Dimostrare che se E

FOGLIO ESERCIZI 9

FABIO GAVARINI

— ∗ —

[1] — Sia E ; ∗

un gruppoide, e sia X un insieme non vuoto. Nell’insieme E^X di tutte le funzioni da X ad E si consideri l’operazione ~ definita da

h~ k : X −→ E , x 7→ h ~ k

(x) := h(x)∗ k(x) ∀ x ∈ X , ∀ h, k ∈ E^X cos`ı che E^X; ~

`e a sua volta un gruppoide. Dimostrare che se E ; ∗

`

e commutativo, risp. semigruppo, risp. monoide, risp. gruppo, allora anche E^X; ~

`

e semigruppo, risp.

semigruppo, risp. monoide, risp. gruppo.

[2] — Sia E un insieme, e F ⊆ E un suo sottoinsieme. Consideriamo la funzione φ_F :P(E) −→ P(E) e la relazione ∼ in P(E) definite da^F

φ_F(C) := C∩ F ∀ C ∈ P(E) , A∼ B ⇐⇒ A ∩ F = B ∩ F^F ∀ A, B ∈ P(E) Dimostrare che:

(a) la relazione ∼ `e un’equivalenza;^F

(b) la relazione ∼ coincide con la relazione associata alla funzione φ^F F ; (c.1) la relazione ∼ `e compatibile con l’operazione ∩ in P(E) ;^F

(c.2) la funzione φ_F `e un endomorfismo del semigruppo P(E) ; ∩

; (d.1) la relazione ∼ `e compatibile con l’operazione ∪ in P(E) ;^F

(d.2) la funzione φ_F `e un endomorfismo del semigruppo P(E) ; ∪
.

Suggerimento: Si pu`o dimostrare tutto con calcoli abbastanza elementari, comunque per verifica diretta. Inoltre:

— la parte (a) segue anche direttamente dalla parte (b),

— la parte (c.1) segue anche direttamente dalle parti (b) e (c.2),

— la parte (d.1) segue anche direttamente dalle parti (b) e (d.2).

[3] — Dato un insieme E , per ogni A∈ P(E) si definiscano E_A^E := 

f ∈ E^Ef (A) ⊆ A

, E_(A)^E := 

f ∈ E^E f (a) = a ∀ a ∈ A G_F :=

σ ∈ S(E)σ(A) = A

, G_(A):=

ν ∈ S(E)ν(a) = a , ∀ a ∈ A Dimostrare che:

1

(a) E_A^E ⊇ E_(A)^E e GA ⊇ G(A) ;

(b) se A, B ∈ P(E) con A ⊆ B , allora E_(A)^E ⊇ E_(B)^E ;

(c) se A, B ∈ P(E) con A ⊆ B , allora G(A) ⊆ G(B) ⇐⇒ A ⊇ B ; (d) G_(A) = T

a∈A

G_{a} ⊆ GA ; (e) G_(A) = GA ⇐⇒ A= 1 ; (f ) G_E\A = GA ;

(g) G_(A∪B)= G_(A)∩ G(B) , per ogni A, B ⊆ E ;

(h) E_A^E ed E_(A)^E sono monoidi rispetto alla composizione.

(i) G_A `e sottogruppo di S(E) ; ◦

;

(j) G_(A) `e sottogruppo normale di S(E) ; ◦

;

(k) se E\A> 1 , allora G_(A) non `e normale come sottogruppo di di S(E) ; ◦
. Suggerimento: Tutto segue dalle definizioni e da calcoli elementari. In aggiunta, per la parte (k), ci si pu`o ridurre al caso in cui E= 3 , A = 1 e E \ A= 2 , e in questo caso trovare un ν ∈ G(A) e un σ∈ S(E) tali che σ ◦ ν ◦ σ⁻¹ 6∈ G(A) .

[4] — Siano µ : N × N −→ N e δ : N × N −→ N le due operazioni (binarie) in N date rispettivamente da a µ b := m.c.m.(a, b) e da a δ b := M.C.D.(a, b) . Sia poi f :N −→ P(N) la funzione definita da f(n) := n N = { n `` ∈ N } per ogni n ∈ N .

Dimostrare che:

(a) la funzione f `e un morfismo dal gruppoide N ; µ

al gruppoide P(N) ; ∩

; (b) la funzione f non `e un morfismo dal gruppoide N ; δ

al gruppoide P(N) ; ∪
. Suggerimento: Si sfrutti l’esistenza e unicit`a della fattorizzazione in primi per ogni numero naturale non nullo, trattando a parte i casi in cui uno dei numeri in esame sia 0 .

[5] — Sia G un gruppo, e sia H ∈ P(G) \ {∅} un sottoinsieme non vuoto di G che sia chiuso per l’operazione in G, cio`e HH :=

h^′h^′′h^′, h^′′ ∈ H

⊆ H e sia finito.

Dimostrare che H `e un sottogruppo di G .

Suggerimento: Si utilizzi il Teorema di Cayley applicato al gruppo G e si valuti l’“effet- to” su H delle applicazioni λ_g : G −−→ G x 7→ λg(x) := g x

in esso considerate...

[6] — Sia GL2(Z5) il gruppo generale lineare di ordine 2 a coefficienti in Z5. (a) Determinare l’ordine del gruppo GL₂(Z5) ;

(b) Determinare l’ordine dell’elemento

2 0 4 3



nel gruppo GL₂(Z5) .

[7] — Sia V uno spazio vettoriale su un campoK (arbitrario), e siano End (V ) := 

trasformazioni K–lineari di V in s´e stesso

, Aut (V ) := End (V )T S(V )

Dimostrare che, rispetto al prodotto di composizione ◦ , si ha:

(a) End (V ) ; ◦

`

e un monoide (dunque `e un sottomonoide di V^V; ◦
...);

(b) Aut (V ) ;◦

`

e un sottogruppo di S(V ) ; ◦
.

Suggerimento: Si tratta di dimostrare che la composizione di trasformazioni lineari `e lineare, che se una trasformazione lineare `e invertibile, allora la sua inversa `e lineare, ecc.

[8] — Siano G₁ e G₂ due gruppi finiti. In ciascuna delle seguenti ipotesi (a) G1= 41 , G2= 12

(b) G1= 20 , G2= 50 (c) G₁= 36 , G₂= 54

pu`o esistere un morfismo φ : G<sub>1</sub>−→ G2 non banale (cio`e non tale che φ(g) = 1 ∀ g ∈G1)?

E pu`o un tale morfismo essere iniettivo? Oppure suriettivo? In generale, quali sono le condizioni su G₁ e G₂ perch´e un tale morfismo possa esistere?

[9] — Calcolare i gruppi di automorfismi Aut Z6; +

, Aut Z8; +

, Aut Z11; +
e Aut Z ; +

.

Suggerimento: Si osservi che i gruppi Zn; +

— con n ∈ {6, 8, 11} — e Z ; +
sono tutti ciclici, quindi un automorfismo `e univocamente determinato dall’immagine di un generatore (e per generatore possiamo prendere sempre [1]_n o 1 ).

[10] — Siano H e K due sottogruppi normali di un gruppo G tali che H∩ K = {1} . Dimostrare che:

(a) h k = k h per ogni h∈ H , k ∈ K ; (b) HK :=

h kh∈ H, k ∈ K

= KH `e sottogruppo normale di G .

Suggerimento: Si riscriva h k nella forma h k = h k h⁻¹h e si ricordi che H E G ; analogamente si faccia per k h . Quindi...

[11] — Siano H e K due sottogruppi di un gruppo G tali che HK = KH . Dimostrare che HK = KH `e il sottogruppo di G generato da H∪ K .

[12] — Dato un gruppo G , siano

λ : G ,−→ S(G) , g 7→ λg

G ,−−−−−−− G x7→ λg(x) := g x



ρ : G ,−→ S(G) , g 7→ ρg

 G ,−−−−−−− G x 7→ ρg(x) := x g⁻¹



i monomorfismi di gruppi dati dal Teorema di Cayley (per gruppi), e si ponga λ(G) := Im (λ) , ρ(G) := Im (ρ) .

Si considerino poi

C λ(G)
:= 

σ∈ S(G)  σ◦ λg = λ_g◦ σ , ∀ g ∈ G C ρ(G)

:= 

τ ∈ S(G)  τ◦ ρg = ρg◦ τ , ∀ g ∈ G . Dimostrare che

C λ(G)

= ρ(G) , C ρ(G)

= λ(G) .

[13] — Dato un insieme E , per ogni A⊆ E consideriamo i sottoinsiemi di S(E) G_A :=

σ ∈ S(E)σ(A) = A

, G_(A) :=

ν ∈ S(A)ν(a) = a , ∀ a ∈ A e anche la relazione ∼ in GA definita da σ^′ ∼ σ^′′ ⇐⇒ σ^′

A

= σ^′′

A

(per ogni σ^′, σ^′′ ∈ S(E) ) dove σ

A

indica la restrizione di σ∈ S(E) al sottoinsieme A . Dimostrare che:

(a) la relazione ∼ `e un’equivalenza in GA ; (b) G<sub>A</sub> `e sottogruppo di S(E) ; ◦

;

(c) la relazione ∼ `e compatibile con l’operazione “ ◦ ” in GA ; (d) il gruppo quoziente G_A

.∼ `e isomorfo al gruppo di permutazioni S(A) ; ◦

; (e) G_(A) `e sottogruppo normale di G_A ;

(f ) il gruppo quoziente G_A .

G_(A) `e isomorfo al gruppo di permutazioni S(A) ; ◦

; (g) l’applicazione RA : GA −−→ S(A) , σ 7→ RA(σ) := σ

A, `e un epimorfismo dal gruppo G_A; ◦

al gruppo S(A) ; ◦

;

(h) la relazione ∼ `e l’equivalenza in GA canonicamente associata all’applicazione RA; (i) ∼ = ρ<sup>G</sup><sub>d</sub><sup>(A)</sup> dove ρ<sup>G</sup><sub>d</sub><sup>(A)</sup> `e la relazione destra in G_A canonicamente associata a G_(A) ; (j) ∼ = ρ^Gs^(A) dove ρ^Gs^(A) `e la relazione sinistra in GA canonicamente associata a G<sub>(A)</sub> . Suggerimento: L’enunciato `e ridondante, e la sua dimostrazione si pu`o semplificare di molto; in particolare, dal punto (g) discendono direttamente molti degli altri punti.

[14] — Per un qualsiasi gruppo G , definiamo il sottoinsieme Z(G) := 

z ∈ Gz g = g z , ∀ g ∈ G

=: “centro di G ”
Dimostrare che:

(a) Z(G)E G ;

(b) G `e abeliano ⇐⇒ Z(G) = G ; (c) per ogni H ≤ Z(G) , si ha H E G ;

(d) per ogni H ≤ Z(G) , se il gruppo quoziente G

H — che esiste, per (b) — `e ciclico, allora G `e abeliano.

[15] — Sia A ∈

Z , Q , R , C S  Zn

n∈N. Sia GL₃(A) l’usuale gruppo delle matrici 3×3 invertibili a coefficienti in A . Consideriamo in esso i sottoinsiemi

SL3(A) := 

(mi,j)^j=1,2,3;_i=1,2,3; ∈ GL3(A)det mi,j

= 1 S3(A) := 

(mi,j)^j=1,2,3;_i=1,2,3; ∈ GL3(A)mi,j = δi,jα , ∀ i 6= j , α ∈ U(A) D3(A) := 

(mi,j)^j=1,2,3;_i=1,2,3; ∈ GL3(A)mi,j = 0 , ∀ i 6= j T₃⁺(A) := 

(mi,j)^j=1,2,3;_i=1,2,3; ∈ GL3(A)mi,j = 0 , ∀ i > j T₃⁻(A) := 

(mi,j)^j=1,2,3;_i=1,2,3; ∈ GL3(A)mi,j = 0 , ∀ i < j U₃⁺(A) := 

(mi,j)^j=1,2,3;_i=1,2,3; ∈ T3^±(A)mk,k = 1 , ∀ k U₃⁻(A) := 

(mi,j)^j=1,2,3;_i=1,2,3; ∈ T3^±(A)mk,k = 1 , ∀ k Dimostrare che:

(a) SL₃(A) E GL3(A) ;

(b) il gruppo quoziente GL3(A).

SL3(A) `e isomorfo al gruppo U(A) ; (c) ^ T₃^±(A) = 

(mi,j)^j=1,2,3;_i=1,2,3; ∈ Mat3×3(A)mi,j = 0 , ∀ i ≷ j , mk,k ∈ U(A) ∀ k

; (d) ^ S₃(A) ≤ D3(A) ≤ T3^±(A) ≤ GL3(A) ;

(e) U₃^±(A) ≤ SL3(A) ∩ T3^±(A)

; (f ) D₃(A) 5 T3^±(A) ;

(g) T₃^±(A) 5 GL3(A) ;

(h) ^ U₃^±(A) E T3^±(A) ma U3^±(A) 5 SL⁻3(A) ; (i) il gruppo quoziente T₃^±(A).

U₃^±(A) `e isomorfo al gruppo D3(A) ;

Suggerimento: Per la parte (a), la cosa delicata `e dimostrare che per una matrice triangolare (superiore o inferiore) con coefficienti sulla diagonale invertibili esiste la matrice inversa e quest’ultima `e a sua volta triangolare (dello stesso tipo).

Le parti (e) e (f ) si possono ottenere osservando che l’applicazione T₃^±(A) −−→ D3(A) data da (mi,j)^j=1,2,3;_i=1,2,3; 7→ (δi,jmi,j)^j=1,2,3;_i=1,2,3; `e un epimorfismo (in breve, “estrae la dia- gonale” da una matrice triangolare), con U<sub>3</sub><sup>±</sup>(A) come nucleo; questo ci d`a (e), e inoltre anche (f ) applicando il Teorema Fondamentale di Omomorfismo.

Le parti (g) ed (h) seguono dall’osservazione che la ben nota applicazione “determinante”

det : GL^±₃(A) −−−→ U(A) `e un epimorfismo (per il Teorema di Binet), il cui nucleo

`

e esattamente SL^±₃ (A) ; questo ci d`a (g), e a seguire anche (h) applicando il Teorema Fondamentale di Omomorfismo.