Risoluzione
1. Calcoliamo p RRR E x 2 + y 2 dxdydz essendo E = {(x, y, z) 2 R 3 | x 2 + y 2 1, 0 z 4 x 2 y 2 }. Osserviamo che il dominio E risulta dominio normale rispetto al piano x, y con
E = {(x, y, z) | (x, y) 2 D, 0 z » 4 x 2 y 2 } dove D = {(x, y) | x 2 + y 2 1}.
Dalle formule di riduzione, integrando per fili, risulta
ZZZ
E x 2 + y 2 dxdydz =
ZZ
D (
Z p
4 x
2y
20 x 2 + y 2 dz)dxdy =
ZZ
D (x 2 + y 2 ) » 4 x 2 y 2 dxdy e passando alle coordinate polari e integrando per parti otteniamo
=
Z 2⇡
0 (
Z 1
0 ⇢ 3 » 4 ⇢ 2 d⇢)d✓ = 2⇡
ï
4
3 (4 ⇢ 2 ) 3 2 1 5 (4 ⇢ 2 ) 5 2
ò 1
0 = 2⇡( 64 15 11 5 p 3) In alternativa, osservato che l’intersezione tra il cilindro x 2 +y 2 = 1 e la sfera x 2 +y 2 +z 2 = 4 `e data da
8 <
:
x 2 + y 2 = 1
x 2 + y 2 + z 2 = 4 ,
8 <
:
x 2 + y 2 = 1
z 2 = 3 ,
8 <
:
x 2 + y 2 = 1 z = ± p
3 potremo scrivere E = E 1 [ E 2 dove
E 1 = {(x, y, z) | z 2 [0, p
3], (x, y) 2 D} e E 2 = {(x, y, z) | z 2 [ p
3, 2], (x, y) 2 D z } essendo D = {(x, y) | x 2 + y 2 1} e D z = {(x, y) | x 2 + y 2 4 z 2 } se z 2 [ p
3, 2]. Dalle formule di riduzione, integrando per strati, si ottiene allora
ZZZ
E x 2 + y 2 dxdydz =
Z p 3 0 (
ZZ
D x 2 + y 2 dxdy)dz +
Z 2 p 3 (
ZZ
D
zx 2 + y 2 dxdy)dz
Utilizzando le coordinate polari per calcolare gli integrale doppi si ha
ZZZ
E x 2 + y 2 dxdydz =
Z p 3 0 (
Z 2⇡
0 (
Z 1
0 ⇢ 3 d⇢)d✓)dz +
Z 2 p 3 (
Z 2⇡
0 (
Z p 4 z
20 ⇢ 3 d⇢)d✓)dz
=
Z p 3 0
⇡ 2 dz +
Z 2 p 3
⇡
2 (4 z 2 ) 2 dz = ⇡ 2 p
3 + ⇡ 2 î 16z 8 3 z 3 + z 55ó 2 p 3
= 2⇡( 64 15 11 5 p 3)
2. Per calcolare RRR E x + 2y dxdydz dove E `e il tetraedro determinato dai tre piani cartesiani positivi e dal piano x+y+z = 1, possiamo integrare per fili osservando che E = {(x, y, z) 2 R 3 | (x, y) 2 D, 0 z 1 x y} essendo D = {(x, y) 2 R 2 | x 2 [0, 1], 0 y 1 x}.
Otteniamo
ZZZ
E x + 2y dxdydz =
ZZ
D (
Z 1 x y
0 x + 2y dz) dxdy =
ZZ
D (x + 2y)(1 x y) dxdy
=
Z 1 0 (
Z 1 x
0 x x 2 3xy + 2y 2y 2 dy)dx
=
Z 1 0
î (x x 2 )y + y 2 3 2 xy 2 2 3 y 3 ó 1 x
0 dx
=
Z 1
0 (x x 2 )(1 x) + (1 x) 2 3 2 x(1 x) 2 2 3 (1 x) 3 dx = ...
3. Per calcolare RRR E xy dxdydz dove E = {(x, y, z) 2 R 3 | 0 p
3x y, 2z 1, x 2 + y 2 + (z 1 2 ) 2 1} possiamo integrare per strati osservato che E = {(x, y, z) 2 R 3 | z 2 [ 1 2 , 3 2 ], (x, y) 2 C z } essendo C z = {(x, y) 2 R 2 | x 2 + y 2 1 (z 1) 2 , 0 p
3x y}
z
y x
0
1 2 3 2
Utilizzando le coordinate polari per calcolare l’integrale doppio, posto T = {(⇢, ✓) | ✓ 2 [ ⇡ 3 , ⇡ 2 ], 0 ⇢ » 1 (z 1 2 ) 2 }, otteniamo allora
ZZZ
E xy dxdydz =
Z
321 2
(
ZZ
C
zxy dxdy) dz =
Z
321 2
(
ZZ
T ⇢ 3 cos ✓ sin ✓ d✓d⇢) dz
= 32 1
Z
321 2
(1 (z 1 2 ) 2 ) 2 dz = ...
4. Calcoliamo RRR E x 2 z dxdydz dove E = {(x, y, z) 2 R 3 | 0 z x 2 + y 2 4}.
z
y x
0 4
2 2
Per calcolare l’integrale possiamo utilizzare le coordinate cilindriche ottenendo
ZZZ
x 2 z dxdydz =
ZZZ
T ⇢ 3 cos 2 ✓z d⇢d✓dz
essendo T = {(⇢, ✓, z) | 0 z ⇢ 2 , ✓ 2 [0, 2⇡], ⇢ 2 [0, 2]}.
Dato che T `e dominio normale rispetto a ⇢, ✓, posto D = [0, 2] ⇥ [0, 2⇡], integrando per fili otteniamo
ZZZ
x 2 z dxdydz =
ZZZ
T ⇢ 3 cos 2 ✓z d⇢d✓dz =
ZZ
D (
Z ⇢
20 ⇢ 3 cos 2 ✓z dz) d⇢d✓
=
ZZ
D ⇢ 3 cos 2 ✓ î z 2
2ó ⇢
2
0 d⇢d✓ = 1 2
ZZ
D ⇢ 7 cos 2 ✓ d⇢d✓
= 1 2
Z 2⇡
0 cos 2 ✓ d✓
Z 2
0 ⇢ 7 d⇢ = 1 4 [✓ + cos ✓ sin ✓] 2⇡ 0 h ⇢ 8
8i 2
0 = 16⇡
5. Calcoliamo RRR E p 1
x
2+y
2dxdydz dove E = {(x, y, z) 2 R 3 | x 2 + y 2 + z 2 4, z 1 } usando le coordinate sferiche.
z
y x
0 1 2
2
2
Otteniamo allora che ZZZ
E
p 1
x
2+y
2dxdydz =
ZZZ
T ⇢ d'd✓d⇢
essendo T = {(', ✓, ⇢) | ' 2 [0, ⇡ 3 ], ✓ 2 [0, 2⇡], cos ' 1 ⇢ 2}. Integrando per fili, posto D = [0, ⇡ 3 ] ⇥ [0, 2⇡], otteniamo
ZZZ
E
p 1
x
2+y
2dxdydz =
ZZZ
T ⇢ d⇢d✓dz =
ZZ
D (
Z 2
1 cos '
⇢ d⇢)d'd✓ = 1 2
ZZ
D 4 cos 1
2' d'd✓
= ⇡
Z
⇡30 4 cos 1
2' d' = ⇡ [4' tan '] 0
⇡3= ⇡( 4 3 ⇡ p 3)
6. Osserviamo che l’intersezione tra i paraboloidi z = 3(x 2 + y 2 ) e z = 1 + x 2 + y 2 `e data da
8 <
:
z = 3(x 2 + y 2 )
z = 1 + x 2 + y 2 ,
8 <
:
x 2 + y 2 = 1 2 z = 3 2
Il dominio E risulta dunque dominio normale rispetto al piano x, y con
E = {(x, y, z) | (x, y) 2 C, 3(x 2 + y 2 ) z 1 + x 2 + y 2 } dove C = {(x, y) | x 2 + y 2 1 2 }
Dalle formule di riduzione otteniamo allora µ(E) =
ZZZ
E dxdydz =
ZZ
C (
Z 1+x
2+y
23(x
2+y
2) dz) dxdy =
ZZ
C 1 + x 2 + y 2 3(x 2 + y 2 ) dxdy e passando alle coordinate polari si ha
µ(E) =
Z 2⇡
0 (
Z p 1 2
0 (1 + ⇢ 2 3⇢ 2 )⇢ d⇢) d✓ = 2⇡
Z p 1 2
0 ⇢ 2⇢ 3 d⇢ = 2⇡ h ⇢ 2
2⇢ 2
4i
p 1 2 0 = ⇡ 4 In alternativa, osservato che E = E 1 [ E 2 dove
E 1 = {(x, y, z) | z 2 [0, 1], (x, y) 2 D z } con D z = {(x, y) | x 2 + y 2 z 3 } e
E 2 = {(x, y, z) | z 2 [1, 3 2 ], (x, y) 2 C z } con C z = {(x, y) | z 1 x 2 + y 2 z 3 }, dalle formule di riduzione, integrando per strati, otteniamo
µ(E) = µ(E 1 ) + µ(E 2 ) =
ZZZ
E
1dxdydz +
ZZZ
E
2dxdydz
=
Z 1 0 (
ZZ
D
zdxdy)dz +
Z 3
2 1 (
ZZ
C
zdxdy)dz = ⇡
Z 1 0
z
3 dz + ⇡
Z 3
2
1 ( z 3 z + 1) dz
= ⇡ î z 62ó 1 0 + ⇡ î z z 3
2ó
3 2 1 = ⇡ 4 .
7. Determiniamo il volume del solido E = {(x, y, z) 2 R 3 | x 2 + y 2 z 2 p
x 2 + y 2 }, ottenuto dall’intersezione del solido avente come frontiera il paraboloide x 2 + y 2 = z con il solido di frontiera il cono z = 2 p
x 2 + y 2 . Abbiamo che l’intersezione del paraboloide con il cono `e data da
8 <
:
z = x 2 + y 2 z = 2 p
x 2 + y 2 ,
8 <
:
x 2 + y 2 = 1 z = 1
Il dominio E risulta dunque dominio normale rispetto al piano (x, y) con
E = {(x, y, z) | (x, y) 2 D, x 2 + y 2 z 2 » x 2 + y 2 } dove D = {(x, y) | x 2 + y 2 1}
Dalle formule di riduzione, integrando per fili, risulta allora µ(E) =
ZZZ
E dxdydz =
ZZ
D (
Z 2 p
x
2+y
2x
2+y
2dz) dxdy =
ZZ
D 2 » x 2 + y 2 (x 2 + y 2 ) dxdy e passando alle coordinate polari otteniamo
µ(E) =
Z 2⇡
0 (
Z 1
0 (2 ⇢ ⇢ 2 )⇢ d⇢) d✓ = ... = 5 6 ⇡
In alternativa, osservato che E = E 1 [ E 2 dove
E 1 = {(x, y, z) | z 2 [0, 1], (x, y) 2 D z } con D z = {(x, y) | x 2 + y 2 z}
e
E 2 = {(x, y, z) | z 2 [1, 2], (x, y) 2 B z } con B z = {(x, y) | x 2 + y 2 (2 z) 2 }, dalle formule di riduzione, integrando per strati, otteniamo
µ(E) = µ(E 1 ) + µ(E 2 ) =
ZZZ
E
1dxdydz +
ZZZ
E
2dxdydz
=
Z 1 0 (
ZZ
D
zdxdy)dz +
Z 2 1 (
ZZ
B
zdxdy)dz
=
Z 1
0 µ(D z ) dz +
Z 2
1 µ(B z ) dz = ⇡
Z 1
0 z dz + ⇡
Z 2
1 (2 z) 2 dz = ... = 5 6 ⇡.
8. Per calcolare il volume di E = {(x, y, z) 2 R 3 | x 2 + y 2 + z 2 1, x 2 + y 2 3 2 z }, integriamo per strati osservando che l’intersezione tra la sfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 e il paraboloide x 2 + y 2 = 3 2 z `e data da
8 <
:
x 2 + y 2 + z 2 = 1 x 2 + y 2 = 3 2 z ,
8 <
:
x 2 + y 2 = 3 4 z = 1 2 Osserviamo poi che E = E 1 [ E 2 dove
E 1 = {(x, y, z) | z 2 [0, 1 2 ], (x, y) 2 D z } con D z = {(x, y) | x 2 + y 2 3 2 z } e
E 2 = {(x, y, z) | z 2 [ 1 2 , 1], (x, y) 2 B z } con B z = {(x, y) | x 2 + y 2 1 z 2 }, dalle formule di riduzione, otteniamo
µ(E) = µ(E 1 ) + µ(E 2 ) =
ZZZ
E
1dxdydz +
ZZZ
E
2dxdydz
=
Z
120 (
ZZ
D
zdxdy)dz +
Z 1
1 2
(
ZZ
B
zdxdy)dz
=
Z
120 µ(D z ) dz +
Z 1
1 2
µ(B z ) dz = ⇡
Z
120 3
2 z dz + ⇡
Z 1
1 2
1 z 2 dz = ... = 19 48 ⇡.
9. Calcoliamo il volume di E ottenuto dalla rotazione di D = {(x, z) 2 R 2 | |z| x, x 2 +z 2 x } attorno all’asse z di un angolo giro, usando il Teorema di Guldino. Abbiamo
µ(E) = µ(D) L( B ) = µ(D)2⇡ · x B = 2⇡
ZZ
D x dxdy
Utilizziamo le coordinate polari per calcolare l’integrale doppio, posto T = {(⇢, ✓) | ✓ 2 [ ⇡ 4 , ⇡ 4 ], 0 ⇢ cos ✓}, otteniamo
µ(E) = 2⇡
ZZ
T ⇢ 2 cos ✓ d⇢d✓ = 2⇡
Z
⇡4⇡ 4
(
Z cos ✓
0 ⇢ 2 cos ✓ d⇢)d✓ = 2 3 ⇡
Z
⇡4⇡ 4