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43 IChO - Soluzioni preliminari dei Problemi Preparatori Problema 23 Radioactive decay
a) La massa dell'isotopo che si forma in seguito al decadimento é leggermente più piccola di quella dell'isotopo di partenza. La massa mancante si trasforma in energia (secondo la ben nota equazione E = m c2) che viene "ceduta" alla particella β. Quindi l'energia delle particelle β emesse sarà pari a E = c2 ∆m dove ∆m é la differenza di massa tra l'isotopo che si forma e l'isotopo che decade.
Considerando il decadimento:
32
15P → 3216S + β
la differenza di massa risulta di 0,00183627 uma, pari a 3,0493 ∙10−30 kg. Da ciò si ricava l'energia della particella β:
E = (2, 998 ∙108 m s−1)2 ∙ 3,0493 ∙ 10−30 kg = 2,74 ∙10−13 J = 1, 71 ∙106 eV Allo stesso modo, per il decadimento
33
15P → 3316S + β
si ricava ∆m = 0,00026674 uma = 4,429 ∙10−31 kg e quindi E = 3,98 ∙10−14 J = 2,48 ∙105 eV
b) Dalla lunghezza d'onda si calcola l'energia dei fotoni in joule con la relazione:
m J
s m s
J
E hc 9 15
1 8 34
10 691 , 10 1
1175 , 0
10 998 , 2 10
626 ,
6 − − = ⋅ −
⋅
⋅
⋅
= ⋅
= λ e quindi convertendo in eV:
eV eV J
s m s
eV J
E 19 1 4
1 8 34
10 055 , 10 1
602 , 1
10 998 , 2 10
626 , ) 6
( = ⋅
⋅
⋅
⋅
= ⋅ − − − −
c) Un decadimento radioattivo segue una cinetica del primo ordine, quindi:
A = k ∙ N
dt A=−dN
dove A é l'attività del campione (cioè il numero di disintegrazioni al secondo), k é la costante cinetica e N é il numero di atomi di isotopo radioattivo presenti. La costante cinetica é legata al tempo di dimezzamento (t1/2, che viene fornito come dato del problema) dalla relazione:
2 / 1
2 ln k = t
(come esercizio ricavare questa relazione). Quindi, convertendo il tempo di dimezzamento in secondi:
15 6
1 9 2
/
1 6,60 10
2 ln
10 2355 , 1 10 7 , 3 2
ln⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
=
= A t s− s
k N A
Questo é il numero di atomi di 32P che producono un'attività' di 0,10 Ci. La massa quindi sarà:
mol g mol P g
N PM m N
A
7 1
23
1 15
32 3,5 10
10 022 , 6
9739 , 31 10 60 , ) 6
( − −
− = ⋅
⋅
⋅
= ⋅
=
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43 IChO - Soluzioni preliminari dei Problemi Preparatori
d) In ogni istante di tempo, l'attività osservata é data dalla somma delle attività dovute ai due isotopi. Per semplicità chiamiamo rispettivamente A e B i due isotopi, 32P e 33P. Quindi possiamo dire che dovrà essere:
+
=
+
=
) ( ) ( ) (
) 0 ( ) 0 ( ) 0 (
t A t A t A
A A
A
B A
B A
Per ciascun isotopo poi vale, come detto prima, una legge cinetica del primo ordine, per cui:
AA(t) = AA(0) ∙ e−kAt AB(t) = AB(0) ∙ e−kBt
dove t = 14, 3 giorni = 1,2355 ∙106 s e le costanti cinetiche kA = 5,61 ∙10−7 s−1 e kB = 3,17 ∙10−7 s−1 si ricavano come descritto al punto precedente.
Se notiamo che il tempo t coincide esattamente con il tempo di dimezzamento dell'isotopo A, possiamo dire subito che AA(t)= ½AA(0).
Per l'isotopo B invece dobbiamo porre mano alla calcolatrice:
AB(t) = AB(0) ∙ e−3,17 ∙ 10−7 s−1 ∙1,2355 · 106 s
= 0,676 AB(0)
A questo punto possiamo sostituire nel sistema (1) questi ultimi due risultati ottenendo:
+
=
+
=
) 0 ( 676 , 2 0
) 0 ) (
(
) 0 ( )
0 ( )
0 (
B B A
A
B B A
A
N N k
k t A
N k N
k A
Risolvendo il sistema (ricordandosi di convertire le attività in disintegrazioni al secondo) si trova:
568 10
06 , 1 ) 0 (
10 02 , 6 ) 0 (
33 32 18
20
=
⇒
⋅
=
⋅
=
P P N
N
B A
Soluzione proposta da Andrea Magro
Ex allievo dell’ ITIS Natta – Padova
