Meccanica dei fluidi. definizioni; statica dei fluidi (principio di Archimede); dinamica dei fluidi (teorema di Bernoulli).

(1)

Meccanica dei fluidi

Ø definizioni;

Ø statica dei fluidi (principio di Archimede);

Ø dinamica dei fluidi (teorema di Bernoulli).

[importanti applicazioni in biologia / farmacia : ex. circolazione del sangue]

(2)

Definizioni

• fluido = sostanza che può scorrere, ed assumere la forma (=liquido) o le dimensioni (=gas) del contenitore;

• densità : ρ = dm / dV (= massa / volume, in Kg/m ³ , g/cm ³ ) [*];

• pressione : p = dF / dA (=forza/ area, in N/m ² = pascal, dine/cm ² ) [**];

• viscosità : | F | = η A v / s (forza “di taglio” tra superfici, vedi oltre).

[] in alcuni testi recenti, densità* → massa volumica (brutto, ma più chiaro);

*[**] p non è un vettore, la pressione è isotropa (= la stessa in tutte le direzioni),* vedi principio di Pascal.

→

(3)

Viscosità

| F | = η A v / s :

§ A = area di due lamine di liquido, poste a distanza s;

§ v = velocità relativa delle lamine;

§ η = coefficiente di viscosità del liquido (funzione anche di temperatura, pressione) ;

§ F = forza di viscosità (due forze uguali ed opposte sulle due lamine) . s

v=0

A

v ^→ F ^→

F ^→

→

(4)

Principio di Pascal

Un cambiamento di pressione in un fluido è trasmesso inalterato a tutte le porzioni del fluido ed alle pareti

( → la pressione è isotropa).

F ^→

p

(5)

Statica dei fluidi

[il liquido è a riposo]

Ø F ₂ = F ₁ + mg = F ₁ + ρ Vg;

Ø p ₂ = F ₂ / A = F ₁ / A + ρ Vg / A =

= p ₁ + ρ g (y ₂ - y ₁ );

Ø y ₁ → 0; y ₂ - y ₁ = h; p ₁ = p _o = p _atm ; Ø p = p _o + ρ gh.

la pressione aumenta

linearmente con la profondità.

p _atm = p _o

1

2 y

0

(6)

vasi comunicanti

il liquido è in quiete → p ₁ = p ₂ ;

→ h ₁ = h ₂ → il liquido è alla stessa altezza in tutti i vasi;

[NB : è necessario che tutta la superficie del liquido sia a pressione p _o ]

stessa altezza

p ₁ p ₂ p ₁ =p ₂

p _o

p _o p _o p _o p _o

(7)

Il barometro

• p _atm + ρ gh ₁ = p ₌₀ + ρ g(h ₁ +h ₂ );

• p _atm = ρ g h ₂ ;

p _atm

vuoto p=0

l’altezza della colonna di liquido (mercurio) non dipende né dalla forma dei tubi, né dall’altezza h ₁ , ma solo dalla densità ρ e dalla pressione atmosferica p _atm . Si può misurare p _atm in mm-Hg ( = h ₂ se Hg).

h ₁ h ₂

ρ

(8)

La pressa idraulica

§ lavoro, per spostamenti d ₁ e d ₂ (= d ₁ × S ₁ / S ₂ ) :

[le forze sono conservative → l’energia meccanica si conserva

→ il lavoro speso sul pistone 1 viene integralmente restituito sul pistone 2]

F ₂ S ₂ →

F ^→ ₁ S ₁

p ₁ p ₂

p ₁ = F ₁ / S ₁ = p ₂ = F ₂ / S ₂ ; F ₂ = F ₁ × S ₂ / S ₁ >> F ₁ ;

È un moltiplicatore di forza (una “leva idraulica”)

1 1

1 2

1 1 1

2 2 1

2 2 F d L

S S d S

S d F

F

L  = × =



 



× 

 

 



= 

×

=

(9)

Principio di Archimede

F _TOT = (p ₁ - p ₂ ) × d ² = ρ _liquido g d × d ² = V _corpo ρ _liquido g = m _liquido g;

“la forza di Archimede è pari alla forza peso del liquido spostato, ed è diretta verso l’alto”

la forza totale sul corpo è

F _Arch + F _peso = (m _liquido - m _corpo ) g = ( ρ _liquido - ρ _corpo ) V g [ → navi, etc.]

p ₁ p ₂

§ cubetto, di lato d, parallelo alla verticale;

§ 6 forze, dovute alla pressione, sulle faccie;

§ 4 forze (due coppie sui lati) si annullano;

§ restano F ₁ = p ₁ ×d ² e F ₂ = p ₂ ×d ² ;

§ F _TOT = F ₁ - F ₂ = (p ₁ - p ₂ ) × d ² ;

F ₂

F ^→ ₁ →

(10)

fluido ideale

in fluidodinamica si definisce il “fluido ideale” :

Ø incompressibile (i.e. ρ è costante, indipendente da p, v, T, h, ...);

Ø viscosità nulla ( η = 0, lavoro di scorrimento nullo);

Ø moto non rotazionale (cfr. i vortici nei fiumi);

Ø moto “laminare” (= le traiettorie delle molecole del fluido sono linee che non si chiudono e non variano nel tempo).

Concetto di “tubo di flusso” :

(11)

dinamica dei fluidi (1)

h _1,2 = quota ( → energia potenziale);

p _1,2 = pressione;

v _1,2 = velocità;

S _1,2 × δ _1,2 = V = m / ρ .

tubo di flusso

→ v S _1, v ₁ ,h ₁ ,p ₁

S ₂ ,v ₂ , h ₂ ,p ₂ spiegazione dei termini :

δ

S ^v

→

(12)

dinamica dei fluidi (2)

nel tempo ∆ t, dati due volumi uguali, di area ⊥ S ₁ e S ₂ :

• attraverso S ₁ : m ₁ = ρ V ₁ = ρ d ₁ S ₁ = ρ ₁ v ₁ ∆ t S ₁ ;

• attraverso S ₂ : m ₂ = ρ V ₂ = ρ d ₂ S ₂ = ρ ₂ v ₂ ∆ t S ₂ ;

• ρ ₁ = ρ ₂ → m ₁ = m ₂ → v ₁ S ₁ = v ₂ S ₂ ;

→ portata Q = dV / dt [= v ₁ S ₁ = v ₂ S ₂ ] = costante.

NB : v ∼ 1 / S (!!!), cfr. le automobili in autostrada ! quale è la differenza ?

Soluzione : ρ ≠ costante

tubo di flusso

→ v S ₁

S ₂

(13)

legge di Bernoulli (1)

§ esprime la conservazione dell’energia nel moto dei fluidi;

§ calcoliamo variazione di energia cinetica, lavoro della gravità, lavoro delle forze di pressione tra i punti 2 e 1, per una piccola massa m, che occupa un volume V (m = ρ V) : Ø ∆ K = K ₂ - K ₁ = ½ m v ₂ ² - ½ m v ₁ ² = ½ ρ V (v ₂ ² - v ₁ ² );

Ø ∆ L _G = L _12,G = - mg (h ₂ - h ₁ );

Ø ∆ L _P = L _2,P - L _1,P = - (p ₂ S ₂ δ ₂ - p ₁ S ₁ δ ₁ ) = - (p ₂ - p ₁ ) V;

tubo di flusso

→ v S _1, v ₁ ,h ₁ ,p ₁

S ₂ ,v ₂ ,

h ₂ ,p ₂

(14)

legge di Bernoulli (2)

§ teorema dell’energia cinetica : ∆ K = ∆ L _G + ∆ L _P →

½ ρ V (v ₂ ² - v ₁ ² ) = - m g (h ₂ - h ₁ ) - (p ₂ - p ₁ ) V; [ dividere / V ]

½ ρ (v ₂ ² - v ₁ ² ) = - ρ g (h ₂ - h ₁ ) - (p ₂ - p ₁ ); [riarrangiare i termini]

½ ρ v ₂ ² + ρ g h ₂ + p ₂ = ½ ρ v ₁ ² + ρ g h ₁ + p ₁ ; [i due punti sono generici]

½ ρ v ² + ρ g h + p = costante;

NB : “costante” → la somma dei tre termini è la stessa, se calcolata in tutti i punti del tubo di flusso; inoltre, non varia nel tempo.

Meccanica dei fluidi. definizioni; statica dei fluidi (principio di Archimede); dinamica dei fluidi (teorema di Bernoulli).

Meccanica dei fluidi

Ø definizioni;

Ø statica dei fluidi (principio di Archimede);

Ø dinamica dei fluidi (teorema di Bernoulli).

[importanti applicazioni in biologia / farmacia : ex. circolazione del sangue]

Definizioni

• fluido = sostanza che può scorrere, ed assumere la forma (=liquido) o le dimensioni (=gas) del contenitore;

• densità : ρ = dm / dV (= massa / volume, in Kg/m 3 , g/cm 3 ) [*];

• pressione : p = dF / dA (=forza/ area, in N/m 2 = pascal, dine/cm 2 ) [**];

• viscosità : | F | = η A v / s (forza “di taglio” tra superfici, vedi oltre).

[*] in alcuni testi recenti, densità → massa volumica (brutto, ma più chiaro);

[**] p non è un vettore, la pressione è isotropa (= la stessa in tutte le direzioni), vedi principio di Pascal.

→

Viscosità

| F | = η A v / s :

§ A = area di due lamine di liquido, poste a distanza s;

§ v = velocità relativa delle lamine;

§ η = coefficiente di viscosità del liquido (funzione anche di temperatura, pressione) ;

§ F = forza di viscosità (due forze uguali ed opposte sulle due lamine) . s

v=0

A

v → F →

F →

→

Principio di Pascal

Un cambiamento di pressione in un fluido è trasmesso inalterato a tutte le porzioni del fluido ed alle pareti

( → la pressione è isotropa).

F →

p

Statica dei fluidi

[il liquido è a riposo]

Ø F 2 = F 1 + mg = F 1 + ρ Vg;

Ø p 2 = F 2 / A = F 1 / A + ρ Vg / A =

= p 1 + ρ g (y 2 - y 1 );

Ø y 1 → 0; y 2 - y 1 = h; p 1 = p o = p atm ; Ø p = p o + ρ gh.

la pressione aumenta

linearmente con la profondità.

p atm = p o

1

2

y

0

vasi comunicanti

il liquido è in quiete → p 1 = p 2 ;

→ h 1 = h 2 → il liquido è alla stessa altezza in tutti i vasi;

[NB : è necessario che tutta la superficie del liquido sia a pressione p o ]

stessa altezza

p 1 p 2 p 1 =p 2

p o

p o p o p o p o

Il barometro

• p atm + ρ gh 1 = p =0 + ρ g(h 1 +h 2 );

• p atm = ρ g h 2 ;

p atm

vuoto p=0

l’altezza della colonna di liquido (mercurio) non dipende né dalla forma dei tubi, né dall’altezza h 1 , ma solo dalla densità ρ e dalla pressione atmosferica p atm . Si può misurare p atm in mm-Hg ( = h 2 se Hg).

h 1 h 2

ρ

La pressa idraulica

§ lavoro, per spostamenti d 1 e d 2 (= d 1 × S 1 / S 2 ) :

[le forze sono conservative → l’energia meccanica si conserva

→ il lavoro speso sul pistone 1 viene integralmente restituito sul pistone 2]

F 2 S 2 →

F → 1 S 1

p 1 p 2

p 1 = F 1 / S 1 = p 2 = F 2 / S 2 ; F 2 = F 1 × S 2 / S 1 >> F 1 ;

È un moltiplicatore di forza (una “leva idraulica”)

1 1

1 2

1 1 1

2 2 1

2

2 F d L

S S d S

S d F

F

L  = × =



 

• densità : ρ = dm / dV (= massa / volume, in Kg/m ³ , g/cm ³ ) [*];

• pressione : p = dF / dA (=forza/ area, in N/m ² = pascal, dine/cm ² ) [**];

[] in alcuni testi recenti, densità* → massa volumica (brutto, ma più chiaro);

*[**] p non è un vettore, la pressione è isotropa (= la stessa in tutte le direzioni),* vedi principio di Pascal.

v ^→ F ^→

F ^→

F ^→

Ø F ₂ = F ₁ + mg = F ₁ + ρ Vg;

Ø p ₂ = F ₂ / A = F ₁ / A + ρ Vg / A =

= p ₁ + ρ g (y ₂ - y ₁ );

Ø y ₁ → 0; y ₂ - y ₁ = h; p ₁ = p _o = p _atm ; Ø p = p _o + ρ gh.

p _atm = p _o

il liquido è in quiete → p ₁ = p ₂ ;

→ h ₁ = h ₂ → il liquido è alla stessa altezza in tutti i vasi;

[NB : è necessario che tutta la superficie del liquido sia a pressione p _o ]

p ₁ p ₂ p ₁ =p ₂

p _o

p _o p _o p _o p _o

• p _atm + ρ gh ₁ = p ₌₀ + ρ g(h ₁ +h ₂ );

• p _atm = ρ g h ₂ ;

p _atm

l’altezza della colonna di liquido (mercurio) non dipende né dalla forma dei tubi, né dall’altezza h ₁ , ma solo dalla densità ρ e dalla pressione atmosferica p _atm . Si può misurare p _atm in mm-Hg ( = h ₂ se Hg).

h ₁ h ₂

§ lavoro, per spostamenti d ₁ e d ₂ (= d ₁ × S ₁ / S ₂ ) :

F ₂ S ₂ →

F ^→ ₁ S ₁

p ₁ p ₂

p ₁ = F ₁ / S ₁ = p ₂ = F ₂ / S ₂ ; F ₂ = F ₁ × S ₂ / S ₁ >> F ₁ ;

F _TOT = (p ₁ - p ₂ ) × d ² = ρ _liquido g d × d ² = V _corpo ρ _liquido g = m _liquido g;

F _Arch + F _peso = (m _liquido - m _corpo ) g = ( ρ _liquido - ρ _corpo ) V g [ → navi, etc.]

p ₁ p ₂

§ restano F ₁ = p ₁ ×d ² e F ₂ = p ₂ ×d ² ;

§ F _TOT = F ₁ - F ₂ = (p ₁ - p ₂ ) × d ² ;

F ₂

F ^→ ₁ →

h _1,2 = quota ( → energia potenziale);

p _1,2 = pressione;

v _1,2 = velocità;

S _1,2 × δ _1,2 = V = m / ρ .

→ v S _1, v ₁ ,h ₁ ,p ₁

S ₂ ,v ₂ , h ₂ ,p ₂ spiegazione dei termini :

S ^v

nel tempo ∆ t, dati due volumi uguali, di area ⊥ S ₁ e S ₂ :

• attraverso S ₁ : m ₁ = ρ V ₁ = ρ d ₁ S ₁ = ρ ₁ v ₁ ∆ t S ₁ ;

• attraverso S ₂ : m ₂ = ρ V ₂ = ρ d ₂ S ₂ = ρ ₂ v ₂ ∆ t S ₂ ;

• ρ ₁ = ρ ₂ → m ₁ = m ₂ → v ₁ S ₁ = v ₂ S ₂ ;

→ portata Q = dV / dt [= v ₁ S ₁ = v ₂ S ₂ ] = costante.

→ v S ₁

S ₂

§ calcoliamo variazione di energia cinetica, lavoro della gravità, lavoro delle forze di pressione tra i punti 2 e 1, per una piccola massa m, che occupa un volume V (m = ρ V) : Ø ∆ K = K ₂ - K ₁ = ½ m v ₂ ² - ½ m v ₁ ² = ½ ρ V (v ₂ ² - v ₁ ² );

Ø ∆ L _G = L _12,G = - mg (h ₂ - h ₁ );

Ø ∆ L _P = L _2,P - L _1,P = - (p ₂ S ₂ δ ₂ - p ₁ S ₁ δ ₁ ) = - (p ₂ - p ₁ ) V;

→ v S _1, v ₁ ,h ₁ ,p ₁

S ₂ ,v ₂ ,

h ₂ ,p ₂

§ teorema dell’energia cinetica : ∆ K = ∆ L _G + ∆ L _P →

½ ρ V (v ₂ ² - v ₁ ² ) = - m g (h ₂ - h ₁ ) - (p ₂ - p ₁ ) V; [ dividere / V ]

½ ρ (v ₂ ² - v ₁ ² ) = - ρ g (h ₂ - h ₁ ) - (p ₂ - p ₁ ); [riarrangiare i termini]

½ ρ v ₂ ² + ρ g h ₂ + p ₂ = ½ ρ v ₁ ² + ρ g h ₁ + p ₁ ; [i due punti sono generici]

½ ρ v ² + ρ g h + p = costante;

→ v S _1, v ₁ ,h ₁ ,p ₁

S ₂ ,v ₂ ,

h ₂ ,p ₂