Covarianza e Correlazione

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Covarianza e Correlazione

per esaminare l’eventuale relazione di dipendenza che esiste tra due variabili casuali e’ utile rappresentare in un grafico ciascuna delle coppie (x_iy_i)

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Variabili indipendenti o incorrelate

supponiamo che le variabil x e y siano variabili singolarmente

indipendenti (e siano ,per esempio. entrambe gaussiane) ,e siano indipendenti tra loro .In questo caso la

covarianza σ _xy

=

^1/N∑_i,^(x_i^-x_MEDIO^)(y_i^-y_MEDIO⁾ 0 e per N e’ =0

la formula di propagazione per misure incorrelate e’

σ_q ²

=

^(∂q/∂x)_xymedi²σ_x ² ^{+ (∂q/∂y)}_xymedi²σ _y²

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Dimostrazione 8.3 Cannelli

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Formula propagazione degli errori per misure correlate

Un problema particolarmente interessante nella misura si presenta quando vengono misurate coppie di grandezze

x_i,y_i singolarmente indipendenti ma che presentano una dipendenza fra loro

(esempio: gli allungamenti DL di una molla in funzione dei Pesi applicati P; si noti che i DL e P non sono misure ripetute della stessa grandezza perche' cambiano le

condizioni sperimentali)

In questo caso la covarianza

σ _xy

=

1/N∑_i,(x_i-x_MEDIO)(y_i-y_MEDIO)0 .

In questo caso la formula di propagazione degli errori e’

σ ²_q= (∂q/∂x)_x,y²σ ²_x + (∂q/∂y)_x,y²σ ²_y +2(∂q/∂x)_x,y(∂q/∂y)_x,yσ _xy

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Best fit di una retta-

Metodo di massima di verosimiglianza

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Caso a) errori delle misure x_i trascurabili

errori delle misure y_i tutti uguali e distribuiti normalmente

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Dimostrazione delle 8.16 e 8.17

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Caso b) errori delle misure x_i trascurabili

errori delle misure y_i diversi e distribuiti normalmente