 per ogni y ∈ Uxed ognig ∈ F.
Per la compattezza diΩ esistono x1, . . . , xm∈ Ω tali che
Ux1 ∪ . . . ∪ Uxm = Ω. Per ogni i e per ogni x ∈ Uxi abbiamo quindi
|g(x) − g(xi)| < ε/3 per ogni g ∈ F.
La convergenza puntuale implica che esiste un indice λ0 tale che
|fλ(xi) − f (xi)| < ε/3 per ogni i = 1, . . . , m e per ogni λ ≥ λ0.
Dimostriamo che|fλ(x) − f (x)| < ε per ogni x ∈ Ω, per ogni λ ≥ λ0.
Siax ∈ Ω. Allora esiste un i tale che x ∈ Uxi. Perλ ≥ λ0 allora
|fλ(x) − f (x)| ≤ |fλ(x) − fλ(xi)| + |fλ(xi) − f (xi)| + |f (xi) − f (x)|
< ε 3 +ε
3 +ε 3 = ε
Corollario 5.10. SianoΩ compatto ed F un sottoinsieme equicontinuo di KΩ. Denotiamo di nuovo con bF la chiusura di F nella topologia prodotto. Allora:
(1) bF ⊂ C(Ω, K).
(2) bF = F.
Qui naturalmenteF denota la chiusura di F in C(Ω, K).
Dimostrazione.(1) Prop. 5.8.
(2) `E chiaro cheF ⊂ bF.
Sia g ∈ bF. Allora esiste una rete
λ
fλ in F tale che
λ
fλ −→ g puntualmente. Per la prop. 5.8 per`o anche l’insieme bF `e equicontinuo, cosicch´e possiamo applicare la prop. 5.9 ad bF e vediamo che
λ
fλ −→ g inC(Ω, K). Ci`o significa g ∈ F.
Corollario 5.11. SianoΩ compatto ed F un sottoinsieme equicontinuo di KΩ. Allora l’applicazione
(f,x)
f (x) : F × Ω −→ K `e continua.
La topologia considerata suF `e la toplogia prodotto oppure, equiva- lentemente (per la prop. 5.9), la topologia indotta dalla normakkΩ.
Dimostrazione. Siano date reti convergenti
λ
fλ −→ f in F e
λ
xλ −→ x in Ω. Dobbiamo dimostrare che
λ
fλ(xλ) −→ f (x).
Siaε > 0.
λ
fλ −→ f significa che esiste un λ0tale che kfλ− f k < ε/2 per ogni λ ≥ λ0 e
λ
xλ −→ x significa che esiste un λ1 tale che|xλ− x| < ε/2 per ogni λ ≥ λ1.F `e equicontinuo, perci`o esiste U ∈ U (x) tale che |g(x) − g(y)| < ε/2 per ogni y ∈ U ed ogni g ∈ F.
Siaλ ≥ max (λ0, λ1). Allora
|fλ(xλ) − f (x)| ≤ |fλ(xλ) − fλ(x)| + |fλ(x) − f (x)| < ε/2 + ε/2 = ε Lemma 5.12. SiaF un sottoinsieme equicontinuo di KΩ.
Allora per ognia ∈ R ed ogni x ∈ (|F| ≤ a) esiste un intorno U ∈ U (x) tale cheU ⊂ (|F| ≤ 1 + a).
Dimostrazione. Siano x ∈ Ω ed a ∈ R tali che |f (x)| ≤ a per ogni f ∈ F. Siccome l’insieme F `e equicontinuo, esiste un intorno U ∈ U (x) tale che|f (x) − f (y)| ≤ 1 per ogni f ∈ F ed ogni y ∈ U .
Per ogniy ∈ U ed ogni f ∈ F vale quindi anche
|f (y)| ≤ |f (y) − f (x)| + |f (x)| ≤ 1 + a
