LAVORO DI MATEMATICA 1. Esegui la somma fra le seguenti frazioni algebriche, dopo aver speci cato le condizioni di esistenza: (a)

LAVORO DI MATEMATICA

1. Esegui la somma fra le seguenti frazioni algebriche, dopo aver specicato le condizioni di esistenza:

(a) ¹ _x + _x−1 ¹ (b) _x−2 ² + _x

^3x −4

(c) _x ^3x−2x

+2x+1

− _x ^x+2

+x

(d) ^2a+3 _a

−9 − _a

^4a+1 −3a−6

2. Cerca il termine mancante da aggiungere ai seguenti polinomi per completare il quadrato di un binomio:

(a) x ² − 8x + ...

(b) 3x ² − 6x + ...

(c) x ² + ³ ₂ x + ...

(d) ¹ ₄ x ² + 7x + ...

3. Prova a scomporre i seguenti trinomi di secondo grado portandoli ad una forma a ² − b ² , come abbiamo fatto stamani in classe (un paio di esempi di aiuto possono servire):

(a) primo esempio: vogliamo scomporre il polinomio x ² − 2x − 8 . A x ² − 2x aggiungiamo 1 per completare il quadrato del binomio, perché x ² − 2x + 1 = (x − 1) ² . Possiamo quindi scrivere che x ² − 2x − 8 = x ² − 2x + 1 − 1 − 8 (se aggiungo 1 devo anche togliere 1, anché valga il segno di uguaglianza). Quindi x ² − 2x − 8 = (x − 1) ² − 9 . Ma (x − 1) ² − 9 è la dierenza fra il quadrato di x − 1 e il quadrato di 3, quindi lo posso scomporre come (x − 1 + 3)(x − 1 − 3) = (x + 2)(x − 4). In denitiva x ² − 2x − 8 = (x + 2)(x − 4) (b) secondo esempio: vogliamo scomporre il polinomio x ² + 4x + 20 . A x ² + 4x aggiungiamo 4 per completare il quadrato del binomio, perché x ² + 4x + 4 = (x + 2) ² . Possiamo quindi scrivere che x ² + 4x + 20 = x ² + 4x + 4 − 4 + 20 (se aggiungo 4 devo anche togliere 4, se voglio che valga il segno di uguaglianza).

Quindi x ² + 4x + 20 = (x + 2) ² + 16 . Il polinomio che stiamo considerando è stato quindi espresso come somma di un quadrato e di un numero positivo: per nessun valore di x questo polinomio potrà annullarsi (cioè assumere valore 0). Il teorema di Runi mi dice che non esiste nessun numero α tale che (x − α) sia divisore del polinomio. Questo polinomio è quindi irriducibile.

(c) x ² + 4x − 21 (d) x ² + 8x + 15

(e) x ² − ⁵ ₃ x - ² ₃ (f) x ² − 3x + 3

4. Da questo link https://www.geogebra.org/m/pypk8tph puoi aprire un foglio di Geogebra in cui sono rappresentati due angoli di uguale ampiezza. Prova a sovrapporre il primo al secondo utilizzando simmetrie centrali. Quante ne occorrono?

(a) possiamo aermare che se due angoli hanno la stessa ampiezza, esiste un'isometria che fa sovrapporre l'uno all'altro?

(b) possiamo dire che se due angoli sono sovrapponibili, essi hanno la stessa ampiezza?