Analisi di Correlazione in Mercati Finanziari utilizzando la Teoria delle Wavelets

OCS

Analisi di Correlazione in Mercati Finanziari utilizzando la Teoria delle

Wavelets

Michele Tumminello

Dipartimento di Fisica e Tecnologie Relative Università di Palermo, Italy

OCS

Overview

•Il problema della stima delle cross-correlazioni.

•Filtrare informazione sul sistema dalla matrice di correlazione

•Comparazione tra Mexican Hat wavelets e rendimenti

•Combinazione lineare di Mexican Hat e funzione di Haar

•Rendimenti logaritmici e wavelets: freccia del tempo.

OCS

Similarità tra serie temporali

21 nov 2021 Michele Tumminello 4

OCS

Cross Correlazione

2 2 2 2

j j

i i

j i j

i ij

r r

r r

r r r

r

−

−

= − ρ

Coefficiente di correlazione:

€

r_i(t) ≡ ln P_i(t) − ln P_i(t − τ )

Matrice di Correlazione

C = ρ ( )

N serie di dati di lunghezza T

€

r_i(t_j), j =1,...,T; i =1,...,N

Rendimento logaritmico del prezzo:

Altri stimatori di correlazione:

- Stimatore di Fourier - Stimatore di ML

- Stimatore dinamico - Stimatore di wavelet -…

è il risultato di un prodotto scalare

OCS

Problemi nella stima delle cross correlazioni

N T dati ~ N ² coefficienti di correlazione:

incertezza statistica

Interazione con l’ambiente, e.g. impatto di news sulle correlazioni tra i rendimenti delle azioni.

Complessità delle interazioni

Eterogeneità del campione -Avere un “buono” stimatore -Filtrare informazione

-Ottenere una robusta matrice

OCS

Dati di espressione di geni

€

N >> T

Yeast: Saccharomyces cerevisiae Cell-cycle

P. T. Spellman et al, Molecular Biology of the Cell 9, 3273 (1998)

OCS

Complessità della struttura di correlazione: ordinamento

…per capitalizzazione … secondo ALCA

N = 300 (NYSE), daily returns, 2001- 2003, T = 748

OCS

Clustering gerarchico

€

C(s) → ρ

(s) = max

h,k

[ρ

(s)] → q(s +1) = i(s)U j(s)

Redefinire la matrice C allo step di costruzione s+1 secondo la regola R

R(ALCA) : ρ_qk = N_iρ_ik + N _jρ _jk

N_i + N _j ; R(SLCA) : ρ_qk = max(ρ_ik,ρ _jk)

€

C(s = 0) = C; n −1 steps di costruzione

OCS

Output del clustering gerarchico

€

N =100 (NYSE) daily returns 1995 -1998

€

C

= (ρ

) ρ

= ρ

k

dove

€

α

è il primo nodo in cui gli elementi

i e j si uniscono

21 nov 2021 Michele Tumminello 10

OCS

Ultrametricità

(i) d

= 0 ⇔ i = j (ii) d

= d

(iii) d

≤ max d {

,d

}

€

d

= 2 1− ρ ( ^€

)

(i) d

= 0 ⇔ i = j (ii) d

= d

(iii) d

≤ d

+ d

€

d

= 2 1− ρ (

)

€

ρ

ρ

OCS

Correlation Based Networks

Azione i Vertice i



Link i-j



è la forza del link i-j o una misura della

“similarità”

tra i e j

( i, j, 

)

OCS

Il Network completo

OCS

Filtrare il network completo

C =

1 0.13 0.90 0.81 0.13 1 0.57 0.34 0.90 0.57 1 0.71 0.81 0.34 0.71 1

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟⎟

→ S =

1 3 0.90 1 4 081 3 4 0.71 2 3 0.57 2 4 0.34 1 2 0.13

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟

Correlation Matrix (C)

Sorted List of Links (S)

OCS

MST and PMFG

Si definisca una misura di similarità tra gli elementi del sistema

Si costruisca la lista S ordinando le similarità in ordine decrescente

Cominciando dal primo elemento di S,

Si aggiunga il corrispondente link se e solo se

il grafo è ancora una Foresta o un Albero

Cominciando dal primo elemento di S,

Si aggiunga il corrispondente link se e solo se

il grafo è ancora Planare (g=0)

Minimum Spannig Tree MST

Planar Maximally Filtered Graph

PMFG

M. T, T. Di Matteo, T. Aste and R.N. Mantegna, PNAS USA 102, 10421 (2005)

OCS

Minimum Spanning Tree (MST)

€

N = 300 (NYSE) daily returns

2001- 2003 T = 748

OCS

Planar Maximally Filtered Graph (PMFG)

€

N =100 (NYSE) daily returns

1995 -1998 T =1011

M. T, T. Di Matteo, T. Aste and R.N. Mantegna, PNAS USA 102, 10421 (2005)

OCS

Mexican Hat mother wavelet

€

r(t,t_H ) ≡ ln P(t) − ln P(t − t_H) Logarithmic returns:

Mexican Hat:

€

ψ(x) = 2 3π

1 2

1− x²

( )e^−x

2

2

w(t¹,t¹_H ) ≡ 1 t¹_H ( )^{1 2}

ln P(x)[ ]ψ x − t¹ t¹_H

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

−∞

+∞

∫

Wavelet transform:

OCS

Defininizioni e domande

€

P(t) è una funzione costante a tratti:

€

P(t) = P(t_i) ∀ t ∈ t[ _i,t_i + τ [ ≡ t[ _i,t_i+1[, i ∈ 1,...,T{ } 0 altrimenti

⎧⎨

⎩

Volendo comparare wavelets e rendimenti, è corretto porre ? t = t¹ e t_H = t¹_H

€

t₁ ≡ 0

OCS

Mexican hat wavelets

€

r_i( jτ ,kτ ) ≡ ln P_i( jτ ) − ln P_i( jτ − kτ ) Logarithmic returns:

w_i( jτ ,kτ ) ≡ 4 τ 3k π

1 2

ln P[ _i(qτ )] (1+ q − j)exp −(1+ q − j)² 2 k²

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

⎧⎨

⎩

q= 0

∑

−(q − j)exp −(q − j)² 2 k²

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥⎫

⎬⎭

Problema: Condizioni al contorno… Soluzione: regione centrale…

OCS

Mexican hat wavelets

r_i( jτ ,kτ ) ↔ w_i[( j + k 2)τ ,k 2τ ] r_i( jτ ,kτ ) ↔ w_i[jτ ,kτ ]

€

( j +1)τ

€

jτ

€

( j +1)τ

€

jτ

OCS

Data set

Set delle 100 azioni più capitalizzate (2003) scambiate a NYSE nel periodo 1995-2003.

Prezzi sincronizzati a 5 minuti.

OCS

MST (5 min time horizon)

5 min returns 5 min MH wavelets

OCS

Single Linkage HT

(5 min time horizon)

OCS

Average Linkage HT

(5 min time horizon)

OCS

MST (daily time horizon)

daily returns daily MH wavelets

OCS

Single Linkage HT

(daily time horizon)

OCS

Average Linkage HT

(daily time horizon)

OCS

Link comuni nel MST

OCS

PMFG: connection strength

OCS

Combinare la Mexican Hat e la funzione di Haar

€

M(x) = 2 3π

1 2

1− x²

( )e^−x

2

2

€

H(x) =

1 if 0 ≤ x <1 2

−1 if 1 2 ≤ x <1 0 altrimenti

⎧

⎨⎪

⎩⎪

€

ψ(x,λ ) = N(λ )^{−1/ 2}[λ M(x) + (1− λ ) H(x)] with λ ∈ 0,1[ ]

N(λ ) = λ −1( )² + λ² − 4λ λ −1( ) e( ^{3 8} −1) 3eπ^{1 2}

OCS

Combinare la Mexican Hat e la funzione di Haar

€

λ = 0.5

€

λ = 0

r_i( jτ ,kτ ) ↔ ψ_i[( j + k 2)τ ,k 2τ ,λ]

OCS

Invertire il tempo: MST

Daily time Horizon.

OCS

Log returns come trasformate di wavelet

ψ(x,q) =

−1 q if 0 ≤ x < q 1 q if 1− q ≤ x <1

0 altrimenti

⎧

⎨⎪

⎩⎪

q∈ 0,1 2] ] €

lim

€

r(t,τ ) ≡ ln P(t) − ln P(t − τ ) = 1

τ ln P(x)[ ] δ x − t τ −1

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟−δ x − t τ

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎧⎨

⎩

⎫⎬

−∞ ⎭

+∞

∫

ψ(x,1

2) = 2

−1 if 0 ≤ x <1 2 1 if 1 2 ≤ x <1

0 altrimenti

⎧

⎨⎪

⎩⎪ = −2 H(x)

OCS

Wavelets del logaritmo dei prezzi

€

ψ_i( jτ ,kτ ) ≡ 1 q

τ

k ln P[ _i[( p −1)τ ]]

−1 if p ≤ qk + j

(qk + j - p +1) if p −1 < qk + j < p

p −[ j + (1− q)k] if p −1 < j + (1− q)k < p 1 if (1− q)k + j +1 ≤ p ≤ k + j

0 altrimenti

⎧

⎨

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

p= j +1 k + j

∑

€

P(t) = P(t_i) ∀ t ∈ t[ _i,t_i + τ [ ≡ t[ _i,t_i+1[, i ∈ 1,...,T{ } 0 altrimenti

⎧⎨

€ ⎩

t₁ ≡ 0

€

q k ≥ 1

ψ_i( jτ ,kτ ) ≡ 1

kτ ln P[ _i[( p −1)τ ]]

−1

qqkτ if p = j +1 +1

qqkτ if p = k + j 0 altrimenti

⎧

⎨

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

p= j +1 k + j

∑ ^{= k τ ln Pi}[(k + j −1)τ ]

P_i[ jτ ]

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ q k <1

OCS

ALCA HT nuove wavelets

Mattina (-t) Pomeriggio (t)

q kτ =10 min

OCS

MST nuove wavelets

q kτ =10 min

Mattina (-t) Pomeriggio (t)

OCS

ALCA HT nuove wavelets

q kτ = 25 min

Mattina (-t) Pomeriggio (t)

OCS

ALCA HT nuove wavelets

q kτ = 50 min

Mattina (-t) Pomeriggio (t)

OCS

ALCA HT nuove wavelets

q kτ = 75 min

Mattina (-t) Pomeriggio (t)

OCS

ALCA HT nuove wavelets

Haar function limit

Mattina (-t) Pomeriggio (t)

OCS

MST: nuove wavelets

Haar function limit

Mattina (-t) Pomeriggio (t)

OCS

Correlazione media ed Entropia

Correlazione media Entropia

OCS

Sottostrutture

Entropia (normalizzata) Correlazione media

(normalizzata)

OCS

Conclusioni

• Le trasformate di wavelet hanno consentito di distinguere la struttura di correlazione del portafoglio considerato tra mattina e pomeriggio.

• E’ stata introdotta una mother wavelet come “ponte”

che connette i rendimenti e le waveletes di Haar.

• Wavelets a supporto compatto sembrano essere più performanti nel campionare i prezzi.

OCS

OCS website:

http://lagash.dft.unipa.it