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Dalle formule di riduzione, integrando per fili, risulta

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Academic year: 2021

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(1)

Risoluzione

1. Calcoliamo p RRR E x 2 + y 2 dxdydz essendo E = {(x, y, z) 2 R 3 | x 2 + y 2  1, 0  z  4 x 2 y 2 }. Osserviamo che il dominio E risulta dominio normale rispetto al piano x, y con

E = {(x, y, z) | (x, y) 2 D, 0  z  » 4 x 2 y 2 } dove D = {(x, y) | x 2 + y 2  1}.

Dalle formule di riduzione, integrando per fili, risulta

ZZZ

E x 2 + y 2 dxdydz =

ZZ

D (

Z p

4 x

2

y

2

0 x 2 + y 2 dz)dxdy =

ZZ

D (x 2 + y 2 ) » 4 x 2 y 2 dxdy e passando alle coordinate polari e integrando per parti otteniamo

=

Z 2⇡

0 (

Z 1

0 ⇢ 3 » 4 ⇢ 2 d⇢)d✓ = 2⇡

ï

4

3 (4 ⇢ 2 ) 3 2 1 5 (4 ⇢ 2 ) 5 2

ò 1

0 = 2⇡( 64 15 11 5 p 3) In alternativa, osservato che l’intersezione tra il cilindro x 2 +y 2 = 1 e la sfera x 2 +y 2 +z 2 = 4 `e data da

8 <

:

x 2 + y 2 = 1

x 2 + y 2 + z 2 = 4 ,

8 <

:

x 2 + y 2 = 1

z 2 = 3 ,

8 <

:

x 2 + y 2 = 1 z = ± p

3 potremo scrivere E = E 1 [ E 2 dove

E 1 = {(x, y, z) | z 2 [0, p

3], (x, y) 2 D} e E 2 = {(x, y, z) | z 2 [ p

3, 2], (x, y) 2 D z } essendo D = {(x, y) | x 2 + y 2  1} e D z = {(x, y) | x 2 + y 2  4 z 2 } se z 2 [ p

3, 2]. Dalle formule di riduzione, integrando per strati, si ottiene allora

ZZZ

E x 2 + y 2 dxdydz =

Z p 3 0 (

ZZ

D x 2 + y 2 dxdy)dz +

Z 2 p 3 (

ZZ

D

z

x 2 + y 2 dxdy)dz

(2)

Utilizzando le coordinate polari per calcolare gli integrale doppi si ha

ZZZ

E x 2 + y 2 dxdydz =

Z p 3 0 (

Z 2⇡

0 (

Z 1

0 ⇢ 3 d⇢)d✓)dz +

Z 2 p 3 (

Z 2⇡

0 (

Z p 4 z

2

0 ⇢ 3 d⇢)d✓)dz

=

Z p 3 0

⇡ 2 dz +

Z 2 p 3

2 (4 z 2 ) 2 dz = 2 p

3 + 2 î 16z 8 3 z 3 + z 5

5

ó 2 p 3

= 2⇡( 64 15 11 5 p 3)

2. Per calcolare RRR E x + 2y dxdydz dove E `e il tetraedro determinato dai tre piani cartesiani positivi e dal piano x+y+z = 1, possiamo integrare per fili osservando che E = {(x, y, z) 2 R 3 | (x, y) 2 D, 0  z  1 x y} essendo D = {(x, y) 2 R 2 | x 2 [0, 1], 0  y  1 x}.

Otteniamo

ZZZ

E x + 2y dxdydz =

ZZ

D (

Z 1 x y

0 x + 2y dz) dxdy =

ZZ

D (x + 2y)(1 x y) dxdy

=

Z 1 0 (

Z 1 x

0 x x 2 3xy + 2y 2y 2 dy)dx

=

Z 1 0

î (x x 2 )y + y 2 3 2 xy 2 2 3 y 3 ó 1 x

0 dx

=

Z 1

0 (x x 2 )(1 x) + (1 x) 2 3 2 x(1 x) 2 2 3 (1 x) 3 dx = ...

3. Per calcolare RRR E xy dxdydz dove E = {(x, y, z) 2 R 3 | 0  p

3x  y, 2z 1, x 2 + y 2 + (z 1 2 ) 2  1} possiamo integrare per strati osservato che E = {(x, y, z) 2 R 3 | z 2 [ 1 2 , 3 2 ], (x, y) 2 C z } essendo C z = {(x, y) 2 R 2 | x 2 + y 2  1 (z 1) 2 , 0  p

3x  y}

(3)

z

y x

0

1 2 3 2

Utilizzando le coordinate polari per calcolare l’integrale doppio, posto T = {(⇢, ✓) | ✓ 2 [ 3 , 2 ], 0  ⇢  » 1 (z 1 2 ) 2 }, otteniamo allora

ZZZ

E xy dxdydz =

Z

32

1 2

(

ZZ

C

z

xy dxdy) dz =

Z

32

1 2

(

ZZ

T ⇢ 3 cos ✓ sin ✓ d✓d⇢) dz

= 32 1

Z

32

1 2

(1 (z 1 2 ) 2 ) 2 dz = ...

4. Calcoliamo RRR E x 2 z dxdydz dove E = {(x, y, z) 2 R 3 | 0  z  x 2 + y 2  4}.

z

y x

0 4

2 2

Per calcolare l’integrale possiamo utilizzare le coordinate cilindriche ottenendo

ZZZ

x 2 z dxdydz =

ZZZ

T ⇢ 3 cos 2 ✓z d⇢d✓dz

essendo T = {(⇢, ✓, z) | 0  z  ⇢ 2 , ✓ 2 [0, 2⇡], ⇢ 2 [0, 2]}.

(4)

Dato che T `e dominio normale rispetto a ⇢, ✓, posto D = [0, 2] ⇥ [0, 2⇡], integrando per fili otteniamo

ZZZ

x 2 z dxdydz =

ZZZ

T ⇢ 3 cos 2 ✓z d⇢d✓dz =

ZZ

D (

Z ⇢

2

0 ⇢ 3 cos 2 ✓z dz) d⇢d✓

=

ZZ

D ⇢ 3 cos 2î z 2

2

ó

2

0 d⇢d✓ = 1 2

ZZ

D ⇢ 7 cos 2 ✓ d⇢d✓

= 1 2

Z 2⇡

0 cos 2 ✓ d✓

Z 2

0 ⇢ 7 d⇢ = 1 4 [✓ + cos ✓ sin ✓] 2⇡ 0 h 8

8

i 2

0 = 16⇡

5. Calcoliamo RRR E p 1

x

2

+y

2

dxdydz dove E = {(x, y, z) 2 R 3 | x 2 + y 2 + z 2  4, z 1 } usando le coordinate sferiche.

z

y x

0 1 2

2

2

Otteniamo allora che ZZZ

E

p 1

x

2

+y

2

dxdydz =

ZZZ

T ⇢ d'd✓d⇢

essendo T = {(', ✓, ⇢) | ' 2 [0, 3 ], ✓ 2 [0, 2⇡], cos ' 1  ⇢  2}. Integrando per fili, posto D = [0, 3 ] ⇥ [0, 2⇡], otteniamo

ZZZ

E

p 1

x

2

+y

2

dxdydz =

ZZZ

T ⇢ d⇢d✓dz =

ZZ

D (

Z 2

1 cos '

⇢ d⇢)d'd✓ = 1 2

ZZ

D 4 cos 1

2

' d'd✓

= ⇡

Z

3

0 4 cos 1

2

' d' = ⇡ [4' tan '] 0

3

= ⇡( 4 3 ⇡ p 3)

6. Osserviamo che l’intersezione tra i paraboloidi z = 3(x 2 + y 2 ) e z = 1 + x 2 + y 2 `e data da

8 <

:

z = 3(x 2 + y 2 )

z = 1 + x 2 + y 2 ,

8 <

:

x 2 + y 2 = 1 2 z = 3 2

Il dominio E risulta dunque dominio normale rispetto al piano x, y con

E = {(x, y, z) | (x, y) 2 C, 3(x 2 + y 2 )  z  1 + x 2 + y 2 } dove C = {(x, y) | x 2 + y 21 2 }

(5)

Dalle formule di riduzione otteniamo allora µ(E) =

ZZZ

E dxdydz =

ZZ

C (

Z 1+x

2

+y

2

3(x

2

+y

2

) dz) dxdy =

ZZ

C 1 + x 2 + y 2 3(x 2 + y 2 ) dxdy e passando alle coordinate polari si ha

µ(E) =

Z 2⇡

0 (

Z p 1 2

0 (1 + ⇢ 2 3⇢ 2 )⇢ d⇢) d✓ = 2⇡

Z p 1 2

0 ⇢ 2⇢ 3 d⇢ = 2⇡ h 2

2

2

4

i

p 1 2 0 = 4 In alternativa, osservato che E = E 1 [ E 2 dove

E 1 = {(x, y, z) | z 2 [0, 1], (x, y) 2 D z } con D z = {(x, y) | x 2 + y 2z 3 } e

E 2 = {(x, y, z) | z 2 [1, 3 2 ], (x, y) 2 C z } con C z = {(x, y) | z 1  x 2 + y 2z 3 }, dalle formule di riduzione, integrando per strati, otteniamo

µ(E) = µ(E 1 ) + µ(E 2 ) =

ZZZ

E

1

dxdydz +

ZZZ

E

2

dxdydz

=

Z 1 0 (

ZZ

D

z

dxdy)dz +

Z 3

2 1 (

ZZ

C

z

dxdy)dz = ⇡

Z 1 0

z

3 dz + ⇡

Z 3

2

1 ( z 3 z + 1) dz

= ⇡ î z 6

2

ó 1 0 + ⇡ î z z 3

2

ó

3 2 1 = 4 .

7. Determiniamo il volume del solido E = {(x, y, z) 2 R 3 | x 2 + y 2  z  2 p

x 2 + y 2 }, ottenuto dall’intersezione del solido avente come frontiera il paraboloide x 2 + y 2 = z con il solido di frontiera il cono z = 2 p

x 2 + y 2 . Abbiamo che l’intersezione del paraboloide con il cono `e data da

8 <

:

z = x 2 + y 2 z = 2 p

x 2 + y 2 ,

8 <

:

x 2 + y 2 = 1 z = 1

Il dominio E risulta dunque dominio normale rispetto al piano (x, y) con

E = {(x, y, z) | (x, y) 2 D, x 2 + y 2  z  2 » x 2 + y 2 } dove D = {(x, y) | x 2 + y 2  1}

Dalle formule di riduzione, integrando per fili, risulta allora µ(E) =

ZZZ

E dxdydz =

ZZ

D (

Z 2 p

x

2

+y

2

x

2

+y

2

dz) dxdy =

ZZ

D 2 » x 2 + y 2 (x 2 + y 2 ) dxdy e passando alle coordinate polari otteniamo

µ(E) =

Z 2⇡

0 (

Z 1

0 (2 ⇢ ⇢ 2 )⇢ d⇢) d✓ = ... = 5 6

(6)

In alternativa, osservato che E = E 1 [ E 2 dove

E 1 = {(x, y, z) | z 2 [0, 1], (x, y) 2 D z } con D z = {(x, y) | x 2 + y 2  z}

e

E 2 = {(x, y, z) | z 2 [1, 2], (x, y) 2 B z } con B z = {(x, y) | x 2 + y 2  (2 z) 2 }, dalle formule di riduzione, integrando per strati, otteniamo

µ(E) = µ(E 1 ) + µ(E 2 ) =

ZZZ

E

1

dxdydz +

ZZZ

E

2

dxdydz

=

Z 1 0 (

ZZ

D

z

dxdy)dz +

Z 2 1 (

ZZ

B

z

dxdy)dz

=

Z 1

0 µ(D z ) dz +

Z 2

1 µ(B z ) dz = ⇡

Z 1

0 z dz + ⇡

Z 2

1 (2 z) 2 dz = ... = 5 6 ⇡.

8. Per calcolare il volume di E = {(x, y, z) 2 R 3 | x 2 + y 2 + z 2  1, x 2 + y 23 2 z }, integriamo per strati osservando che l’intersezione tra la sfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 e il paraboloide x 2 + y 2 = 3 2 z `e data da

8 <

:

x 2 + y 2 + z 2 = 1 x 2 + y 2 = 3 2 z ,

8 <

:

x 2 + y 2 = 3 4 z = 1 2 Osserviamo poi che E = E 1 [ E 2 dove

E 1 = {(x, y, z) | z 2 [0, 1 2 ], (x, y) 2 D z } con D z = {(x, y) | x 2 + y 23 2 z } e

E 2 = {(x, y, z) | z 2 [ 1 2 , 1], (x, y) 2 B z } con B z = {(x, y) | x 2 + y 2  1 z 2 }, dalle formule di riduzione, otteniamo

µ(E) = µ(E 1 ) + µ(E 2 ) =

ZZZ

E

1

dxdydz +

ZZZ

E

2

dxdydz

=

Z

12

0 (

ZZ

D

z

dxdy)dz +

Z 1

1 2

(

ZZ

B

z

dxdy)dz

=

Z

12

0 µ(D z ) dz +

Z 1

1 2

µ(B z ) dz = ⇡

Z

12

0 3

2 z dz + ⇡

Z 1

1 2

1 z 2 dz = ... = 19 48 ⇡.

9. Calcoliamo il volume di E ottenuto dalla rotazione di D = {(x, z) 2 R 2 | |z|  x, x 2 +z 2  x } attorno all’asse z di un angolo giro, usando il Teorema di Guldino. Abbiamo

µ(E) = µ(D) L( B ) = µ(D)2⇡ · x B = 2⇡

ZZ

D x dxdy

(7)

Utilizziamo le coordinate polari per calcolare l’integrale doppio, posto T = {(⇢, ✓) | ✓ 2 [ 4 , 4 ], 0  ⇢  cos ✓}, otteniamo

µ(E) = 2⇡

ZZ

T ⇢ 2 cos ✓ d⇢d✓ = 2⇡

Z

4

⇡ 4

(

Z cos ✓

0 ⇢ 2 cos ✓ d⇢)d✓ = 2 3

Z

4

⇡ 4

cos 4 ✓ d✓ = ... = 3 + 8

2

dove per calcolare l’ultimo integrale possiamo osservare che cos 4 ✓ = cos 2 ✓ cos 2 ✓ sin 2 ✓ = cos 21 4 sin 2 (2✓).

10. Per determinare il baricentro del cono E = {(x, y, z) 2 R 3 | 0  z  1 p

x 2 + y 2 } di densit`a di massa (x, y, z) = z dobbiamo innanzitutto calcolare la massa m(E) =

RRR

E z dxdydz. A tale scopo possiamo utilizzare le coordinate cilindriche. Posto T = {(⇢, ✓, z) | ✓ 2 [0, 2⇡], ⇢ 2 [0, 1] 0  z  1 ⇢ } otteniamo

m(E) =

ZZZ

E z dxdydz =

ZZZ

T ⇢z d⇢d✓dz =

Z

[0,1] ⇥[0,2⇡] (

Z 1 ⇢

0 ⇢z dz) d⇢d✓

= 1 2

Z

[0,1]⇥[0,2⇡] ⇢ 3 2⇢ 2 + ⇢ d⇢d✓ = ⇡

Z 1

0 ⇢ 3 2⇢ 2 + ⇢ d⇢ = ⇡ h 4

4

2⇢ 3

3

+ 2

2

i 1

0 = 12 Per simmetria abbiamo poi che ascissa e ordinata del baricentro sono nulle, x B = y B = 0 mentre

z B = 12

ZZZ

E z 2 dxdydz = 12

ZZZ

T ⇢z 2 d⇢d✓dz = 12

Z

[0,1] ⇥[0,2⇡] (

Z 1 ⇢

0 ⇢z 2 dz) d⇢d✓

= 4

ZZ

[0,1] ⇥[0,2⇡] ⇢ 4 + 3⇢ 3 3⇢ 2 + ⇢ d⇢d✓ = 8 h 5

5

+ 3⇢ 4

4

3 + 2

2

i 1

0 = 2 5 quindi il baricentro ha coordinate (0, 0, 2 5 ).

In alternativa, potremo integrare per fili, osservato che E = {(x, y, z) 2 R 3 | (x, y) 2 D, 0  z  1 p

x 2 + y 2 } dove D = {(x, y) 2 R 3 | x 2 + y 2  1}. Utilizzando le coordinate polari per calcolare l’integrale doppio otteniamo

m(E) =

ZZZ

E z dxdydz =

ZZ

D (

Z 1 p

1 x

2

y

2

0 z dz)dxdy = 1 2

ZZ

D (1 » 1 x 2 y 2 ) 2 dxdy

= 1 2

ZZ

[0,1]⇥[0,2⇡] (1 ⇢) 2 ⇢ d⇢d✓ = ⇡

Z 1

0 ⇢ 2⇢ 2 + ⇢ 3 d⇢ = ... = 12 e

z B = 12

ZZZ

E z 2 dxdydz = 12

ZZ

D (

Z 1 p

1 x

2

y

2

0 z 2 dz)dxdy

= 4

ZZ

D (1 » 1 x 2 y 2 ) 3 dxdy = 4

ZZ

[0,1] ⇥[0,2⇡] (1 ⇢) 3 ⇢ d⇢d✓

= 4

ZZ

[0,1] ⇥[0,2⇡] (1 3⇢ + 3⇢ 23 )⇢ d⇢d✓ = ... = 2 5

(8)

11. Osserviamo innanzitutto che l’intersezione tra il cono ed il paraboloide `e data da

8 <

:

z = x 2 + y 2 5 z = 1 p

x 2 + y 2 ,

8 <

:

x 2 + y 2 = z + 5 z + 5 = (1 z) 2 ,

8 <

:

x 2 + y 2 = 4 z = 1 Dunque E risulta dominio normale rispetto al piano x, y con

E = {(x, y, z) | (x, y) 2 D, x 2 + y 2 5  z  1 » x 2 + y 2 } dove D = {(x, y) | x 2 + y 2  4}

Dalle formule di riduzione, integrando per fili, risulta allora µ(E) =

ZZZ

E dxdydz =

ZZ

D (

Z 1 p

x

2

+y

2

x

2

+y

2

5 dz)dxdy =

ZZ

D 6 » x 2 + y 2 (x 2 + y 2 )dxdy e passando alle coordinate polari otteniamo

µ(E) =

Z 2⇡

0 (

Z 2

0 (6 ⇢ ⇢ 2 )⇢d⇢)d✓ = 2⇡ h 3⇢ 2 3

3

4

4

i 2

0 = 32 3 ⇡ In alternativa, osservato che

E = {(x, y, z) | z 2 [ 5, 1], (x, y) 2 D z }

dove D z = {(x, y) | x 2 + y 2  5 + z} se z 2 [ 5, 1] e D z = {(x, y) | x 2 + y 2  (1 z) 2 } se z 2 [ 1, 1], integrando per strati si ottiene

µ(E) =

ZZZ

E dxdydz =

Z 1 5 (

ZZ

D

z

dxdy)dz =

Z 1

5 m(D z ) dz

=

Z 1

5 ⇡(5 + z)dz +

Z 1

1 ⇡(1 z) 2 dz = ⇡ î z z 2 + z 3

3

ó 1

1 + ⇡ î 5z + z 2

2

ó 1

5

= 32 3

Dette (x B , y B , z B ) le coordinate del baricentro, osserviamo che essendo il dominio simme- trico rispetto all’asse z e la densit`a di massa costante, risulta x B = y B = 0. Per determi- nare z B calcoliamo innanzitutto l’integrale I = RRR E zdxdydz. A tale scopo, procedendo come sopra, otteniamo

I =

ZZ

D (

Z 1 p

x

2

+y

2

x

2

+y

2

5 z dz)dxdy = 1 2

ZZ

D (1 » x 2 + y 2 ) 2 (x 2 + y 2 5) 2 dxdy

=

Z 2⇡

0 (

Z 2

0 ((1 ⇢) 2 (⇢ 2 5) 2 )⇢ d⇢)d✓ =

Z 2⇡

0 (

Z 2

0 ⇢ 5 + 11⇢ 3 2⇢ 2 24⇢ d⇢)d✓

= 2⇡ h 6

6

+ 11⇢ 4

4

2⇢ 3

3

12⇢ 2 i 2

0 = 20⇡

o in alternativa I =

Z 1 5 (

ZZ

D

z

zdxdy)dz =

Z 1

5 ⇡z(5 + z)dz +

Z 1

1 ⇡z(1 z) 2 dz = ... = 20⇡

(9)

Quindi

z 0 = µ(E) 1

ZZZ

E zdxdydz = 32 20⇡

3 ⇡ = 15 8

12. Per determinare le coordinate del baricentro di E, delimitato dai paraboloidi z = x 2 + y 2 e z = 4 x 2 y 2 , di densit`a di massa costante, osserviamo innanzitutto che l’intersezione tra i due paraboloidi `e data da

8 <

:

z = x 2 + y 2

z = 4 x 2 y 2 ,

8 <

:

z = 2 x 2 + y 2 = 2 Dunque abbiamo E = E 1 [ E 2 essendo

E 1 = {(x, y, z) | z 2 [0, 2], (x, y) 2 C z , } dove C z = {(x, y) | x 2 + y 2  z}

e

E 2 = {(x, y, z) | z 2 [2, 4], (x, y) 2 D z , } dove D z = {(x, y) | x 2 + y 2  4 z } Dalle formule di riduzione, integrando per strati, risulta allora

µ(E 1 ) =

ZZZ

E

1

dxdydz =

Z 2

0 (

ZZ

C

z

dxdy)dz = ⇡

Z 2

0 zdz = ⇡ î z 2

2

ó 2 0 = 2⇡

e

µ(E 2 ) =

ZZZ

E

2

dxdydz =

Z 4 2 (

ZZ

D

z

dxdy)dz = ⇡

Z 4

2 4 zdz = ⇡ î 4z z 2

2

ó 4 2 = 2⇡

Quindi µ(E) = µ(E 1 ) + µ(E 2 ) = 4⇡. In alternativa, osservato che

E = {(x, y, z) | (x, y) 2 C, x 2 + y 2  z  4 x 2 y 2 } dove C = {(x, y) | x 2 + y 2  2}

integrando per fili si ottiene µ(E) =

ZZZ

E dxdydz =

ZZ

C (

Z 4 x

2

y

2

x

2

+y

2

dz)dxdy = 2

ZZ

C 2 x 2 y 2 dxdy da cui, passando alle coordinate polari,

µ(E) = 2

Z 2⇡

0

Z p 2

0 (2 ⇢ 2 )⇢ d⇢d✓ = 4⇡ h2 4

4

i

p 2

0 = 4⇡

Osservato che il solido `e simmetrico rispetto all’asse z e la densit`a di massa costante, dette (x B , y B , z B ) le coordinate del baricentro, risulta x B = y B = 0. Mentre

z B = 4⇡ 1

ZZZ

E z dxdydz

(10)

Procedendo come sopra, integrando per strati, si ottiene

ZZZ

E z dxdydz =

ZZZ

E

1

z dxdydz +

ZZZ

E

2

z dxdydz

=

Z 2 0 (

ZZ

C

z

z dxdy)dz +

Z 4 2 (

ZZ

D

z

z dxdy)dz

= ⇡

Z 2

0 z 2 dz + ⇡

Z 4

2 4z z 2 dz = 8⇡ 3 + 16⇡ 3 = 8⇡

da cui z B = 2.

NOTA: la risoluzione dell’esercizio poteva semplificarsi osservando che il dominio risulta simmetrico rispetto al piano z = 2 e dunque osservando che per simmetria si ha µ(E 1 ) = µ(E 2 ) e z B = 2.

13. Il solido E = {(x, y, z) 2 R 3 | x 2 + y 2  z  6 p

x 2 + y 2 } di densit`a di massa costante, risulta simmetrico rispetto all’asse z. Poich´e la densit`a di massa `e costante si ha che, dette (x B , y B , z B ) le coordinate del baricentro, risulta x B = y B = 0 mentre

z B = µ(E) 1

ZZZ

E z dxdydz dove µ(E) =

ZZZ

E dxdydz

Per calcolare tali integrali, osserviamo innanzitutto che l’intersezione del cono z = 6 p x 2 + y 2 con il paraboloide z = x 2 + y 2 `e data da

8 <

:

z = 6 p

x 2 + y 2 z = x 2 + y 2 ,

8 <

:

x 2 + y 2 = 4 z = 4 Dunque E risulta dominio normale rispetto al piano x, y con

E = {(x, y, z) | (x, y) 2 D, x 2 + y 2  z  6 » x 2 + y 2 } dove D = {(x, y) | x 2 + y 2  4}

Dalle formule di riduzione, integrando per fili, risulta allora µ(E) =

ZZZ

E dxdydz =

ZZ

D (

Z 6 p

x

2

+y

2

x

2

+y

2

dz)dxdy =

ZZ

D 6 » x 2 + y 2 x 2 y 2 dxdy e passando alle coordinate polari otteniamo

µ(E) =

Z 2⇡

0 (

Z 2

0 (6 ⇢ ⇢ 2 )⇢d⇢)d✓ = 2⇡ h 3⇢ 2 3

3

4

4

i 2

0 = 32 3 ⇡ Quindi

z B = 32⇡ 3

ZZZ

E z dxdydz = 32⇡ 3

ZZ

D (

Z 6 p

x

2

+y

2

x

2

+y

2

z dz)dxdy

= 64⇡ 3

ZZ

D (6 » x 2 + y 2 ) 2 (x 2 + y 2 ) 2 dxdy

= 64⇡ 3

Z 2⇡

0 (

Z 2

0 ((6 ⇢) 24 )⇢d⇢)d✓ = 32 3 h 18⇢ 2 4⇢ 3 + 4

4

6

6

i 2

0 = 25 8

(11)

In alternativa, osservato che

E = {(x, y, z) | z 2 [0, 6], (x, y) 2 D z } dove D z = {(x, y) | x 2 + y 2  z} se z 2 [0, 4] e D z = {(x, y) | p

x 2 + y 2  6 z } se z 2 [4, 6], integrando per strati si ottiene

µ(E) =

ZZZ

E dxdydz =

Z 6 0 (

ZZ

D

z

dxdy)dz =

Z 6

0 µ(D z ) dz

=

Z 4

0 ⇡zdz +

Z 6

4 ⇡(6 z) 2 dz = 8⇡ + ⇡ î 36z 6z 2 + z 3

3

ó 6

4 = 32 3 ⇡ e quindi

z B = 32⇡ 3

ZZZ

E z dxdydz = 32⇡ 3

Z 6 0 (

ZZ

D

z

z dxdy)dz = 32⇡ 3

Z 6

0 zm(D z ) dz

= 32⇡ 3

Z 4

0 ⇡z 2 dz + 32⇡ 3

Z 6

4 ⇡z(6 z) 2 dz = 2 + 32 3 î 18z 2 4z 3 + z 4

4

ó 6

4 = 25 8 14. Determiniamo le coordinate del baricentro di E = {(x, y, z) 2 R 3 | 1  x 2 + y 2  z  2}

di densit`a di massa (x, y, z) = z. Osservato che il solido `e simmetrico rispetto all’asse z e che la densit`a di massa dipende solo dalla variabile z, dette (x B , y B , z B ) le coordinate del baricentro, risulta x B = y B = 0. Mentre

z B = m(E) 1

ZZZ

D z 2 dxdydz dove m(E) =

ZZZ

E z dxdydz

Per calcolare tali integrali osserviamo innanzitutto che l’intersezione del cilindro x 2 +y 2 = 1 con il paraboloide z = x 2 + y 2 `e data da

8 <

:

x 2 + y 2 = 1 z = 1

Dunque E risulta dominio normale rispetto al piano x, y con

E = {(x, y, z) | (x, y) 2 C, x 2 + y 2  z  2} dove C = {(x, y) | 1  x 2 + y 2  2}

Dalle formule di riduzione risulta allora m(E) =

ZZZ

E z dxdydz =

ZZ

C (

Z 2

x

2

+y

2

z dz)dxdy = 1 2

ZZ

C 4 (x 2 + y 2 ) 2 dxdy e passando alle coordinate polari otteniamo

m(E) = 1 2

Z 2⇡

0 (

Z p 2

1 (4 ⇢ 4 )⇢d⇢)d✓ = ⇡ h 2⇢ 2 6

6

i

p 2

1 = 5 6

(12)

Quindi

z B = 5⇡ 6

ZZZ

E z 2 dxdydz = 5⇡ 6

ZZ

C (

Z 2

x

2

+y

2

z 2 dz)dxdy = 5⇡ 2

ZZ

C 8 (x 2 + y 2 ) 3 dxdy

= 5⇡ 2

Z 2⇡

0 (

Z p 2

1 (8 ⇢ 6 )⇢ d⇢)d✓ = 4 5 h 4⇢ 2 8

8

i

p 2

1 = 17 10 In alternativa, osservato che

E = {(x, y, z) | z 2 [1, 2], (x, y) 2 C z } dove C z = {(x, y) | 1  x 2 + y 2  z}

si ottiene

m(E) =

ZZZ

E z dxdydz =

Z 2 1 (

ZZ

C

z

dxdy)zdz =

Z 2

1 zm(C z ) dz

=

Z 2

1 ⇡z(z 1)dz = ⇡ î z 3

3

z 2

2

ó 2 1 = 5 6 ⇡ e quindi

z B = 5⇡ 6

ZZZ

E z 2 dxdydz = 5⇡ 6

Z 2 1 (

ZZ

C

z

dxdy)z 2 dz =

Z 2

1 z 2 m(C z ) dz

= 5⇡ 6

Z 2

1 ⇡z 2 (z 1)dz = 6 5 î z 4

4

z 3

3

ó 2 1 = 17 10 15. Calcoliamo il baricentro di E = {(x, y, z) 2 R 3 | 1  p

x 2 + y 2  4 z, z 0 } di densit`a di massa (x, y, z) = z. Il dominio E risulta dominio normale rispetto al piano x, y con

E = {(x, y, z) | (x, y) 2 C, 0  z  4 » x 2 + y 2 } dove C = {(x, y) | 1  » x 2 + y 2  4}

Dalle formule di riduzione, integrando per fili, avremo

m(E) =

ZZZ

E z dxdydz =

ZZ

C (

Z 4 p

x

2

+y

2

0 z dz) dxdy =

ZZ

C 1

2 (4 » x 2 + y 2 ) 2 dxdy e passando alle coordinate polari otteniamo

m(E) = 1 2

Z 2⇡

0 (

Z 4

1 ⇢(4 ⇢) 2 d⇢) d✓ = ⇡ cos ✓d

Z 4

1 ⇢(⇢ 2 8⇢ + 16) d⇢

= ⇡ h 8⇢ 2 8 33 + 4

4

i 4

1 = 63 4

In alternativa, osservato che l’intersezione tra il cilindro x 2 + y 2 = 1 ed il cono p

x 2 + y 2 = 4 z `e data da 8

<

:

x 2 + y 2 = 1

p x 2 + y 2 = 4 z ,

8 <

:

x 2 + y 2 = 1

z = 3

(13)

potremo scrivere

E = {(x, y, z) | z 2 [0, 3], (x, y) 2 C z } dove C z = {(x, y) | 1  » x 2 + y 2  4 z } Dalle formule di riduzione, integrando per strati, si ottiene allora

m(E) =

ZZZ

E z dxdydz =

Z 3 0 (

ZZ

C

z

z dxdy)dz = ⇡

Z 3

0 z((4 z) 2 1) dz

= ⇡

Z 3

0 z(15 8z + z 2 ) dz = ⇡ î 15 2 z 2 8 z 3

3

+ z 4

4

ó 3

0 = 63 4

Per quanto riguarda le coordinate (x B , y B , z B ) del baricentro, osserviamo che per simme- tria del dominio e della densit`a di massa risulta x B = y B = 0 mentre

z B = m(E) 1

ZZZ

E z 2 dxdydz = 63⇡ 4

ZZZ

E z 2 dxdydz

e procedendo come sopra si ottiene z B = 48 35 .

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