Fisica Generale I Gianluca Ferrari Meccanica Newtoniana
Tema d’Esame del 20 giugno 2019
Esercizio 1
𝑚 = 100 𝑔; 𝑣0 = 0; 𝑅 = 6 𝑚; 𝑙 = 5 𝑚; 𝜃 = 30°; 𝜇𝑑 = 0,2;
i. 𝑣𝐵 = ?; 𝑁𝐵 = ?;
Applicando il principio di conservazione dell’energia tra i punti 𝐴 e 𝐵, si ha 𝑚𝑔𝑅 = 1
2𝑚𝑣𝐵2 , da cui segue subito
𝑣𝐵 = √2𝑔𝑅 .
Applicando la seconda legge della dinamica lungo la componente centripeta dell’accelerazione (sempre nel punto 𝐵), abbiamo
𝑁𝐵 − 𝑚𝑔 = 𝑚𝑣𝐵2 𝑅 , da cui
𝑁𝐵 = 𝑚 (𝑔 + 𝑣𝐵2
𝑅) = 𝑚 (𝑔 +2𝑔𝑅
𝑅 ) = 3𝑚𝑔 . ii. 𝑣𝐷 = ?; 𝑊𝐶→𝐷 = ?;
Giacché nel tratto 𝐵𝐶 non c’è attrito, il corpo si muoverà di moto rettilineo uniforme;
essendo, inoltre, la velocità in 𝐵 diretta lungo il tratto rettilineo in questione, avremo 𝑣⃗𝐶 = 𝑣⃗𝐵 ⟹ 𝑣𝐶 = 𝑣𝐵 = √2𝑔𝑅 .
A questo punto, applicando nuovamente la conservazione dell’energia e tenuto conto del lavoro dell’attrito
𝑊𝑎 = −𝜇𝑑𝑚𝑔 cos 𝜃 𝑙 ,
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si ha
1
2𝑚𝑣𝐶2 = 1
2𝑚𝑣𝐷2 + 𝑚𝑔ℎ + 𝜇𝑑𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃 , dove ℎ = 𝑙 sen 𝜃, quindi
2𝑔𝑅 = 𝑣𝐷2 + 2𝑔𝑙 sen 𝜃 + 2𝜇𝑑𝑔𝑙 cos 𝜃 , da cui
𝑣𝐷 = √2𝑔(𝑅 − 𝑙(sen 𝜃 + 𝜇𝑑cos 𝜃)) . iii. 𝑥𝐺 = ?;
Consideriamo il sistema di riferimento rappresentato in figura.
Cerchiamo di scrivere le equazioni del moto lungo le componenti 𝑥 e 𝑦 di tale sistema di riferimento. Anzitutto, scomponiamo l’accelerazione di gravità nel seguente modo:
{ 𝑔𝑥 = 𝑔 sen 𝜃 𝑔𝑦 = −𝑔 cos 𝜃 .
A questo punto, occupiamoci di scomporre la velocità 𝑣⃗𝐷. {𝑣0𝑥 = 𝑣𝐷cos 2𝜃
𝑣0𝑦 = 𝑣𝐷sen 2𝜃
Si noti che lungo entrambe le componenti abbiamo moti rettilinei uniformemente accelerati, le cui leggi orarie sono espresse da
{
𝑥(𝑡) =1
2𝑔𝑥𝑡2+ 𝑣0𝑥𝑡 + 𝑥0 𝑦(𝑡) =1
2𝑔𝑦𝑡2+ 𝑣0𝑦𝑡 + 𝑦0 ,
ossia
𝑥 𝑦
𝑣⃗𝐷 𝜃
𝑔⃗ 𝜃 𝜃
𝜃
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{
𝑥(𝑡) =1
2𝑔 sen 𝜃 𝑡2+ 𝑣𝐷cos 2𝜃 𝑡 𝑦(𝑡) = −1
2𝑔 cos 𝜃 𝑡2 + 𝑣𝐷sen 2𝜃 𝑡 .
Per calcolare la “gittata”, imponiamo 𝑦(𝑡) = 0 e poi sostituiamo il tempo di volo 𝑡𝑣 così trovato nella 𝑥(𝑡) per trovarne la posizione lungo il piano inclinato.
Da 𝑦(𝑡) = 0, abbiamo
−1
2𝑔 cos 𝜃 𝑡 + 𝑣𝐷sen 2𝜃 = 0 ⟹ 𝑡𝑣 = 2𝑣𝐷sen 2𝜃
𝑔 cos 𝜃 =4𝑣𝐷sen 𝜃 𝑔 , da cui segue
𝑥𝐺 = 𝑥(𝑡𝑣) = 1
2𝑔 sen 𝜃 (4𝑣𝐷sen 𝜃
𝑔 )
2
+ 𝑣𝐷cos 2𝜃 (4𝑣𝐷sen 𝜃
𝑔 )
= 1
2𝑔 sen 𝜃 16𝑣𝐷2sen2𝜃
𝑔2 + 4𝑣𝐷2cos 2𝜃sen 𝜃 𝑔
= 8𝑣𝐷2
𝑔 sen3𝜃 + 4𝑣𝐷2
𝑔 (cos2𝜃 − sen2𝜃) sen 𝜃
= 4𝑣𝐷2
𝑔 (sen3𝜃 + sen 𝜃 cos2𝜃) = 4𝑣𝐷2
𝑔 sen 𝜃 (sen2𝜃 + cos2𝜃)
= 4𝑣𝐷2
𝑔 sen 𝜃 .
