−⋅= xxqqF )(4 F

LA CARICA ELETTRICA

L’elettrone è la principale particella di carica negativa, ovvero di quantità di elettricità, valutata in q = 1,6·10

⁻⁻⁻⁻¹⁹

C

Il numero di elettroni per coulomb è il reciproco della carica dell’elettrone; tale numero è valutato in n

_e

= 6,25·10

¹⁸

;

18 19 18

19 10 6 , 25 10

6 , 1

10 6

, 1 10 1 10

6 , 1

1

1 ^{+ + +}

− ⋅ = ⋅ = ⋅

=

⋅

=

=

C C n _e q

La massa dell’elettrone è valutata in: m

_e

= 9,109·10

⁻⁻⁻⁻³¹

Kg

Nel trattare gli atomi è utile assumere il nucleo positivo e gli elettroni più interni come una carica equivalente positiva (nucleo ionico) il cui valore è un multiplo intero della carica dello elettrone;

L’insieme degli “elettroni di valenza”, (cioè gli elettroni degli stati più esterni), determina una carica complessiva negativa tale da rendere l’atomo neutro;

In determinate condizioni, uno o più elettroni di valenza possono staccarsi dall’atomo e lasciarlo costituendo, di fatto, uno ione positivo;

LA FORZA DI COULOMB FRA LE CARICHE ELETTRICHE

Una particella carica genera nelle sue vicinanze un campo elettrico Ē , cioè una regione di spazio nella quale la stessa particella carica esercita una “forza di attrazione o di repulsione” sulle altre particelle cariche, in conformità con ciò che viene sancito dalla legge di Coulomb;

F

X

= forza espressa in Newton ε ε

ε ε = permettività del mezzo in cui sono poste le cariche

Per la terza legge della dinamica, agirà sulla carica q

1

una forza uguale ed opposta Il moto di q

2

si determina applicando la seconda legge della dinamica F = m·a; si ottiene la scrittura seguente:

q

₁

q

₂

x x

_O

O

F

_X

) 2

( 4

2 1

o

X x x

q F q

−

⋅

=

πε

) (

) (

4

²

2 1

2 x

o

X m v

dt d x

x q

F q =

−

⋅

= πε

e per un sistema non relativistico, cioè ritenendo m

2

= costante, si ottiene:

x o

x m a

x x

q q dt

m dv

2 2

1

2 2

) (

4

=

−

⋅

=

πε (1)

avendo espresso con: a

x

=(dv

x

/dt) l’accelerazione della carica q

2

;

IL CAMPO ELETTRICO

Si definisce intensità del campo elettrico Ē

,

generato dalla carica Q nel punto P il rapporto fra la forza esercitata su una carica esploratrice positiva Q

_e

ed il valore della carica esploratrice medesima:

Il ricorso al campo elettrico E

x

generato dalla carica q

1

, nel punto in cui è posta la carica q

2

, consente di riproporre la relazione (1) nella forma equivalente:

x o

x x q q E

x x a q

dt m m dv

2 2

1 2

2 2

) (

4

=

⋅

−

⋅

=

=

πε

IL POTENZIALE ELETTRICO

Si definisce “potenziale V” (in volt) di un punto B rispetto ad un punto A, il lavoro eseguito dal campo elettrico per portare una carica positiva unitaria da A a B, ovvero, posto A in x

O

, posto B alla distanza arbitraria x ed E

X

componente del campo secondo x, si ha:

∫ ^⋅

−

= ^x

x x

BA o

dx E

V

Q Q

_e

x x

_O

O

F

_X

2

2 4 ( )

1 )

(

4 o e _o

e e

x X

x x

Q x Q

x Q Q Q

E F

−

⋅

=

⋅

−

⋅

= ⋅

=

πε πε

E

_X

P

dalla quale, derivando, si perviene alla relazione: dx E _x = − dV

Il segno meno indica che il potenziale decresce nel verso del campo elettrico.

ENERGIA POTENZIALE – CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA TOTALE Si definisce energia potenziale U di una carica q posta a potenziale V il prodotto della carica q per il potenziale V:

V q U = ⋅

se la carica q è riferita ad un elettrone, allora q viene sostituito dalla quantità che segue: q = − − − − _{e =} − − − − _1,6·10

⁻⁻⁻⁻¹⁹

_C

Atteso che l’energia riferita ad un solo elettrone è molto piccola, è necessario introdurre l’unità di energia elettronvolt (eV), cioè:

1 eV = 1,6·10 ^{− − − − 19} C· 1V· = 1,6·10 ^{− − − − 19} J

Il Principio di CONSERVAZIONE dell’ENERGIA totale sancisce che l’ENERGIA TOTALE W, definita dalla somma dell’Energia POTENZIALE U e dell’Energia CINETICA E

C

, rimane costante in un qualunque punto.

2 cost

1 ₂

= +

⋅

= +

= U E q V mv

W _C

Pertanto dette v

A

e v

_B

le velocità possedute dalla carica q rispettivamente nei punti A e B del campo e parimenti indicati con V

_A

e V

_B

i rispettivi potenziali, il Principio di Conservazione dell’Energia consente di relazionare così come segue:

2 2

2 1 2

1

B B

A A

B

A W qV mv qV mv

W = ⇒ + = +

ESERCIZIO I1

.:Un elettrone lascia la superficie A di una armatura dirigendosi con velocità iniziale vi verso la superficie B di una seconda armatura posta alla distanza d da A. Il potenziale della piastra B ha il valore negativo Vd rispetto al potenziale della piastra A. Si determini quale velocità finale vf avrà l’elettrone se raggiunge B.

Poiché viene fornita dalla traccia la differenza di potenziale fra la piastra A e la piastra B, risulta di notevole interesse assumere il potenziale della piastra A al valore di riferimento zero collegando la piastra medesima a terra, come mostrato in figura I1; in tale contesto risultano coerenti ed adeguate le seguenti posizioni:

V

_A

= 0 V V

_A

− V

_B

= V

_AB

= V

_d

⇒ V

_B

= − V

_d

L’applicazione del Principio di Conservazione dell’Energia Totale in corrispondenza delle piastre A e B consente di relazionare come segue:

1 2

1 2

2 2

mv

_i

+ qV

_A

= mv

_f

+ qV

_B

Ricordando che la carica elettrica in movimento è rappresentata da un elettrone e, per tanto, deve ritenersi

q = − − − − e

, con

e = 1,6·10

⁻⁻⁻⁻¹⁹

C

; sostituendo tutto quanto definito per ipotesi si ottiene:

1 2

1 2

2 2

mv

_i

− eV

_A

= mv

_f

− e ⋅ − ( V

_d

)

ovvero, essendo come già detto: VA = 0V

1 2

1 2

2 2

mv

_i

= mv

_f

+ eV

_d

L’equazione ottenuta porge una lettura interessante, si asserisce che la velocità finale

v

_f

posseduta dall’elettrone deve essere minore della sua velocità iniziale

v

_i, in conformità col fatto specifico che l’elettrone si muove in un campo a conformazione repulsiva.

Effettuando i necessari passaggi algebrici si ricava la scrittura di seguito esplicitata:

mv

²_f

= mv

_i²

− 2 ⋅ eV

_d , dalla quale è poi immediato riconoscere quanto segue:

v mv eV

f

=

i²

− m 2 ⋅

d

Si riportano alcune considerazioni che costituiscono una efficace discussione del risultato ottenuto:

l’elettrone si muove all’interno di un campo repulsivo, ovvero:

V

_B

< V

_A;

la velocità finale

v

_f raggiunta dall’elettrone, atteso che il sistema proposto dalla traccia attiene ad un sistema conservativo, è indipendente dalla forma della distribuzione del campo elettrico fra le armature, ma dipende solo dalla differenza di potenziale VAB = Vd;

l’elettrone è in grado di raggiungere l’armatura B con una velocità finale

v

_f non nulla allora e solo allora che la sua velocità iniziale

v

_i è tale da soddisfare la relazione seguente:

mv

_i²

> 2 ⋅ eV

_d

in caso contrario si otterrebbe per

v

fun valore immaginario, il che è da ritenersi manifestamente NON accettabile;

l’elettrone raggiunge la piastra B con velocità finale nulla, cioè

v

_B

= 0 m/s

allora e solo allora che è verificata la condizione di seguito esplicitata:

+ ++ + ı

v

_i

V

_d

A B + + + + − − − −

V

AB

v

_f

Ε Ε Ε Ε

(figura - I1)

d

1 2

2

2

mv eV v eV

i

>

d

⇒

i

> ⋅ m

d

se la velocità iniziale

v

_i non è adeguata, l’elettrone raggiunge la massima distanza possibile

d

_O

dalla piastra A, distanza alla quale la sua velocità si è annullata, si ferma e poi, sollecitato dalla forza prodotta dal campo elettrico, ritorna alla piastra A di partenza ritrasformando l’energia potenziale acquisita in energia cinetica.

ESERCIZIO I2.

Un elettrone è emesso da un elettrodo con velocità iniziale

v

_i trascurabile ed è accelerato da un potenziale V Si vuole determinare il valore di tale potenziale in modo che la velocità finale della particella sia

v

_f = 9,4·10⁶ m/s.

La traccia assegna la presenza di un potenziale V atto ad accelerare l’elettrone emesso con velocità iniziale trascurabile, cioè

v

_i

= 0

m/s.

Il problema può essere affrontato considerando, indifferentemente, la differenza di potenziale fra le piastre B ed A, ovvero: VBA = V, oppure considerare la piastra A posta al potenziale VA = 0 V e la piastra B al potenziale VB = V. Nella figura I2 la piastra A è stata connessa al potenziale di terra, anche se ciò, come risulta dalla trattazione che segue, non è indispensabile e necessario.

Resta vincolata dalla traccia la condizione

v

_i

= 0

m/s. Si vuole anche ricordare che il potenziale V decresce nel verso del campo elettrico E.

L’applicazione del Principio di Conservazione dell’Energia Totale, con specifico riferimento alle piastre A e B, permette di relazionare come segue:

1 2

1 2

2 2

mv

_i

+ qV

_A

= mv

_f

+ qV

_B

Ricordando che la particella in movimento è rappresentata da un elettrone, per cui si deve ritenersi

q = − − − − e

, con

e = 1,6·10

⁻⁻⁻⁻¹⁹

C

; sostituendo tutto quanto definito per ipotesi si ottiene la relazione:

1 2

1 2

1 2

2 2 2

mv

_i

− eV

_A

= mv

_f

− eV

_B

⇒ − eV

_A

= mv

_f

− eV

_B , ovvero, anche:

− eV

_A

+ eV

_B

= 1 mv

_f

⇒ e V ⋅

_B

− V

_A

= mv

_f

2

1 2

2 2

( )

Ricordando che

V = V

_BA

= V

_B

− − − − V

_A, si relaziona come di seguito esplicitato:

V V V V mv

e

V

BA B A

= = − =

f

⋅

= ⋅ ⋅

⋅ ⋅

=

= ⋅ ⋅ ⋅

⋅

= ⋅

=

−

−

−

( ) , ( , )

,

, ( , )

,

, ,

, ,

2 31 6 2

19

31 2 12 19

2

9 109 10 9 4 10 2 1 6 10 9 109 10 9 4 10 10

2 1 6

9 109 88 36

3 2 251 52

ESERCIZIO I3.

Un elettrone avente un’energia cinetica EC = 10⁻⁻⁻⁻¹⁷ J, in corrispondenza di una delle due superfici di un sistema ad elettrodi a facce piane parallele, ed in movimento in direzione normale alla superficie, è sollecitato da un campo ritardante dovuto ad un potenziale VX applicato fra gli elettrodi. Quale valore deve assumere VX affinché l’elettrone raggiunga l’altro elettrodo con velocità vf = 0 m/s?

v

_i

A B − − − − + + + +

V

_BA

Ε Ε Ε Ε

(figura - I2)

d F

v

f

La traccia assegna la presenza di un potenziale V atto a ritardare l’elettrone, che si sposta nella direzione normale alle superfici degli elettrodi. La particella possiede in corrispondenza della piastra A un’energia cinetica

E

_C

= (m·v

_i²

)/2

dovuta alla velocità iniziale

v

_i con viene emesso l’elettrone. Anche il presente problema può essere affrontato considerando, indifferentemente, la differenza di potenziale fra le piastre A e B, ovvero: VAB = V, oppure ipotizzando che la piastra B sia posta al potenziale VB = 0 V e la piastra A al potenziale VA = VX. Nella figura I3 la piastra B è stata connessa al potenziale di terra, anche se questo, come risulta dalla trattazione che segue, non risulta indispensabile e tanto meno necessario.

Resta vincolata dalla traccia la condizione

v

_f

= 0

m/s. Si vuole anche ricordare che il potenziale V decresce nel verso del campo elettrico E.

L’applicazione del Principio di Conservazione dell’Energia Totale, con specifico riferimento alle piastre A e B, permette di relazionare come segue:

1 2

1 2

2 2

mv

_i

+ qV

_A

= mv

_f

+ qV

_B

Ricordando che la particella in moto è rappresentata da un elettrone, per il quale si deve ritenere

q = − − − − e

, con

e = 1,6·10

⁻⁻⁻⁻¹⁹

C

; sostituendo tutto quanto definito per ipotesi si ottiene la relazione:

1 2

1 2

2 2

mv

_i

− eV

_A

= mv

_f

− eV

_B , ed anche, essendo

v

_f

= 0

m/s

1 2

mv

_i2

− eV

_A

= − eV

_B

ovvero, anche:

eV

_A

− eV

_B

= 1 mv

_i

⇒ e V ⋅

_A

− V

_B

= mv

_i

2

1 2

2 2

( )

Ricordando che

V

_X

= V

_AB

= V

_A

− − − − V

_B, si relaziona come di seguito esplicitato:

V V V V mv

e

mv e

E

e V

X

=

AB

=

A

−

B

=

i i C

⋅

= ⋅ = =

⋅

= =

−

( )

−

, , ,

2 2 17

2 2

19

1 10

1 6 10

100

1 6 62 5

+ ++ + ı

v

_i

V

_X

A B + + + + − − − −

V

_AB

v

_f

Ε Ε Ε Ε

(figura - I3)

d

F