Dalle formule di riduzione, integrando per fili, risulta

Risoluzione

1. Calcoliamo p ^RRR _E x ² + y ² dxdydz essendo E = {(x, y, z) 2 R ³ | x ² + y ²  1, 0  z  4 x ² y ² }. Osserviamo che il dominio E risulta dominio normale rispetto al piano x, y con

E = {(x, y, z) | (x, y) 2 D, 0  z  ^» 4 x ² y ² } dove D = {(x, y) | x ² + y ²  1}.

Dalle formule di riduzione, integrando per fili, risulta

ZZZ

E x ² + y ² dxdydz =

ZZ

D (

Z p

4 x

y

0 x ² + y ² dz)dxdy =

ZZ

D (x ² + y ² ) ^» 4 x ² y ² dxdy e passando alle coordinate polari e integrando per parti otteniamo

=

Z 2⇡

0 (

Z 1

0 ⇢ ^{3 »} 4 ⇢ ² d⇢)d✓ = 2⇡

ï

4

3 (4 ⇢ ² ) ^{3 2 1} ₅ (4 ⇢ ² ) ^{5 2}

ò 1

0 = 2⇡( ⁶⁴ ₁₅ ¹¹ ₅ p 3) In alternativa, osservato che l’intersezione tra il cilindro x ² +y ² = 1 e la sfera x ² +y ² +z ² = 4 `e data da

8 <

:

x ² + y ² = 1

x ² + y ² + z ² = 4 ,

8 <

:

x ² + y ² = 1

z ² = 3 ,

8 <

:

x ² + y ² = 1 z = ± p

3 potremo scrivere E = E ₁ [ E 2 dove

E 1 = {(x, y, z) | z 2 [0, p

3], (x, y) 2 D} e E 2 = {(x, y, z) | z 2 [ p

3, 2], (x, y) 2 D z } essendo D = {(x, y) | x ² + y ²  1} e D z = {(x, y) | x ² + y ²  4 z ² } se z 2 [ p

3, 2]. Dalle formule di riduzione, integrando per strati, si ottiene allora

ZZZ

E x ² + y ² dxdydz =

Z ^p 3 0 (

ZZ

D x ² + y ² dxdy)dz +

Z 2 p 3 (

ZZ

D

x ² + y ² dxdy)dz

Utilizzando le coordinate polari per calcolare gli integrale doppi si ha

ZZZ

E x ² + y ² dxdydz =

Z ^p 3 0 (

Z 2⇡

0 (

Z 1

0 ⇢ ³ d⇢)d✓)dz +

Z 2 p 3 (

Z 2⇡

0 (

Z ^p 4 z

0 ⇢ ³ d⇢)d✓)dz

=

Z ^p 3 0

⇡ 2 dz +

Z 2 p 3

⇡

2 (4 z ² ) ² dz = ^⇡ ₂ p

3 + ^⇡ ₂ ^î 16z ⁸ ₃ z ³ + ^z ₅

^{ó 2 p} ₃

= 2⇡( ⁶⁴ ₁₅ ¹¹ ₅ p 3)

2. Per calcolare ^RRR _E x + 2y dxdydz dove E `e il tetraedro determinato dai tre piani cartesiani positivi e dal piano x+y+z = 1, possiamo integrare per fili osservando che E = {(x, y, z) 2 R ³ | (x, y) 2 D, 0  z  1 x y} essendo D = {(x, y) 2 R ² | x 2 [0, 1], 0  y  1 x}.

Otteniamo

ZZZ

E x + 2y dxdydz =

ZZ

D (

Z _{1 x y}

0 x + 2y dz) dxdy =

ZZ

D (x + 2y)(1 x y) dxdy

=

Z 1 0 (

Z 1 x

0 x x ² 3xy + 2y 2y ² dy)dx

=

Z 1 0

î (x x ² )y + y ^{2 3} ₂ xy ^{2 2} ₃ y ^{3 ó 1 x}

0 dx

=

Z ₁

0 (x x ² )(1 x) + (1 x) ^{2 3} ₂ x(1 x) ^{2 2} ₃ (1 x) ³ dx = ...

3. Per calcolare ^RRR _E xy dxdydz dove E = {(x, y, z) 2 R ³ | 0  p

3x  y, 2z 1, x ² + y ² + (z ¹ ₂ ) ²  1} possiamo integrare per strati osservato che E = {(x, y, z) 2 R ³ | z 2 [ ¹ ₂ , ³ ₂ ], (x, y) 2 C z } essendo C z = {(x, y) 2 R ² | x ² + y ²  1 (z 1) ² , 0  p

3x  y}

z

y x

0

1 2 3 2

Utilizzando le coordinate polari per calcolare l’integrale doppio, posto T = {(⇢, ✓) | ✓ 2 [ ^⇡ ₃ , ^⇡ ₂ ], 0  ⇢  ^» 1 (z ¹ ₂ ) ² }, otteniamo allora

ZZZ

E xy dxdydz =

Z

1 2

(

ZZ

C

xy dxdy) dz =

Z

1 2

(

ZZ

T ⇢ ³ cos ✓ sin ✓ d✓d⇢) dz

= ₃₂ ¹

Z

1 2

(1 (z ¹ ₂ ) ² ) ² dz = ...

4. Calcoliamo ^RRR _E x ² z dxdydz dove E = {(x, y, z) 2 R ³ | 0  z  x ² + y ²  4}.

z

y x

0 4

2 2

Per calcolare l’integrale possiamo utilizzare le coordinate cilindriche ottenendo

ZZZ

x ² z dxdydz =

ZZZ

T ⇢ ³ cos ² ✓z d⇢d✓dz

essendo T = {(⇢, ✓, z) | 0  z  ⇢ ² , ✓ 2 [0, 2⇡], ⇢ 2 [0, 2]}.

Dato che T `e dominio normale rispetto a ⇢, ✓, posto D = [0, 2] ⇥ [0, 2⇡], integrando per fili otteniamo

ZZZ

x ² z dxdydz =

ZZZ

T ⇢ ³ cos ² ✓z d⇢d✓dz =

ZZ

D (

Z ⇢

0 ⇢ ³ cos ² ✓z dz) d⇢d✓

=

ZZ

D ⇢ ³ cos ² ✓ ^{î z} ₂

^{ó ⇢}

2

0 d⇢d✓ = ¹ ₂

ZZ

D ⇢ ⁷ cos ² ✓ d⇢d✓

= ¹ ₂

Z 2⇡

0 cos ² ✓ d✓

Z 2

0 ⇢ ⁷ d⇢ = ¹ ₄ [✓ + cos ✓ sin ✓] ^2⇡ ₀ ^{h ⇢} ₈

^{i 2}

0 = 16⇡

5. Calcoliamo ^RRR _E p ¹

x

+y

dxdydz dove E = {(x, y, z) 2 R ³ | x ² + y ² + z ²  4, z 1 } usando le coordinate sferiche.

z

y x

0 1 2

2

2

Otteniamo allora che _ZZZ

E

p 1

x

+y

dxdydz =

ZZZ

T ⇢ d'd✓d⇢

essendo T = {(', ✓, ⇢) | ' 2 [0, ^⇡ ₃ ], ✓ 2 [0, 2⇡], _{cos '} ¹  ⇢  2}. Integrando per fili, posto D = [0, ^⇡ ₃ ] ⇥ [0, 2⇡], otteniamo

ZZZ

E

p 1

x

+y

dxdydz =

ZZZ

T ⇢ d⇢d✓dz =

ZZ

D (

Z 2

1 cos '

⇢ d⇢)d'd✓ = ¹ ₂

ZZ

D 4 _cos ¹

' d'd✓

= ⇡

Z

0 4 _cos ¹

' d' = ⇡ [4' tan '] ₀

= ⇡( ⁴ ₃ ⇡ p 3)

6. Osserviamo che l’intersezione tra i paraboloidi z = 3(x ² + y ² ) e z = 1 + x ² + y ² `e data da

8 <

:

z = 3(x ² + y ² )

z = 1 + x ² + y ² ,

8 <

:

x ² + y ² = ¹ ₂ z = ³ ₂

Il dominio E risulta dunque dominio normale rispetto al piano x, y con

E = {(x, y, z) | (x, y) 2 C, 3(x ² + y ² )  z  1 + x ² + y ² } dove C = {(x, y) | x ² + y ²  ¹ ₂ }

Dalle formule di riduzione otteniamo allora µ(E) =

ZZZ

E dxdydz =

ZZ

C (

Z _1+x

_+y

3(x

+y

) dz) dxdy =

ZZ

C 1 + x ² + y ² 3(x ² + y ² ) dxdy e passando alle coordinate polari si ha

µ(E) =

Z 2⇡

0 (

Z p ¹ 2

0 (1 + ⇢ ² 3⇢ ² )⇢ d⇢) d✓ = 2⇡

Z p ¹ 2

0 ⇢ 2⇢ ³ d⇢ = 2⇡ ^{h ⇢} ₂

^⇢ ₂

ⁱ

p 1 2 0 = ^⇡ ₄ In alternativa, osservato che E = E 1 [ E ² dove

E 1 = {(x, y, z) | z 2 [0, 1], (x, y) 2 D z } con D z = {(x, y) | x ² + y ²  ^z ₃ } e

E 2 = {(x, y, z) | z 2 [1, ³ ₂ ], (x, y) 2 C ^z } con C ^z = {(x, y) | z 1  x ² + y ²  ^z ₃ }, dalle formule di riduzione, integrando per strati, otteniamo

µ(E) = µ(E ₁ ) + µ(E ₂ ) =

ZZZ

E

dxdydz +

ZZZ

E

dxdydz

=

Z 1 0 (

ZZ

D

dxdy)dz +

Z ³

2 1 (

ZZ

C

dxdy)dz = ⇡

Z 1 0

z

3 dz + ⇡

Z ³

2

1 ( ^z ₃ z + 1) dz

= ⇡ ^{î z} ₆

^{ó 1} ₀ + ⇡ ^î z ^z ₃

^ó

3 2 1 = ^⇡ ₄ .

7. Determiniamo il volume del solido E = {(x, y, z) 2 R ³ | x ² + y ²  z  2 p

x ² + y ² }, ottenuto dall’intersezione del solido avente come frontiera il paraboloide x ² + y ² = z con il solido di frontiera il cono z = 2 p

x ² + y ² . Abbiamo che l’intersezione del paraboloide con il cono `e data da

8 <

:

z = x ² + y ² z = 2 p

x ² + y ² ,

8 <

:

x ² + y ² = 1 z = 1

Il dominio E risulta dunque dominio normale rispetto al piano (x, y) con

E = {(x, y, z) | (x, y) 2 D, x ² + y ²  z  2 ^» x ² + y ² } dove D = {(x, y) | x ² + y ²  1}

Dalle formule di riduzione, integrando per fili, risulta allora µ(E) =

ZZZ

E dxdydz =

ZZ

D (

Z 2 p

x

+y

x

+y

dz) dxdy =

ZZ

D 2 ^» x ² + y ² (x ² + y ² ) dxdy e passando alle coordinate polari otteniamo

µ(E) =

Z 2⇡

0 (

Z 1

0 (2 ⇢ ⇢ ² )⇢ d⇢) d✓ = ... = ⁵ ₆ ⇡

In alternativa, osservato che E = E 1 [ E 2 dove

E 1 = {(x, y, z) | z 2 [0, 1], (x, y) 2 D z } con D z = {(x, y) | x ² + y ²  z}

e

E 2 = {(x, y, z) | z 2 [1, 2], (x, y) 2 B z } con B z = {(x, y) | x ² + y ²  (2 z) ² }, dalle formule di riduzione, integrando per strati, otteniamo

µ(E) = µ(E 1 ) + µ(E 2 ) =

ZZZ

E

dxdydz +

ZZZ

E

dxdydz

=

Z 1 0 (

ZZ

D

dxdy)dz +

Z 2 1 (

ZZ

B

dxdy)dz

=

Z 1

0 µ(D z ) dz +

Z 2

1 µ(B z ) dz = ⇡

Z 1

0 z dz + ⇡

Z 2

1 (2 z) ² dz = ... = ⁵ ₆ ⇡.

8. Per calcolare il volume di E = {(x, y, z) 2 R ³ | x ² + y ² + z ²  1, x ² + y ²  ³ ₂ z }, integriamo per strati osservando che l’intersezione tra la sfera x ² + y ² + z ² = 1 e il paraboloide x ² + y ² = ³ ₂ z `e data da

8 <

:

x ² + y ² + z ² = 1 x ² + y ² = ³ ₂ z ,

8 <

:

x ² + y ² = ³ ₄ z = ¹ ₂ Osserviamo poi che E = E 1 [ E ² dove

E 1 = {(x, y, z) | z 2 [0, ¹ ₂ ], (x, y) 2 D ^z } con D ^z = {(x, y) | x ² + y ²  ³ ₂ z } e

E 2 = {(x, y, z) | z 2 [ ¹ ₂ , 1], (x, y) 2 B ^z } con B ^z = {(x, y) | x ² + y ²  1 z ² }, dalle formule di riduzione, otteniamo

µ(E) = µ(E 1 ) + µ(E 2 ) =

ZZZ

E

dxdydz +

ZZZ

E

dxdydz

=

Z

0 (

ZZ

D

dxdy)dz +

Z ₁

1 2

(

ZZ

B

dxdy)dz

=

Z

0 µ(D z ) dz +

Z ₁

1 2

µ(B z ) dz = ⇡

Z

0 3

2 z dz + ⇡

Z ₁

1 2

1 z ² dz = ... = ¹⁹ ₄₈ ⇡.

9. Calcoliamo il volume di E ottenuto dalla rotazione di D = {(x, z) 2 R ² | |z|  x, x ² +z ²  x } attorno all’asse z di un angolo giro, usando il Teorema di Guldino. Abbiamo

µ(E) = µ(D) L( B ) = µ(D)2⇡ · x B = 2⇡

ZZ

D x dxdy

Utilizziamo le coordinate polari per calcolare l’integrale doppio, posto T = {(⇢, ✓) | ✓ 2 [ ^⇡ ₄ , ^⇡ ₄ ], 0  ⇢  cos ✓}, otteniamo

µ(E) = 2⇡

ZZ

T ⇢ ² cos ✓ d⇢d✓ = 2⇡

Z

⇡ 4

(

Z cos ✓

0 ⇢ ² cos ✓ d⇢)d✓ = ² ₃ ⇡

Z

⇡ 4

cos ⁴ ✓ d✓ = ... = ^⇡ ₃ + ^⇡ ₈

dove per calcolare l’ultimo integrale possiamo osservare che cos ⁴ ✓ = cos ² ✓ cos ² ✓ sin ² ✓ = cos ² ✓ ¹ ₄ sin ² (2✓).

10. Per determinare il baricentro del cono E = {(x, y, z) 2 R ³ | 0  z  1 p

x ² + y ² } di densit`a di massa (x, y, z) = z dobbiamo innanzitutto calcolare la massa m(E) =

RRR

E z dxdydz. A tale scopo possiamo utilizzare le coordinate cilindriche. Posto T = {(⇢, ✓, z) | ✓ 2 [0, 2⇡], ⇢ 2 [0, 1] 0  z  1 ⇢ } otteniamo

m(E) =

ZZZ

E z dxdydz =

ZZZ

T ⇢z d⇢d✓dz =

Z

[0,1] ⇥[0,2⇡] (

Z _{1 ⇢}

0 ⇢z dz) d⇢d✓

= ¹ ₂

Z

[0,1]⇥[0,2⇡] ⇢ ³ 2⇢ ² + ⇢ d⇢d✓ = ⇡

Z 1

0 ⇢ ³ 2⇢ ² + ⇢ d⇢ = ⇡ ^{h ⇢} ₄

^2⇢ ₃

+ ^⇢ ₂

^{i 1}

0 = ₁₂ ^⇡ Per simmetria abbiamo poi che ascissa e ordinata del baricentro sono nulle, x B = y B = 0 mentre

z B = ¹² _⇡

ZZZ

E z ² dxdydz = ¹² _⇡

ZZZ

T ⇢z ² d⇢d✓dz = ¹² _⇡

Z

[0,1] ⇥[0,2⇡] (

Z 1 ⇢

0 ⇢z ² dz) d⇢d✓

= ⁴ _⇡

ZZ

[0,1] ⇥[0,2⇡] ⇢ ⁴ + 3⇢ ³ 3⇢ ² + ⇢ d⇢d✓ = 8 ^{h ⇢} ₅

+ ^3⇢ ₄

⇢ ³ + ^⇢ ₂

^{i 1}

0 = ² ₅ quindi il baricentro ha coordinate (0, 0, ² ₅ ).

In alternativa, potremo integrare per fili, osservato che E = {(x, y, z) 2 R ³ | (x, y) 2 D, 0  z  1 p

x ² + y ² } dove D = {(x, y) 2 R ³ | x ² + y ²  1}. Utilizzando le coordinate polari per calcolare l’integrale doppio otteniamo

m(E) =

ZZZ

E z dxdydz =

ZZ

D (

Z ₁ p

1 x

y

0 z dz)dxdy = ¹ ₂

ZZ

D (1 ^» 1 x ² y ² ) ² dxdy

= ¹ ₂

ZZ

[0,1]⇥[0,2⇡] (1 ⇢) ² ⇢ d⇢d✓ = ⇡

Z 1

0 ⇢ 2⇢ ² + ⇢ ³ d⇢ = ... = ₁₂ ^⇡ e

z B = ¹² _⇡

ZZZ

E z ² dxdydz = ¹² _⇡

ZZ

D (

Z 1 p

1 x

y

0 z ² dz)dxdy

= _⇡ ⁴

ZZ

D (1 ^» 1 x ² y ² ) ³ dxdy = _⇡ ⁴

ZZ

[0,1] ⇥[0,2⇡] (1 ⇢) ³ ⇢ d⇢d✓

= _⇡ ⁴

ZZ

[0,1] ⇥[0,2⇡] (1 3⇢ + 3⇢ ² ⇢ ³ )⇢ d⇢d✓ = ... = ² ₅

11. Osserviamo innanzitutto che l’intersezione tra il cono ed il paraboloide `e data da

8 <

:

z = x ² + y ² 5 z = 1 p

x ² + y ² ,

8 <

:

x ² + y ² = z + 5 z + 5 = (1 z) ² ,

8 <

:

x ² + y ² = 4 z = 1 Dunque E risulta dominio normale rispetto al piano x, y con

E = {(x, y, z) | (x, y) 2 D, x ² + y ² 5  z  1 ^» x ² + y ² } dove D = {(x, y) | x ² + y ²  4}

Dalle formule di riduzione, integrando per fili, risulta allora µ(E) =

ZZZ

E dxdydz =

ZZ

D (

Z 1 p

x

+y

x

+y

5 dz)dxdy =

ZZ

D 6 ^» x ² + y ² (x ² + y ² )dxdy e passando alle coordinate polari otteniamo

µ(E) =

Z 2⇡

0 (

Z 2

0 (6 ⇢ ⇢ ² )⇢d⇢)d✓ = 2⇡ ^h 3⇢ ^{2 ⇢} ₃

^⇢ ₄

^{i 2}

0 = ³² ₃ ⇡ In alternativa, osservato che

E = {(x, y, z) | z 2 [ 5, 1], (x, y) 2 D z }

dove D z = {(x, y) | x ² + y ²  5 + z} se z 2 [ 5, 1] e D z = {(x, y) | x ² + y ²  (1 z) ² } se z 2 [ 1, 1], integrando per strati si ottiene

µ(E) =

ZZZ

E dxdydz =

Z 1 5 (

ZZ

D

dxdy)dz =

Z 1

5 m(D z ) dz

=

Z 1

5 ⇡(5 + z)dz +

Z 1

1 ⇡(1 z) ² dz = ⇡ ^î z z ² + ^z ₃

^{ó 1}

1 + ⇡ ^î 5z + ^z ₂

^{ó 1}

5

= ³² ₃ ⇡

Dette (x B , y B , z B ) le coordinate del baricentro, osserviamo che essendo il dominio simme- trico rispetto all’asse z e la densit`a di massa costante, risulta x B = y B = 0. Per determi- nare z B calcoliamo innanzitutto l’integrale I = ^RRR _E zdxdydz. A tale scopo, procedendo come sopra, otteniamo

I =

ZZ

D (

Z 1 p

x

+y

x

+y

5 z dz)dxdy = ¹ ₂

ZZ

D (1 ^» x ² + y ² ) ² (x ² + y ² 5) ² dxdy

=

Z _2⇡

0 (

Z ₂

0 ((1 ⇢) ² (⇢ ² 5) ² )⇢ d⇢)d✓ =

Z _2⇡

0 (

Z ₂

0 ⇢ ⁵ + 11⇢ ³ 2⇢ ² 24⇢ d⇢)d✓

= 2⇡ ^{h ⇢} ₆

+ ^11⇢ ₄

^2⇢ ₃

12⇢ ^{2 i 2}

0 = 20⇡

o in alternativa I =

Z 1 5 (

ZZ

D

zdxdy)dz =

Z 1

5 ⇡z(5 + z)dz +

Z 1

1 ⇡z(1 z) ² dz = ... = 20⇡

Quindi

z 0 = _µ(E) ¹

ZZZ

E zdxdydz = ₃₂ ^20⇡

3 ⇡ = ¹⁵ ₈

12. Per determinare le coordinate del baricentro di E, delimitato dai paraboloidi z = x ² + y ² e z = 4 x ² y ² , di densit`a di massa costante, osserviamo innanzitutto che l’intersezione tra i due paraboloidi `e data da

8 <

:

z = x ² + y ²

z = 4 x ² y ² ,

8 <

:

z = 2 x ² + y ² = 2 Dunque abbiamo E = E 1 [ E ² essendo

E ₁ = {(x, y, z) | z 2 [0, 2], (x, y) 2 C z , } dove C z = {(x, y) | x ² + y ²  z}

e

E 2 = {(x, y, z) | z 2 [2, 4], (x, y) 2 D z , } dove D z = {(x, y) | x ² + y ²  4 z } Dalle formule di riduzione, integrando per strati, risulta allora

µ(E 1 ) =

ZZZ

E

dxdydz =

Z ₂

0 (

ZZ

C

dxdy)dz = ⇡

Z ₂

0 zdz = ⇡ ^{î z} ₂

^{ó 2} ₀ = 2⇡

e

µ(E 2 ) =

ZZZ

E

dxdydz =

Z 4 2 (

ZZ

D

dxdy)dz = ⇡

Z 4

2 4 zdz = ⇡ ^î 4z ^z ₂

^{ó 4} ₂ = 2⇡

Quindi µ(E) = µ(E ₁ ) + µ(E ₂ ) = 4⇡. In alternativa, osservato che

E = {(x, y, z) | (x, y) 2 C, x ² + y ²  z  4 x ² y ² } dove C = {(x, y) | x ² + y ²  2}

integrando per fili si ottiene µ(E) =

ZZZ

E dxdydz =

ZZ

C (

Z _{4 x}

_y

x

+y

dz)dxdy = 2

ZZ

C 2 x ² y ² dxdy da cui, passando alle coordinate polari,

µ(E) = 2

Z 2⇡

0

Z ^p 2

0 (2 ⇢ ² )⇢ d⇢d✓ = 4⇡ ^h ⇢ ^{2 ⇢} ₄

ⁱ

p 2

0 = 4⇡

Osservato che il solido `e simmetrico rispetto all’asse z e la densit`a di massa costante, dette (x B , y B , z B ) le coordinate del baricentro, risulta x B = y B = 0. Mentre

z B = _4⇡ ¹

ZZZ

E z dxdydz

Procedendo come sopra, integrando per strati, si ottiene

ZZZ

E z dxdydz =

ZZZ

E

z dxdydz +

ZZZ

E

z dxdydz

=

Z 2 0 (

ZZ

C

z dxdy)dz +

Z 4 2 (

ZZ

D

z dxdy)dz

= ⇡

Z 2

0 z ² dz + ⇡

Z 4

2 4z z ² dz = ^8⇡ ₃ + ^16⇡ ₃ = 8⇡

da cui z B = 2.

NOTA: la risoluzione dell’esercizio poteva semplificarsi osservando che il dominio risulta simmetrico rispetto al piano z = 2 e dunque osservando che per simmetria si ha µ(E 1 ) = µ(E 2 ) e z B = 2.

13. Il solido E = {(x, y, z) 2 R ³ | x ² + y ²  z  6 p

x ² + y ² } di densit`a di massa costante, risulta simmetrico rispetto all’asse z. Poich´e la densit`a di massa `e costante si ha che, dette (x B , y B , z B ) le coordinate del baricentro, risulta x B = y B = 0 mentre

z B = _µ(E) ¹

ZZZ

E z dxdydz dove µ(E) =

ZZZ

E dxdydz

Per calcolare tali integrali, osserviamo innanzitutto che l’intersezione del cono z = 6 p x ² + y ² con il paraboloide z = x ² + y ² `e data da

8 <

:

z = 6 p

x ² + y ² z = x ² + y ² ,

8 <

:

x ² + y ² = 4 z = 4 Dunque E risulta dominio normale rispetto al piano x, y con

E = {(x, y, z) | (x, y) 2 D, x ² + y ²  z  6 ^» x ² + y ² } dove D = {(x, y) | x ² + y ²  4}

Dalle formule di riduzione, integrando per fili, risulta allora µ(E) =

ZZZ

E dxdydz =

ZZ

D (

Z ₆ p

x

+y

x

+y

dz)dxdy =

ZZ

D 6 ^» x ² + y ² x ² y ² dxdy e passando alle coordinate polari otteniamo

µ(E) =

Z 2⇡

0 (

Z 2

0 (6 ⇢ ⇢ ² )⇢d⇢)d✓ = 2⇡ ^h 3⇢ ^{2 ⇢} ₃

^⇢ ₄

^{i 2}

0 = ³² ₃ ⇡ Quindi

z B = _32⇡ ³

ZZZ

E z dxdydz = _32⇡ ³

ZZ

D (

Z 6 p

x

+y

x

+y

z dz)dxdy

= _64⇡ ³

ZZ

D (6 ^» x ² + y ² ) ² (x ² + y ² ) ² dxdy

= _64⇡ ³

Z 2⇡

0 (

Z 2

0 ((6 ⇢) ² ⇢ ⁴ )⇢d⇢)d✓ = ₃₂ ^{3 h} 18⇢ ² 4⇢ ³ + ^⇢ ₄

^⇢ ₆

^{i 2}

0 = ²⁵ ₈

In alternativa, osservato che

E = {(x, y, z) | z 2 [0, 6], (x, y) 2 D ^z } dove D z = {(x, y) | x ² + y ²  z} se z 2 [0, 4] e D z = {(x, y) | p

x ² + y ²  6 z } se z 2 [4, 6], integrando per strati si ottiene

µ(E) =

ZZZ

E dxdydz =

Z 6 0 (

ZZ

D

dxdy)dz =

Z 6

0 µ(D z ) dz

=

Z 4

0 ⇡zdz +

Z 6

4 ⇡(6 z) ² dz = 8⇡ + ⇡ ^î 36z 6z ² + ^z ₃

^{ó 6}

4 = ³² ₃ ⇡ e quindi

z B = _32⇡ ³

ZZZ

E z dxdydz = _32⇡ ³

Z 6 0 (

ZZ

D

z dxdy)dz = _32⇡ ³

Z 6

0 zm(D z ) dz

= _32⇡ ³

Z 4

0 ⇡z ² dz + _32⇡ ³

Z 6

4 ⇡z(6 z) ² dz = 2 + ₃₂ ^{3 î} 18z ² 4z ³ + ^z ₄

^{ó 6}

4 = ²⁵ ₈ 14. Determiniamo le coordinate del baricentro di E = {(x, y, z) 2 R ³ | 1  x ² + y ²  z  2}

di densit`a di massa (x, y, z) = z. Osservato che il solido `e simmetrico rispetto all’asse z e che la densit`a di massa dipende solo dalla variabile z, dette (x B , y B , z B ) le coordinate del baricentro, risulta x B = y B = 0. Mentre

z B = _m(E) ¹

ZZZ

D z ² dxdydz dove m(E) =

ZZZ

E z dxdydz

Per calcolare tali integrali osserviamo innanzitutto che l’intersezione del cilindro x ² +y ² = 1 con il paraboloide z = x ² + y ² `e data da

8 <

:

x ² + y ² = 1 z = 1

Dunque E risulta dominio normale rispetto al piano x, y con

E = {(x, y, z) | (x, y) 2 C, x ² + y ²  z  2} dove C = {(x, y) | 1  x ² + y ²  2}

Dalle formule di riduzione risulta allora m(E) =

ZZZ

E z dxdydz =

ZZ

C (

Z 2

x

+y

z dz)dxdy = ¹ ₂

ZZ

C 4 (x ² + y ² ) ² dxdy e passando alle coordinate polari otteniamo

m(E) = ¹ ₂

Z 2⇡

0 (

Z ^p 2

1 (4 ⇢ ⁴ )⇢d⇢)d✓ = ⇡ ^h 2⇢ ^{2 ⇢} ₆

ⁱ

p 2

1 = ⁵ ₆ ⇡

Quindi

z B = _5⇡ ⁶

ZZZ

E z ² dxdydz = _5⇡ ⁶

ZZ

C (

Z ₂

x

+y

z ² dz)dxdy = _5⇡ ²

ZZ

C 8 (x ² + y ² ) ³ dxdy

= _5⇡ ²

Z _2⇡

0 (

Z ^p ₂

1 (8 ⇢ ⁶ )⇢ d⇢)d✓ = ⁴ ₅ ^h 4⇢ ^{2 ⇢} ₈

ⁱ

p 2

1 = ¹⁷ ₁₀ In alternativa, osservato che

E = {(x, y, z) | z 2 [1, 2], (x, y) 2 C z } dove C z = {(x, y) | 1  x ² + y ²  z}

si ottiene

m(E) =

ZZZ

E z dxdydz =

Z 2 1 (

ZZ

C

dxdy)zdz =

Z 2

1 zm(C z ) dz

=

Z ₂

1 ⇡z(z 1)dz = ⇡ ^{î z} ₃

^z ₂

^{ó 2} ₁ = ⁵ ₆ ⇡ e quindi

z B = _5⇡ ⁶

ZZZ

E z ² dxdydz = _5⇡ ⁶

Z 2 1 (

ZZ

C

dxdy)z ² dz =

Z 2

1 z ² m(C z ) dz

= _5⇡ ⁶

Z ₂

1 ⇡z ² (z 1)dz = ⁶ ₅ ^{î z} ₄

^z ₃

^{ó 2} ₁ = ¹⁷ ₁₀ 15. Calcoliamo il baricentro di E = {(x, y, z) 2 R ³ | 1  p

x ² + y ²  4 z, z 0 } di densit`a di massa (x, y, z) = z. Il dominio E risulta dominio normale rispetto al piano x, y con

E = {(x, y, z) | (x, y) 2 C, 0  z  4 ^» x ² + y ² } dove C = {(x, y) | 1  ^» x ² + y ²  4}

Dalle formule di riduzione, integrando per fili, avremo

m(E) =

ZZZ

E z dxdydz =

ZZ

C (

Z ₄ p

x

+y

0 z dz) dxdy =

ZZ

C 1

2 (4 ^» x ² + y ² ) ² dxdy e passando alle coordinate polari otteniamo

m(E) = ¹ ₂

Z _2⇡

0 (

Z ₄

1 ⇢(4 ⇢) ² d⇢) d✓ = ⇡ cos ✓d

Z ₄

1 ⇢(⇢ ² 8⇢ + 16) d⇢

= ⇡ ^h 8⇢ ^{2 8} ₃ ⇢ ³ + ^⇢ ₄

^{i 4}

1 = ⁶³ ₄ ⇡

In alternativa, osservato che l’intersezione tra il cilindro x ² + y ² = 1 ed il cono p

x ² + y ² = 4 z `e data da ₈

<

:

x ² + y ² = 1

p x ² + y ² = 4 z ,

8 <

:

x ² + y ² = 1

z = 3

potremo scrivere

E = {(x, y, z) | z 2 [0, 3], (x, y) 2 C z } dove C z = {(x, y) | 1  ^» x ² + y ²  4 z } Dalle formule di riduzione, integrando per strati, si ottiene allora

m(E) =

ZZZ

E z dxdydz =

Z 3 0 (

ZZ

C

z dxdy)dz = ⇡

Z 3

0 z((4 z) ² 1) dz

= ⇡

Z 3

0 z(15 8z + z ² ) dz = ⇡ ^{î 15} ₂ z ² 8 ^z ₃

+ ^z ₄

^{ó 3}

0 = ⁶³ ₄ ⇡

Per quanto riguarda le coordinate (x B , y B , z B ) del baricentro, osserviamo che per simme- tria del dominio e della densit`a di massa risulta x B = y B = 0 mentre

z B = _m(E) ¹

ZZZ

E z ² dxdydz = _63⇡ ⁴

ZZZ

E z ² dxdydz

e procedendo come sopra si ottiene z _B = ⁴⁸ ₃₅ .