ESERCIZI Geometria 1 – IIb Foglio 2012 Basi, dimensione, intersezione e somma sottospazi.
1) Discutere l’indipendenza dei seguenti vettori di R
4al variare del parametro h ∈ R:
3 0 0 0
,
−1 2
−1 2
,
1
−1 0 0
,
2 3 h 0
.
2) Provare che le seguenti matrici formano una base dello spazio delle matrici 2 × 2 a coefficienti in C:
i i i i
,
0 1 1 1
,
0 0 i i
,
0 0 0 1
. Determinare le coordinate di
0 1
−1 0
rispetto a questa base.
3) Trovare una base del sottospazio di R[x] generato dai polinomi
1, 1 − x, 1 + x
2, 1 + x + x
2, 1 − x
3, x
3+ x
2.
4) Sia V = R[X]
≤4lo spazio vettoriale su R dei polinomi di grado ≤ 4.
i) Dimostrare che i seguenti sottoinsiemi di V sono sottospazi vettoriali ed esibirne una base:
i.a) U
p:= {f ∈ R[X]|f (−X) = f (X)};
i.b) U
d:= {f ∈ R[X]|f (−X) = −f (X)};
i.c) W = {f ∈ R[X]|f (1 − X) = f (X)};
i.d) Z = {f ∈ R[X]|f (1 − X) = −f (X)}.
5) Calcolare la dimensione del sottospazio delle matrici 2 × 3 la cui generica matrice ` e
0 a − b b + c
−a − c b + c a − b
.
6) In R
4si considerino il sottospazio S generato da (2, 1, −1, 1) e (3, 0, 1, −1) e il sottospazio T generato da (1, −1, 2, −2) e (1, 2, −3, 3). ` E vero o falso che S = T ?
7) Dati i vettori
v
1=
−1 2 0
, v
2=
2 0 6
, v
3=
1
−3
−2
i) mostrare che sono una base di R
3;
ii) trovare le coordinate di
1 1 1
rispetto ai v
1, v
2, v
3.
8) Data la matrice A =
1 0 1 −1 1
1 1 2 −1 3
1 −1 1 −1 −1
, mostrare che le sue colonne sono un sistema di generatori per R
3. Estrarre dal sistema tutte le possibili basi.
1
2
9) Si considerino i vettori di R
4:
u =
1 0 2 0
, v =
1 0
−1 0
, w =
0
−1 1 1
.
Dimostrare che tali vettori sono linearmente indipendenti e completare l’ insieme {u, v, w} ad una base di R
4.
10. Si consideri in R
4i due sottospazi
S := {
x y z t
∈ R
4| x + y − z = y + z − t = 0}, T := h
1
−1 0 0
,
0 0
−1
−1
,
0 1
−1 0
i.
a) Determinare la dimensione e una base per S, T , S ∩ T e S + T .
b) Determinare un sistema di equazioni lineari di cui T il sottospazio delle soluzioni.
11. Sia V il K-spazio vettoriale K[X]
≤3dei polinomi di grado minore o uguale a 3. Sia W ⊂ V il sottoinsieme dei polinomi P (X) ∈ V tali che P (1) = P (0) = 0.
(a) Sia Z ⊂ V il sottospazio generato da X
3+ X
2+ X, 2X
3+ X e X
3+ 3X
2+ 2X. Calcolare la dimensione ed una base di Z.
(b) Mostrare che W ` e un sottospazio vettoriale di V . Calcolarne la dimensione ed una base.
(c) Calcolare dimensioni e basi di W + Z e W ∩ Z.
12. Consideriamo R
5con il prodotto scalare standard. Sia V il sottospazio di R
5generato dai vettori
t(1, 0, 1, 1, 0),
t(−1, 1, 0, 0, 1) e
t(0, 0, 0, 1, −1). Sia W il sottospazio di R
5generato dai vettori
t
