Analisi Matematica I Gianluca Ferrari Limiti e Serie
Tema d’Esame del 19 giugno 2018 – Unità 1
Esercizio 1
Studiamo la convergenza della serie al variare del parametro 𝑥. Chiaramente si tratta di una seria geometrica, che converge se e solo se 1
3𝑥−1 è compreso tra −1 e 1. Il che equivale a risolvere il sistema di disequazioni
{ 1
3𝑥 − 1< 1 1
3𝑥 − 1 > −1
⟹ {
1 − 3𝑥 + 1 3𝑥 − 1 < 0 1 + 3𝑥 − 1
3𝑥 − 1 > −1
⟹ {
3𝑥 − 2 3𝑥 − 1 > 0
𝑥
3𝑥 − 1 > 0 ⟹ {𝑥 < 1
3∨ 𝑥 > 2 3 𝑥 < 0 ∨ 𝑥 > 1 3 da cui si ha la soluzione
𝑥 < 0 ∨ 𝑥 > 2 3 Dunque, il dominio di 𝑓 sarà dato da
𝐸 = ]−∞; 0[ ∪ ]2
3; +∞[
Determiniamo ora i valori di {𝑥1; … ; 𝑥4} ∈ ℝ definiti come nella traccia.
𝑥1 = inf 𝐸 = −∞
𝑥2 = sup(𝐸 ∩ ]−∞; 0]) = 0
Analisi Matematica I Gianluca Ferrari Limiti e Serie
𝑥3 = inf(𝐸 ∩ [0; +∞[) =2 3 𝑥4 = sup 𝐸 = +∞
La funzione 𝑓(𝑥) può essere riscritta sviluppando la serie geometrica considerata come
𝑓(𝑥) = ∑ 1
(3𝑥 − 1)𝑛
∞ 𝑛=0
= 1
1 − 1
3𝑥 − 1
= 3𝑥 − 1 3𝑥 − 2
Non ci resta che calcolare i limiti richiesti dal problema1
𝑥→−∞lim 𝑓(𝑥) = lim
𝑥→−∞
3𝑥 − 1 3𝑥 − 2 = 1
𝑥→0lim−𝑓(𝑥) = lim
𝑥→0−
3𝑥 − 1 3𝑥 − 2 = 1
2 lim
𝑥→23+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→23+
3𝑥 − 1 3𝑥 − 2 = 1
0+ = +∞
𝑥→+∞lim 𝑓(𝑥) = lim
𝑥→+∞
3𝑥 − 1 3𝑥 − 2 = 1
1 Si noti che non ha senso calcolare i limiti per 𝑥 → 0+ e per 𝑥 →23−, poiché non sono inclusi nel dominio 𝐸 di 𝑓.
