Equazioni differenziali del primo ordine in forma speciale

(1)

Equazioni differenziali del primo ordine in forma speciale

13 maggio 2009

Supponiamo che f (x, y) sia una funzione continua definita in un rettan- golo del piano xy. Questo significa che x varia in un intervallo I dell’asse delle x ed y varia in un intervallo J dell’asse delle y. L’espressione

y ⁰ = f (x, y), (1)

indica il problema di trovare le funzioni y(x) definite nell’intervallo I e a valori nell’intervallo J che sono derivabili e la cui derivata in ogni punto x ∈ I sod- disfa alla condizione y ⁰ (x) = f (x, y(x)). Questo problema e/o l’espressione indicata sopra si chiama equazione differenziale del primo ordine.

Abbiamo naturalmente già visto equazioni di questo tipo e cioè le equazioni lineari y ⁰ + a(x)y = b(x) in cui f (x, y) = b(x) − a(x)y, l’intervallo I coincide con l’intervallo di definizione di a(x) e b(x), e l’intrvallo J è tutta la retta reale. Nel caso della equazione differenziale lineare siamo riuscito a fornire una ”formula risolutiva” che esprimeva tutte le possibili soluzioni. Nel caso della equazione generale (1) questo non è in generale possibile. In questi ap- punti considereremo casi particolari della (1) nei quali sarà possibile trovare tutte, o alcune delle soluzioni.

Prima di andare avanti osserviamo che con riferimento alla (1) si cercano in genere soluzioni che soddisfano ad una condizione iniziale. Si cerca cio`e di risolvere il cosiddetto problema di Cauchy, che `e il problema di trovare (se esiste) la soluzione y che in un punto x ₀ ∈ I, assume un particolare valore y ₀ ∈ J. Il problema di Cauchy si esprime in formule come segue:

y ⁰ = f (x, y),

y(x ₀ ) = y ₀ . (2)

La domanda che ci si chiede e se esiste una funzione che soddisfa a questo problema e se questa soluzione è unica. Abbiamo visto che la risposta è posi- tiva per le equazioni lineari. Diciamo subito che anche in condizioni generali è

1

(2)

possibile dimostrare l’esistenza di una soluzione, ma possiamo essere costret- ti a restringere la soluzione ad un intervallo più piccolo di I. Per l’unicità dobbiamo invece aggiungere una ipotesi di ”Lipschitizianità rispetto ad y”

per la funzione f (x, y). Non tratteremo comunque qui questi problemi cos`ı generali. Come si `e detto ci limiteremo a considerare casi molto particolari.

Equazioni a variabili separate Il primo caso che considereremo `e quello in cui nella (1) la funzione f (x, y) si pu`o scrivere come

f (x, y) = g(x) h(y) ,

dove h e g sono funzioni di una sola variabile. Scriviamo all’ora l’equazione come

h(y) dy

dx = g(x), (3)

Se u `e una soluzione della (3) in un intervallo I e x ₀ ∈ I, allora h(u(x))u ⁰ (x) = g(x),

per tutti gli x ∈ I. Possiamo integrare da x ₀ a x quest’ultima equazione per ottenere: Z _x

x

0

h(u(t))u ⁰ (t)dt = Z _u(x)

u(x

0

)

h(u)du = Z _x

x

0

g(t)dt. (4)

In pratica se si trovano primitive H(y) di h e G(x) di g, allora si devono cercare le soluzioni tra le funzioni definite implicitamente dalla relazione

H(y) = G(x) + c, dove c `e una costante reale.

L’esempio più semplice di equazioni e soluzioni di questo tipo è fornito dal cao in cui h(y) ≡ 1. Allora l’equazione è

y ⁰ = g(x),

che si risolve trovando una primitiva G di g e scrivendo y(x) = G(x) + c

Un altro esempio semplice `e fornito dal caso in cui g(x) ≡ 1 ed abbiamo y ⁰ = 1

h(y) , ovvero

h(y)dy = dx.

2

(3)

Cos`ı se H `e una primitiva di h, le souzioni y saranno definite implicitamente dalla

H(y) = x + c.

Consideriamo ad esempio l’equazione,

y ⁰ = y ² . (5)

Possiamo scrivere questa equazione come dy y ² = dx, che da luogo alla relazione

− 1

y = x + c, ovvero

y = −1 x + c .

Osserviamo subito a questo punto che non tutte le soluzioni della (5) sono rappresentate in questa formula. Manca, ad esempio, la soluzione identica- mente nulla. In effetti quando abbiamo diviso per y ² abbiamo tacitamente supposto che le soluzioni cercate non si annullassero.

Passiamo ora ad un altro esempio significativo. Consideriamo l’equazione y ⁰ = 3y ^2/3 = 3 p

³

y ² . (6)

Procediamo anche in questo caso a dividere per y ^2/3 per ottenere dy

y ^2/3 = 3dx.

Otteniamo cos`ı (nell’ipotesi che y 6= 0)

y ^1/3 = (x + c), ovvero

y = (x + c) ³ .

Anche in questo caso la soluzione identicamente nulla non è rappresentata nella formula generale. Ma c’è di più. Possono esistere ed infatti esistono più soluzioni che soddisfano alla stessa condizione iniziale. Ad esempio le soluzioni

y(x) = x ³ e y(x) ≡ 0,

3

(4)

soddisfano ambedue alla condizione iniziale y(0) = 0. Infatti ci sono infinite soluzioni che soddisfano a questa condizione iniziale. Se k > 0 e definiamo

u _k (x) = 0 per − ∞ < x ≤ k u k (x) = (x − k) ³ per k < x < +∞,

allora u _k `e una soluzione dell’equazione differenziale che soddisfa alla con- dizione inziale u _k (0) = 0.

Il lettore avrà notato che la funzione f (x, y) = y ^2/3 è certamente continua, ma si guarda bene dall’essere Lipschitziana rispetto ad y. Non si contraddice cioè il teorema di esistenza e unicità che vale per l’equasione y ⁰ = f (x, y) quando f come funzione della sola y risulta Lipschitziana.

Ci sono equazioni che pur non essendo a ”variabili separate” possono essere facilmente ricondotte a questo tipo di equazione. Supponiamo di avere una equazione del tipo:

y ⁰ = f (x, y), (7)

con f continua in un rettangolo del piano. Supponiamo inoltre che per ogni numero reale t ∈ R risulti

f (tx, ty) = f (x, y).

Allora posto y = ux, la (7) diviene

xu ⁰ + u = f (x, ux) = f (1, u), e cio`e

u ⁰ = f (1, u) − u

x ,

che `e un’equazione a variabili separate.

L’equazione di Bernoulli

Si chiama equazione di Bernoulli una equazione differenziale del tipo

y ⁰ + α(x)y = β(x)y ^k , (8)

dove k `e una costante e α e β sono funzioni continue definite in un intervallo.

Quando k = 1 questa equasione `e lineare. Se k 6= 1, possiamo trasformare la (8) in una equazione lineare con la sostituzione u = y ^1−k . La (8) diviene allora

u ⁰ = (1 − k)y ^−k y ⁰ = (1 − k)y ^−k [βy ^k − α(x)y], (9) cio`e

u ⁰ + (1 − k)α(x)u = (1 − k)β(x). (10) Questa ultima equazione `e un’equazione lineare dalla quale si pu`o ricavare u attraverso la formula risolutiva. La condizione u = y ^1−k ci consente poi di trovare le soluzioni della (8).

4

Equazioni differenziali del primo ordine in forma speciale

Equazioni differenziali del primo ordine in forma speciale

13 maggio 2009

Supponiamo che f (x, y) sia una funzione continua definita in un rettan- golo del piano xy. Questo significa che x varia in un intervallo I dell’asse delle x ed y varia in un intervallo J dell’asse delle y. L’espressione

y 0 = f (x, y), (1)

y 0 = f (x, y),

y(x 0 ) = y 0 . (2)

La domanda che ci si chiede e se esiste una funzione che soddisfa a questo problema e se questa soluzione è unica. Abbiamo visto che la risposta è posi- tiva per le equazioni lineari. Diciamo subito che anche in condizioni generali è

1

possibile dimostrare l’esistenza di una soluzione, ma possiamo essere costret- ti a restringere la soluzione ad un intervallo più piccolo di I. Per l’unicità dobbiamo invece aggiungere una ipotesi di ”Lipschitizianità rispetto ad y”

per la funzione f (x, y). Non tratteremo comunque qui questi problemi cos`ı generali. Come si `e detto ci limiteremo a considerare casi molto particolari.

Equazioni a variabili separate Il primo caso che considereremo `e quello in cui nella (1) la funzione f (x, y) si pu`o scrivere come

f (x, y) = g(x) h(y) ,

dove h e g sono funzioni di una sola variabile. Scriviamo all’ora l’equazione come

h(y) dy

dx = g(x), (3)

Se u `e una soluzione della (3) in un intervallo I e x 0 ∈ I, allora h(u(x))u 0 (x) = g(x),

per tutti gli x ∈ I. Possiamo integrare da x 0 a x quest’ultima equazione per ottenere: Z x

x

h(u(t))u 0 (t)dt = Z u(x)

u(x

)

h(u)du = Z x

x

g(t)dt. (4)

In pratica se si trovano primitive H(y) di h e G(x) di g, allora si devono cercare le soluzioni tra le funzioni definite implicitamente dalla relazione

H(y) = G(x) + c, dove c `e una costante reale.

L’esempio più semplice di equazioni e soluzioni di questo tipo è fornito dal cao in cui h(y) ≡ 1. Allora l’equazione è

y 0 = g(x),

che si risolve trovando una primitiva G di g e scrivendo y(x) = G(x) + c

Un altro esempio semplice `e fornito dal caso in cui g(x) ≡ 1 ed abbiamo y 0 = 1

h(y) , ovvero

h(y)dy = dx.

2

Cos`ı se H `e una primitiva di h, le souzioni y saranno definite implicitamente dalla

H(y) = x + c.

Consideriamo ad esempio l’equazione,

y 0 = y 2 . (5)

Possiamo scrivere questa equazione come dy y 2 = dx, che da luogo alla relazione

− 1

y = x + c, ovvero

y = −1 x + c .

Osserviamo subito a questo punto che non tutte le soluzioni della (5) sono rappresentate in questa formula. Manca, ad esempio, la soluzione identica- mente nulla. In effetti quando abbiamo diviso per y 2 abbiamo tacitamente supposto che le soluzioni cercate non si annullassero.

Passiamo ora ad un altro esempio significativo. Consideriamo l’equazione y 0 = 3y 2/3 = 3 p

y 2 . (6)

Procediamo anche in questo caso a dividere per y 2/3 per ottenere dy

y 2/3 = 3dx.

Otteniamo cos`ı (nell’ipotesi che y 6= 0)

y 1/3 = (x + c), ovvero

y = (x + c) 3 .

Anche in questo caso la soluzione identicamente nulla non è rappresentata nella formula generale. Ma c’è di più. Possono esistere ed infatti esistono più soluzioni che soddisfano alla stessa condizione iniziale. Ad esempio le soluzioni

y(x) = x 3 e y(x) ≡ 0,

3

soddisfano ambedue alla condizione iniziale y(0) = 0. Infatti ci sono infinite soluzioni che soddisfano a questa condizione iniziale. Se k > 0 e definiamo

u k (x) = 0 per − ∞ < x ≤ k u k (x) = (x − k) 3 per k < x < +∞,

allora u k `e una soluzione dell’equazione differenziale che soddisfa alla con- dizione inziale u k (0) = 0.

Ci sono equazioni che pur non essendo a ”variabili separate” possono essere facilmente ricondotte a questo tipo di equazione. Supponiamo di avere una equazione del tipo:

y 0 = f (x, y), (7)

con f continua in un rettangolo del piano. Supponiamo inoltre che per ogni numero reale t ∈ R risulti

f (tx, ty) = f (x, y).

Allora posto y = ux, la (7) diviene

xu 0 + u = f (x, ux) = f (1, u), e cio`e

u 0 = f (1, u) − u

x ,

che `e un’equazione a variabili separate.

L’equazione di Bernoulli

Si chiama equazione di Bernoulli una equazione differenziale del tipo

y 0 + α(x)y = β(x)y k , (8)

dove k `e una costante e α e β sono funzioni continue definite in un intervallo.

Quando k = 1 questa equasione `e lineare. Se k 6= 1, possiamo trasformare la (8) in una equazione lineare con la sostituzione u = y 1−k . La (8) diviene allora

u 0 = (1 − k)y −k y 0 = (1 − k)y −k [βy k − α(x)y], (9) cio`e

u 0 + (1 − k)α(x)u = (1 − k)β(x). (10) Questa ultima equazione `e un’equazione lineare dalla quale si pu`o ricavare u attraverso la formula risolutiva. La condizione u = y 1−k ci consente poi di trovare le soluzioni della (8).

4

y ⁰ = f (x, y), (1)

y ⁰ = f (x, y),

y(x ₀ ) = y ₀ . (2)

Se u `e una soluzione della (3) in un intervallo I e x ₀ ∈ I, allora h(u(x))u ⁰ (x) = g(x),

per tutti gli x ∈ I. Possiamo integrare da x ₀ a x quest’ultima equazione per ottenere: Z _x

h(u(t))u ⁰ (t)dt = Z _u(x)

h(u)du = Z _x

y ⁰ = g(x),

Un altro esempio semplice `e fornito dal caso in cui g(x) ≡ 1 ed abbiamo y ⁰ = 1

y ⁰ = y ² . (5)

Possiamo scrivere questa equazione come dy y ² = dx, che da luogo alla relazione

Osserviamo subito a questo punto che non tutte le soluzioni della (5) sono rappresentate in questa formula. Manca, ad esempio, la soluzione identica- mente nulla. In effetti quando abbiamo diviso per y ² abbiamo tacitamente supposto che le soluzioni cercate non si annullassero.

Passiamo ora ad un altro esempio significativo. Consideriamo l’equazione y ⁰ = 3y ^2/3 = 3 p

y ² . (6)

Procediamo anche in questo caso a dividere per y ^2/3 per ottenere dy

y ^2/3 = 3dx.

y ^1/3 = (x + c), ovvero

y = (x + c) ³ .

y(x) = x ³ e y(x) ≡ 0,

u _k (x) = 0 per − ∞ < x ≤ k u k (x) = (x − k) ³ per k < x < +∞,

allora u _k `e una soluzione dell’equazione differenziale che soddisfa alla con- dizione inziale u _k (0) = 0.

y ⁰ = f (x, y), (7)

xu ⁰ + u = f (x, ux) = f (1, u), e cio`e

u ⁰ = f (1, u) − u

y ⁰ + α(x)y = β(x)y ^k , (8)

Quando k = 1 questa equasione `e lineare. Se k 6= 1, possiamo trasformare la (8) in una equazione lineare con la sostituzione u = y ^1−k . La (8) diviene allora

u ⁰ = (1 − k)y ^−k y ⁰ = (1 − k)y ^−k [βy ^k − α(x)y], (9) cio`e

u ⁰ + (1 − k)α(x)u = (1 − k)β(x). (10) Questa ultima equazione `e un’equazione lineare dalla quale si pu`o ricavare u attraverso la formula risolutiva. La condizione u = y ^1−k ci consente poi di trovare le soluzioni della (8).