S u i s i s t e m i c o n t i n u i nel caso a s i m m e t r i c o .
M e m o r i a di ALDO BRESSAN (a P a d o v a )
Sommario. - Si prosegue da u n p u n t o di vista generale u n a ricerca di G. Grioli s u l l a elasticit<~ a s i m m e t r i c a con d e f o r m a z i o n i finite (e con m o m e n t i i n t e r n i di contatto). T r a l ' a l t r o si f a n n o osservazioni sull'energia libera e su u n certo p a r a m e t r o z in connes.
sione con le equazioni costitutive e col p r o b l e m a della loro determinazione sperimentale.
S i c a r a t t e r i z z a p u r e il conformarsi dei m a t e r i a l i considerati al p r i n c i p i o di isotropia fisica dello spazio. S i c o n f r o n t a n o le ~'elazioni trovate con altre differenziali gi~ note, delle q u a l i si dete+'mina l'integrale generale. T r a r altro si d~ u n a c a r a t t e r i z z a z i o n e di tipo energetico della s i m m e t r i a degIi sforzi d e r i v a n t i d a u n p o t e n z i a l e elast4co.
1. - I n t r o d u z i o n e .
R e c e n t e m e n t e , riferendosi a deformazioni finite, sono stati posti i fonda- m e n t i (1) per u n a teoria del generico sistema S continuo esente da vincoli i n t e r n i e capace di sforzi interni a n e h e a s i m m e t r i c i e di m o m e n t i i n t e r n i (di contatto). P r e c i s a m e n t e , in primo luogo, p r e s c i n d e n d o dalla s t r u t t u r a i n t e r n a di S si ~ scritta u n a espressione e u l e r i a n a corretta (2) del lavoro e l e m e n t a r e
~/<~> delle forze interne. U n a o p p o r t u n a espressione l a g r a n g i a n a ~*l C~) di tale lavoro ha poi permesso di applieare ad u n generieo sistema S esente da vineoli interni, supposto a trasformazioni reversibili, i primi d u e principi della t e r m o d i n a m i c a , ottenendo delle relazioni g e n e r a l i f r a sollecitazione i n t e r n a e deformazione. Queste p e r m e t t o n o p r e e i s a m e n t e di d e t e r m i n a r e , a m e n o delle e m i s i m m e t r i e (3) degli sforzi, la sollecitazione i n t e r n a di S, noto u n eerto p a r a m e t r o z e le derivate d e l l ' e n e r g i a libera ~(~, ~, T, ~) la quale va r i t e n u t a come d i p e n d e n t e dal generico elemento ~ di S , dalla sua tempe- r a t u r a T, dal g r a d i e n t e di deformazione a - ~ II ~ x , / ~ y ~ ] l e da certe quantiti~ ~ ehe si costruiscono con le d e r i v a t e seeonde delle funzioni x,. - - x , (y~ , Y2, Y3), le quali r a p p r e s e n t a n o la configurazione attuale su q u e l l a di riferimento.
I n [3] ~ p u r e mostrato che le omografie ~ e ~---~ II t r a i t son soggette ad u n vincolo universale (indipendente da ~ e dalla s t r u t t u r a i n t e r n a di S ) r a p p r e s e n t a t o da u n a certa i p e r s u p e r f i e i e ~. ]~ a cagione di tale vincolo che il s u a e e e n n a t o p a r a m e t r o ~ (da ritenersi fissato p r e v e n t i v a m e n t e come avviene per il potenziale termodinamico) figura nella s u a c c e n n a t a espressione della solleeitazione interna~ p u r non figurando in quella del lavoro.
(') V e d i [3].
(~) I n b a s e a t a l e sua espressione, il I a v o r o ~l ~i) r i s u l t a hullo p e r o g n i s p o s t a m e n t o r i g i d o di S~ a d i f f e r e n z a di q u a n t o si e r a a m m e s s o in q u a l c h e tentati~-o lorecedente - - v. i n [3] la n o t a (9) a p a g . 395 - - .
(~) L a I)arte e m i s i m m e t r i e a d e g l i sforzi ~ d e t e r m i n a t a da~l'equazione i n d e f i n i t a tradu- c e n t e l ' e q u a z i o n e c a r d i n a l e dei m o m e n t i .
Annali dl Matema$ica 22
170 A. B a ~ s s ~ : Sui sistemi continui nel caso asi~nmetrico
I n [3] sono a n c h e d e t e r m i n a t e tre condizioni differenziali (scalari) neces- s a r i a m e n t e soddisfatte dalF e n e r g i a libera 2 di S. Esse traducono la condizione di s i m m e t r i a (rispetto agli indici l e d m) di certe espressioni $~m in~'otgenti le derivate di ~(:¢, ~t, T, ~) ed e s p r i m e n t i la parte s i m m e t r i e a degli sforzi.
L a s u d d e t t a r i c e r c a v i e n e proseguita, da u n pun~o di vista non meno generale, nella p r e s e n t e memoria. Questa ~ stata divisa in due parti, in corri- spondenza a due gruppi di risultati di n a t u r a ben distinta (~).
L a P a r t e I c o n c e r n e essenzialmente le suddette relazioai solleeitazione i n t e r n a - d e f o r m a z i o n e e gli e l e m e n t i che in essa intervengono, in" particolare il p a r a m e t r o x e l ' e n e r g i a libera 2(~, ~, T, ~). D a p p r i m a (anche in vista di applicazioni nella P a r t e II) si b r i t e n u t o e o n v e n i e n t e caratterizzare la g e n e r i c a sollecitazione i n t e r n a a lavoro hullo e dividere (univocamente) u n a q u a l u n q u e sollecitazione i n t e r n a nella p a r t e lavorante p u r a e nella p a r t e non lavorante.
Cib fatto, ~ risultato abbastanza agevole semplifieare le gih note relazioni s f o r z i - d e f o r m a T , ione m o s t r a n d o che in esse il p a r a m e t r o z f i g u r a solo a p p a r e n t e m e n t e (~) (esso f i g u r a . p e r b e f f e t t i v a m e n t e netle relazioni m o m e n t i i n t e r n i - d eformazione).
I n o l t r e d e t e r m i n o l ' a r b i t r a r i e t ~ (~) della s u d d e t t a funzione ~(~, ~, T, ~) che, uonostante il s u a c c e n n a t o vincolo universa]e su a e ~, si pensa come d e f i n i t a per omografie ~ e ~t g e n e r i c h e (~).
In connessione con tali questioni ho ritenuto c o n v e n i e n t e i n t r o d u r r e u n a c e r t a variabile omografia ~' costituente u n c o r r i s p o n d e n t e euleriano della p r e c e d e n t e ~ (che come la ~ ha c a r a t t e r e misto).
Basandomi sulla sopra a c c e n n a t a arbitrarietit della funzione 2(a, ~t, T, ~), mostro ehe questa pub scegliersi in modo da far scomparire totalmente il p a r a m e t r o x.dalle suddette relazioni sellecitazione i n t e r n a - d e f o r m a z i o n e .
T e r m i n o la P a r t e I con~rontando S con u n generico altro sistema S - a d egual lavoro inferno. P o r r e tale confronto nella detta parte ~ giustificato in quanto esso p e r m e t t e di riconoscere la possibiliti~ di associate ad S ed S - la stessa fun~ione e n e r g i a libera ~(:¢, i~, T, -r~) e differenti scette del parame- tro ~, pensato come u n a funzione di opportune variabili (~)
(4 7 A d o n t a d e l e a r a t t e r e g e n e r a l e c o m u n e a q u e s t e d u e parti~ p o t r e b b e forse s e m b r a r e pifi n a t u r a l e r i d u r l e a due l a v o r i distinti. Si pub p e r b anche o s s e r v a r e che le dette due p a t t i h a n n o v a r i e p r e m e s s e in e o m u n e Inn. 2~ 3] i n o l t r e esse sono l e g a t e anehe in q u a n t o n e l l a s e c o n d a ~ e s s e n z i a l e l ' u s o di c e r t i r i s u l t a t i o t t e n u t i n e l l a prima.
(5) ~ r a l ' a l t r o cib c o m p o r t a u n ' i m m e d i a t a s e m p l i f i e a z i o n e nelIa d e d u z i o n e delle s u a e e n n a t e e o n d i z i o n i d i f f e r e n z i a l i sulla f u n z i o n e ~(~ ~t, T, 7j) fatta in [3] n. 7 - - efr. n. 4~ nora (ss) - - .
(6) C o n o s c e r e tale a r b l t r a r i e t ~ ~ essenziale ne]la P a r t e II~ p e r es. nel n. 10.
(7) Tale m o d e di i n t e n d e r e la f u n z i o n e ~(a, ~ T~ ~) & implieito anche in [3].
(s) I n e o r r i s p o n d e n z a al c o n s i d e r a t o g e n e r i c o s i s t e m a S pub farsi • ~---0, eosiech~ il p a r a m e t r o z assoeiato ad S v i e n e a c a r a t t e r i z z a r e i l d i v a r i o f r a S e4 S - .
A . BRESSAN: ~ $ SiSte~'~,i (q)~t;d~i ~tel C~.~O ~ s i m m e t r i c o 171 Riconoseiuto come ~ influisce sulla a s i m m e t r i a degli sforzi e che, non ostante tale i n f l u e n z a sia effettiva, in corrispondenza ad ogni elemento di volume esso non influisce affatto sul r i s u I t a n t e degli sforzi specifici~ passo a mostrare come la d e t e r m i n a z i o n e s p e r i m e n t a l e del p a r a m e t r o ~ - - cfr. nora (8) sin riconducibile a misurazioni di forze superficiali, anzichb di m o m e n t i super- ficiali (pig difficili da misurarsi). Cib mi s e m b r a i n t e r e s s a n t e e non evidente a priori, tanto pifi che il p a r a m e t r o z d e [ e r m i n a p r e c i s a m e n t e il divario fra gli invarianti lineari dei tensori esprimenti proprio i m o m e n t i interni d i s ed S - .
Nella seeonda parte della p r e s e n t e m e m o r i a (Parte I I ) s t u d i o il p r e c e d e n t e generieo sistema S in relazione all'isotropia fisiea dello spazio.
E n u n c i a t o il prineipio di isotropia fisiea~ da esso deduco r a p i d a m e n t e eerte condizioni di possibilith (fisica) per la sollecitazione interna. Grazie alle sopra menzionate relazioni sollecitazione i n t e r n a - deformazione, tali condizioni di possibiliti~ fisica si t r a d u e o n o (9) in u n a condizione sul p a r a m e t r o z e in certe a l t r e (10) su a l c u n e d e r i v a t e parziali di u n a opportuna d e t e r m i n a z i o n e d e l l ' e n e r g i a libera ~(a, ~, T, 7) di S. Dimostro anche In. 11] ehe queste u l t i m e eondizioni equivalgono s e m p l i e e m e n t e ad u n a certa condizione d ' i s o t r o p i a sinistra della funzione ~(~, t~,
T, ~))
la quale impliea n n a condizione analoga per 1' e n t r o p i a (1~).A questo punto ~ spontaneo chiedersi quali relazioni di d i p e n d e n z a logiea i n t e r e o r r a n o fra le p r e e e d e n t i eondizioni di isotropia [riducibili a quella di isotropia sinistra della funzione 2(a, },
T,
7)] e le sopra m e n z i o n a t e condizioni differenziali sulla ~(~, ~, T, ~), gih note ~ cfr. [3], n. 7 - - . I n partieolare i n t e r e s s a sapere se queste ultime e le s u a c c e n n a t e condizioni sul p a r a m e t r o z (eerto i n d i p e n d e n t i da quelle gi~ note) sono sufficienti ad a s s i c u r a r e il con- f o r m a r s i della s t r u t t u r a i n t e r n a di S al prineipio di isotropia fisica dello spazio.L a risposta ~ affermativa. Anzi, b a s a n d o m i su u n a gih nota relazione t e r m o d i n a m i c a f r a i l differenziale 8~ e il lavoro ~*l (~) delle forze interne, dimostro l ' e q u i v a l e n z a (~2) fra la s u a e e e n n a t a condizione di isotropia sinistra della funzione ~(a, ~, T, 7) e la s i m m e t r i a delle sopra dette espressioni ~z~.
]~ sostanzialmente gi'~ assodato ehe tale s i m m e t r i a equivale alle s u a e e e n n a t e
(9} ~ a t u r a l m e n t e t a l e facto n o n h a r i s c o n t r o n e l caso s i m m e t r i c o . (10) V e d i al n, 8 l a eon.dizione {79} s u z e t a (78) s n l l ' e n e r g i a I i b e r a . (~) M i r i f e r i s c o p r e c i s a m e n t e alle c o n d i z i o n i (65)~ e (65)2 e n u n c i a t e al n. 10.
(~) T a l e e q u i v a l e n z a v a a c c o s t a t a al T h e o r e m 1 d i m o s t r a t o i n [5] p. 177 e r i f e r e n t e s i al e a s e s i m m e t r i c o . P e r b , a m i o a v v i s o , le d i f f e r e n z e f r a l ' e q u i v a l e n z a e il t e o r e m a s u d d e t t i s o n o s e n s i b i l i , s p e e i a l m e n t e r i g u a r d o a l l e d i m o s t r a z i o n i ; i n o l t r e e s s e s o n o n o n formal'i e solo p a r z i a l m e n t e d o v u t e al f a t t o che, a d i f f e r e n z a d e l c o n s i d e r a t o T h e o r e m 1, l a s u d d e t t a e q u i v a t e n z a si r i f e r i s c e al caso a s i m m e t r i c o .
172 A. BRESSAN: ~Ui sisterni conti~tui nel caso asin~metrico
e o n d i z i o n i d i f f e r e n z i a l i gih n o t e - - cfr. T e o r . 3.2 e n o r a (27) - - . Q u e s t e r i s u l - t a n o eosi e q u i v a l e n t i a l l e a c c e n n a t e n u o v e c o n d i z i o n i s u l l a f u n z i o n e ~(a, it~ T, ~).
I p r e c e d e n t i r i s u l t a t i sono u t i l i a n c h e p e r c h ~ i n t r o d o t t e o p p o r t u n e varia- bili l a g r a n g i a n e (~3) ~ e ~t* o r e e ~ l ' u s u a l e o m o g r a f i a di d e f o r m a z i o n e , essi ] a s c i a n o v e d e r e f a c i l m e n t e c o m e l ' a c c e n n a t a c o n d i z i o n e d ' i s o t r o p i a s i n i s t r a d e l l a f u n z i o n e ~(s~, it, T, ~) e q u i v a l g a nil ~ a v e r e t a l e f u n z i o n e la f o r m a ~*(~, it, T, ~).
Cosi, d a u n l a t e r i s u l t a t r o v a t o l ' i n t e g r a l e g e n e r a l e d e l l e m e n z i o n a t e c o n d i z i o n i d i f f e r e n z i a l i gih n o t e , d a l l ' a l t r o si son r i d o t t e le v a r i a b i l i s e a l a r i da c u i d i p e n d e u n a q u a l s i a s i f u n z i o n e e s p r i m e n t e F e n e r g i a l i b e r a di u n q u a l u n q u e m a t e r i a l e del tipo c o n s i d e r a t e ; eib r i s u l t a f a t t o in m o d e i n d i p e n - d e n t e d a l d e t t o m a t e r i a l e .
B a s a n d o s i s u q u e l l e s u a e c e n n a t e c o n s i d e r a z i o n i s u l l a f u n z i o n e ~(a, it, T, ~) le q u a l i sono c o n n e s s e c o n l ' i s o t r o p i a f i s i c a d e l l o spazio~ si p o s s o n o d e d u r r e in m o d e a g e v o l e t u t t i i t e o r e m i , gi~ n o t i o n u o v i , c o n s i d e r a t i n e l l a p r e s e n t e m e m o r i a ; in p a r t i c o l a r e , si a r r i v a d i r e t t a m e n t e e r a p i d a m e n t e a s t a b i l i r e le s u a c c e n n a t e c o n d i z i o n i d i f f e r e n z i a l i gi~ n o t e (~).
I n f i n e mi ~ s e m b r a t o u t i l e s t a b i l i r e u n t e o r e m a [Teor. 15.1] il q u a l e , f r a F a l t r o , r i a s s u m a in f o r m a p i u t t o s t o e o m p r e n s i v a e p u r a m e n t e m a t e m a t i e a p r e s s o e h ~ t u t t i i r i s u l t a t i r i g u a r d a n t i la f u n z i o n e ~(~, it~ T, ~) e o t t e n u t i n e l l a P a r t e I I ,
* * $
V a r i r i s u l t a t i e p r o e e d i m e n t i f i g u r a n t i n e l l a P a r t e I I h a n n o q u a ! c h e a n a l o g i a c o n r i s u l t a t i e p r o c e d i m e n t i gin n o t i e r i f e r e n ~ e s i al c a s e s i m m e t r i c o . L e d e t t e a n a l o g i e di r i s l t a t i sono solo p a r z i a l i a c a u s a di d i f f e r e n z e quali- t a t i v e , e e r t o n o n solo f o r m a l i (~). Q u e s t e v a n n o c o n n e s s e ad o r m a i n o t e p r o f o n d e d i f f e r e n z e f r a i easi s i m m e t r i c o e a s i m m e t r i c o ; in p r i m o l u o g o a l l ' e s i s t e n z a n e l solo s e c o n d o c a s e del s u a c e e n n a t o v i n c o l o u n i v e r s a l e c o n c e r - a e n t e ~ e it, i n s e c o n d o h o g o al e o n s e g u e n t e i n t e r v e n t o d e l p a r a m e t r o c h e i n f l u i s c e s u l l a s o l l e c i t a z i o n e i n t e r n a e n o n sul s u e l a v o r o , e i n f i n e a c e r t i i n t e r v e n t i d e l l e d e r i v a t e s e c o n d e d e l l e s o p r a d e t t e f u n z i o n i x,. - - x~(y~, Y2, y3) n e l solo e a s o a s i m m e t r i c o .
(~3) La denominazione di variabili lagrangiane data alle ~ e ~ sar~ giustificata al n. 15, dove, fra l'altro si scrivono, usando tall variabili~ le espressioni delle relazioni solleeita- zione interna-deformazione~ del suaccennato ~,incolo uni~'ersalo e deI lavoro eleme~tare delte forze interne.
(t4) A1 n. 13, si arriva Ira l'altro ad esse premettendo solo una opportuna e :[aeile estensione al case asimmetrico [Teor. 13, 1] di un note teorema preliminare riguardante il ease simmetrieo ed interessante in se stesso.
(is) Vedi le note (9), (is) e~ speeialmente~ la nota (67) al n. 12. Perb per raggiungere i suaeeeanati risultati mi sono talvolta giovato di opportune e faeili estensioni di noti teoremi eoneernenti il ease simmetrieo -- vedi il Lemma IV a1 n. 9, iI Teor. 11.1 e i l Teor. 13.2; vedi pure le note {58), (6~) e (ss) ad essi rispettivamente corrispondenti. Vedi anehe la nora (~7).
A. BR~SSAN: ~ui sistemi co~tinui nel caso a.~mmetrieo 173 Quanto ai p r o c e d i m e n t i impiegati nella p r e s e n t e memoria~ si pub o s s e r v a r e che i teoremi m a t e m a t i c i a c a r a t t e r e p r e l i m i n a r e usati nel caso asimmetrico sono solo in parte estensioni di teoremi analoghi e gi~t noti riferentesi al caso s i m m e t r i c o (~) m e n t r e in p a r t e essi non hanno riscontro in quel caso, come ad es. accade per il complesso di lemmi dimostrati al n. 9 (~).
P A ~ I
S u I l e r e l a z i o n i s o l l e c i t a z i o n e i n t e r n a - d e f o r m a z i o n e e g l i e l e m e n t i i n e s s a f i g u r a n t i .
2. - P r e l i m i n a r i concernenti la te0ria elastica asimmetriea.
Sin C* u n a configurazione di riferimento del sistema m a t e r i a l e continuo S e C quella attuale. P * e P siano i punti occupati da uno stesso elemento di S q u a n d o S si trovi in C* e r i s p e t t i v a m e n t e in C.
y,. e x,. ( r - - 1 , 2, 3) sian o r d i n a t a m e n t e le coordinate di P * e P rispetto alla t e r n a c a r t e s i a n a ortogonale T--~ Oc~ e~ cs.
L e forze di m a s s a a distanza agenti s u l l ' e l e m e n t o dC (di C) e quelle d ' i n e r z i a sian riducibili al loro r i s u l t a n t e F d C applicat 0 in un punto P interno a dC e a l l a coppia (~s) di momento MdC, m e n t r e ]e forze superficiali agenti s u l £ e l e m e n t o d Y. del contorno ~ di C siano riducibi]i alla forza superficiale f d E.
F i s s a t o poi il vettore applicato (P, v) con v unitario, si consideri il sistema delle forze di contatto che gli elementi m a t e r i a l i aderenti alla faccfa negativa di ttna superficie in[initesima (P, vdo) contenente P esplicano su quelli aderenti alla faccia positiva. Si a m m e t t e che esse siano riducibiti al
(i~) Cfr. nora 0~).
(~7) T a l i l e m m i s e r v o n o p e r r i c o n o s c e r e s i s t e m a t i c a m e n t e c o m e v a r i a n o i n c e r t e rota- zioni~ a l c u n e f o r m a z i o n i e o m p l e s s e e h e i n t e r v e n g o n o n e t l ' e s p r e s s i o n e d e l l a v o r o ~*l <i) e d e l l a v a r i a b i l e ~, f o r m a z i o n i c o s t r u i t e a n c h e m e d i a n t e le d e r i v a t e s e c o n d e d e l l e s u a c c e n n a t e f u n . z i o n i x r ~ xr(yt~ Ye~ Y~). Cib n o n h a a n a l o g o n e l case. s i m m e t r i e o .
(~s) D u n q u e i n d i e a n d o c o n F(e)dC e M(e)dC il r i s u l t a n t e e il m e m e n t o r i s u l t a n t e delle f o r z e e f f e t t i v e a g e n t i s u l dc~ FdC ~ il r i s u l t a n t e d e l l e forze n o n di c o n t a t t o F ( e ) d C - - k a d C , ()~o))dC o r e l a k b la d e n s i t h , 3( b u n a omo- e M d C il lore m o m e n t o r i s u l t a n t e M ( e ) d C _ k
g r a f i a e v e n t u a l m e n t e d i p e n d e n t e d a l l a c o n f i g u r a z i o n e C e ~ ~ l a v e l o c i ( ~ a n g o l a r e . I1 easo X ::~ 0 ~ e o n s i d e r a t o p e r es. i n [8] d o v e si s c r i v o n o , i n c o r r i s p o n d e n z a ~ te e q u a z i o n i i n d e f i n i t e l i n e a r i z z a t e p e r s t u d i a r e o n d e di d i s e o n t i n u i t h .
174 A. BRESSAN: JgCt~ s i s t e r n i co n t i ~ , i ~rel ca.so ¢ s i m m e t r 4 c o
v e t t o r e a p p l i c a t o (P~ <P~da) e a d u n a c o p p i a di m o m e n t o ~ d ~ , c o n ¢b~ e ~ indi- p e n d e n t i d a da.
S i a p e r (I)~ c h e p e r +~ v a l e il t e o r e m a del t e t r a e d r o di CAUCKY - - v. [3]
p. 393 - - . I n o l t r e , i n d i c a t o c o n (rp, e ~, cib c h e ¢P~ e ~ r i s p e t t i v a m e n t e diven- gono p e r v - - c ~ ( s - - t , 2, 3), a l l e e q u a z i o n i i n d e f i n i t e del m o t o e a q u e l l e al e o n t o r n o -- v. [3] p. 393 - - si p u b d a r e la f o r m a
(1) y~ a ¢ , _ F , y, aq,, _ _ ~, c , A ¢ , + M [in C]
s aX, s ~X, s
s 8
o r e / V ~ la n o r m a l e i n t e r n a a Y. (~9).
P o n i a m o
X,., + X,~ __ {,.
(3) X,., : c , - X m , , ~b,., - - c , . X ~ , , { ~ - - 2
e c o n s i d e r i a m o u n a v a r i a z i o n e i n f i n i t e s i m a 8C d e l l a c o n f i g u r a z i o n e attuale~
n e l l a q u a l e a d ogni p u n t o c o r r i s p o n d a lo s p o s t a m e n t o ~ P - - ( ~ u , . ) e la rota- z i o n e d e l F e l e m e n t o c i r c o s t a n t e , di c o m p o n e n t i
(4) ~'(o,. = ~ [ a7777~+~ ~x77;+~ j '
I n c o r r i s p o n d e n z a , il l a v o r o e l e m e n t a r e d e l l e f o r z e i n t e r n e - v - i n [3]
le [ o r m u l e (19) e (20) - - h a l ' e s p r e s s i o n e e u l e r i a n a
(5) ~ v , , = ~ q~S ~,. axe- + +,.s -g57)"
I n d i e h i a m o c o n d C * , d v * e d~* gli e l e m e n t i di v o l u m e o s u p e r f i c i a l i c o r r i s p o n d e n t i , n e l l ' o r d i n e , a d C , d Z e da, e c o n N* e n* le n o r m a l i a d ~,*
e da* o r i e n t a t e c o r r i s p o n d e n t e m e n t e a N e d n.
I n o l t r e p o n i a m o (20)
(6) F * d C = F d C , IF**dC* - " M d C ,
(t9) Come in [.~] sottintenderb the gIi indici delle sommatorie e quelli scoperti varino da ttno a tre~ salvo contrario avviso.
(e0) Dalta formula (8) risulta ohe Cr~ ~ il complemento algebrico di x,, m nella matrioe
A. BRESSAN: ~Ui s i s t e m i cont4/nui nel vaso a s i m m e t r i c o 175
di X,.s e 6,.,, da
t7) f*dY,* - - f d E , m * dZ* -~ m d Y , , (8j n s d z = dz* E Cs~n~* ,
1
(9) ~ - - II ~,-, ti = [I ~ , , , ii = ~ , o ~ d e 1,~ = D = det a~'wy~ > 0 .
11 tensore Krm di KI1~O~OFF, quello l a g r a n g i a n o Yz~ e i c o r r i s p o n d e n t i e ~z~ p e r i m o m e n t i deIle for~e i n t e r n e son d e t e r m i n a t i in funzione
1 1 1
(10) X,.. -- -~ z,~ '
1 l v
(11)
o r e come nel seguito la v i r g o l a v i e n e u s a t a p e r d e n o t a r e d e r i v a z i o n e r i s p e t t o alle Yl. Inoltre, posto
(12) Tz,n - - Yz~+ Y~z 2 - - T ~ ( ~ . = 4 E Tzmxr, z~cs,~ )
e
(13) bzm = Y' xr, zx~,m = 8~m + 2ezm ,
q,
per il lavoro 8"I m delle forze i n t e r n e per uniti~ di v o l u m e dello stato di r i f e r i m e n t o ~ stata seritta - - v. [3] p. 400 - - l ' u t i l e espressione
(14)
rln t
ore ~+m, -3i~m e N~m h a n n o definizioni ehe qui eonviene porre nella f o r m a (~)
(15)
1
1 Ee"~)~, ( ~ O~m-)u,.~v ,
(el) O r a e i n s e g u i t o c o n %hk i n d i c h e r b le c o m l a o n e n t i c a r t e s i a n e d e l t e n s o r e d i RICCL
176 A. BRESSAI~: ~Ui S{Stem$ co~,t~,nui nvl ease ~simmetr~co
3 . - Introduzione del potenziale termodinamico e condizioni sull'ener- gia libera.
C o n t i n u e a r i c h i a m a r e r i s u l t a t i c o n t e n u t i i n [3]; t a l v o l t a c o n v i e n e p o r l i i n f o r m a c o m p e n d i o s a e pifi a d a t t a a l l e c o n s i d e r a z i o n i s v e l t e n e i p r o s s i m i p a r a g r a f i .
S u p p o n g o il s i s t e m a S ~ t r a s f o r m a z i o n i r e v e r s i b i l i . A l l o r a , i n t r o d o t t a F e n e r g i a l i b e r a (~) ~--- U - eET, c o m e ~ b e n n o t e , s t a n t e (14) si h a
(16)
~*l"' 4 7 e E ~ T = - - ~ .D i c o n s e g u e n z a , s u l l a b a s e d i (14) si p e n s a ~ c o m e d i p e n d e n t e d a l l o s t a t e a t t u a l e di S s o l o t r a m i t e le x~,ra, ~,,~n e T.
A d i f f e r e n z a d i q u a n t o a c c a d e n e l c a s e s i m m e t r i c % i n q u e l l o a s i m m e t r i c o q u e s t o p u n t o l a r i c e r c a d e l l e g a m e s f o r z i - d e f o r m a z i o n i h a u n a c e r t a c o m - p l e s s i t h . 0 s s e r v a t o c h e le o m o g r a [ i e ( ~ ) u e ~t s o n o s o g g e t t e al v i n c o l o u n i v e r s a l e (~)
(17)
DL(~ta -~) ~-- I ~ ( ~ K R a ) ~ E C ~ . ~ - - O, o n d e ~g e ~ t v e r i f i c a n osi d i m o s t r a - - v. [3] p. 401 - - c h e (~) i n a s s e n z a d i v i n c o l i i n t e r n i , e s i s l e u n p a r a m e t r o "c p e r c u i , s t a n t i (12) e (15),
(19)
(20) ~ , , + ~0~,,, - - - - ~ , e E - - - - - -
~T
(~'~) Con U ed E si indieano rispettivamente l'energia interna e l'entropia per unith di volume dello state di riferimento~ con e Fequivalente meccanico della caloria.
(~) I n questo lavoro, al fine di limitare Fintroduzione di nuove lettere indieo, per es,, con ~ l'omografia di componenti ~l,~ (omogra~ia associaia al tensore ~tlm).
(~4) Data una qualunque omografia y ---- !l 7ik li indicherb con K~( la sua coniugata [I 7'i~ II ('f'tk ---- 7k~') e con/~7 l'omografia complementare - ossia (I~'~)K7 -I eve /3"/---- det I[ "~ik II, nel ease/3,/::~ 0 --. Inoltre intenderb Ii'~ ~ ~ Trr.
(e5) Sia in [3] che in questo lavoro si presuppone ehe (17} rappresenti l'unieo vineolo su c¢e ~. L a dimostrazione di cib ~ nora all'autore ehe pensa di pubblicarla in un prossimo lavoro.
A. B R n s s . ~ : S u i sis, temi cont,~nui .nel ee~so asimmetrico 177 (x ~ u n p a r a m e t r o d e l q u a l e ~ p r i o r i n o n s i p u b e s e l u d e r e l u d i p e n d e n z a . p e r . es., d a l l e w,-,ra e [~m).
R i u s e i r ~ u ~ i l e e n u n c i a r e il s e g u e n t e t e o r e m a ~ c h e h a f o r m a p u r ~ m e n t e m a t e m a t i c a , e c h e r i n u a c i o a d i m o s t r a r e p e r c h ~ r i s u l t a s o s t a n z i a l m e n t e c o n s e - g u e n z a d i r a g i o n a m e n t i f a t t i i n [3] n. B. P r e l i m i n a r m e n ~ e c o n v e n g o d i i n d i c a r e c o n ~ l a i p e r s u p e r f i e i e r a p p r e s e n t a t a d a (17) n e i l o s p a z i o S~s d e l l e c o p p i e d i o m o g r a f i e ( ~ it) - - o v v e r o d e i t e n s o r i d o p p i X~,m e item - - .
TJ~OR. 3.1 - L a f u n z i o n e reale ;2 ~, ~) sia definila i n u n inlor~o Io della s u d d e t l a ipersuperficie ~ e sia ivi c o n t i n u a assieme alle derivate prince. I n o i l r e
T~,, e ~ m sia1~ definite d a (19) e (20).
Allora, fissato il 1)unto (:¢, ~) s u ¢~ e d a t i i h u m e r i reali T~m e ~ con T z m - - Ttm, sono equivalenli le seguenti due e o n d i z i o n i "
a) S t a n t e ( i 4 ) e ratio T~m = Ttm, k~m : krm e ~ T - - O , l ' e g u a g l i a n z a (16) vale per ogni soluzio~e (~o~, ~ ) di (18).
b) Esiste. u n (numero reale) z tale ehe le relazioni (19) e (20)~ s u s s i s l a n o p e r z---7r, T z , , - - TI,~ e ~ m ~ , , (~).
S t a b i l i t e (19) e (20), n e l n. 7 d i [3] si o t t e n g o n o s o s t a n z i a l m e n t e r i s u l t a t i a c u i c o n v i e n e d a r e l a s e g u e n t e f o r m a c o m p e n d i o s a e d i n a ~ u r a p u r a m e n t e m a t e m a t i c a .
TEOR. 3.2 - Si r i p r e n d a la f u n z i o n e D(~, ~) c o n s i d e r a t a nel T E o a . 3.1 e si fissino a d arbitrio (a, it) s u ~ e i l p a r a m e t r o z. I n eorrispondenza, il ten.
sore Tim definilo d a ([9) ~ simn~elrico s e e solo se vale (~v)
(21) ~ s"~, X~,m + ~i,,, --- 0 (r = 1, 2, 3).
(-~6) Ricordo che in base a {15)2,3 e (20)~ il parametro z f i g u r a in {19), ottre che espli.
citamente, anche attraverso Mrs e h~. s. I n [3]~ n. 6 si ~ dimostrato che la condizione a) implica l a b ) , ma non vieeversa.
(eT) A_ rigore, del Toot. 3.2~ in [3] n. 7 si ~ dimostrata solo la necessit~ della condizione (21) per ta s i m m e t r i a del ten, sore Tz, ~ pensato come definito da (19); anzi cib ~ stato fatto sotto l']potesi c h e ] a funzione ~{~ p) sia F e n e r g i a l i b e r a di un sistema m a t e r i a l e S. ]~
i m m e J i a t o consmtare, rileggendo il detto n. 7~ che tale ipotesi non viene mai usala e c h o la condizione (21) ~ anehe slffficiente p e r la delta simmetria, i n d i p e n d e n t e m e n t e dal signi.
ficato fisico della ~(~, I~).
Si osservi che l ' e q a i v a l e n z a considera~a nel Teor. 3.1 ha carattere puntuale. Osservare cib mi sembra opport~ttno perch~ dal punto di vista fisico la funzione ~(~, ~, T) ~ d e t e r m i n a t a solo per (~, ~) s a ~ - - v. premessa al Teor 3.1 - - e le condizioni (21) potrebbero non v a l e r e p e r opportuni v a l o r i del punto (~, I~) comunque prossimi a v.
Annali di M{nematicu 23
178 A. BnESSAN: S u i s i s t e m i co ntintti nel c a,~o a,simmetrico
Qui c o n v i e n e o s s e r v a r e che n o n f i g u r a n d o 1' a r b i t r a r i o p a r a m e t r o z in (21), di c o n s e g u e n z a 6 s i m m e t r i c o il c o e f f i c i e n t e di z - cfr. n o t a ( 2 6 ) - - n e l l ' c s p r e s -
sione di Ttm r i c a v a t a da (19) (28).
I n a s s e n z a di v i n c o l i i n t e r n i , f i s s a t e c o m u n q u e la t e m p e r a t u r a T e la c o n f i g u r a z i o n e C~ il c o n s i d e r a t o s i s t e m a S pub t r o v a r s i in C. I n tal caso esso h a u n o stato t e n s i o n a l e i n t e r n o ( Y l m , X~m) e di c o n s e g u e n z a esiste a l m e n o u n v a l o r e di z v e r i f i c a n t e (19) e (20), s t a n t i ( 1 2 ) e (15). A l l o r a in base al TEOR. 3.2 si d e d u c e t h e , corn' 6 noto, l' e n e r g i a libera ~(x~,m ] ~,.~[ T) - - ~(~, ~, T) deve verificare ( 2 1 ) p e r x,,~ e ~t~z s o d d i s f a c e n l i (17).
L e d e d u z i o n i dei p r o s s i m i p a r a g r a f i si b a s e r a n n o solo sui nn. 1-6 di [3];
si c o n s i d e r a il n. 7 di [3] solo p e r c o n f r o n t i . F r a F altro, allo scopo di e v i t a r e c o m p l e s s i calcoli ad hoc, il TEon. 3.2 verrh d i m o s t r a t o p e r u l t r a via In. 13]
g i o v a n d o s i di r i s u l t a t i t r a t t i a p r o p o s i t o ~]i c o n s i d e r a z i o n i c o n c e r n e n t i F i s o . t r o p i a f i s i c a dello spazio.
4. - Sulla generica sollecitazione interna a lavoro hullo. Semplificazione delle precedenti relazioni generali fra configurazione e sollecitazione interna nel caso di sistemi a trasformazioni reversibili ed esenti da vincoli interni.
Mostro o r a c o m e f a c e n d o c o i n c i d e r e le c o n f i g u r a z i o n i C e C*, in p r i m o luogo a p p a r e n a t u r a l e u n a c e r t a d e c o m p o s i z i o n e d e l l a g e n e r i c a s o l l e c i t a z i o n e i n t e r n a (X,.s, ~r~) in u n a ( ~ , +o) n o n l a v o r a n t e e u n a ( X ~ , ~ ) l a v o r a n t e X ° p u r a ; e in seeondo htogo r i s u l t a a g e v o l m e n t e che il c o e f f i c i e n t e del p a r a m e - fro ": in (19) ~ n o n solo s i m m e t r i c o - - cfr. [3] n. 7 - - m a a d d i r i t u r a nullo.
A t a l e seopo c o m i n c i o con l ' o s s e r v a r e che f a c e n d o C * - - C r i s u l t a u~,mp = - 0 , o n d e d a (15) s e g u e
I n o l t r e , t e n e n d o a n c h e eonto di (10), (11) e (12), si vede che p e r C * - - C
(23)
X,.~ -" K,.~ --- :Y,., , 2T,., - - X,.~ "-{- X , . ( 0 " = C).
Allora, in p r i m o luogo, la c o n d i z i o n e di vincolo (17) e la c o n s e g u e n t e (18) d i v e n g o n o r i s p e t t i v a m e n t e
(24) ~ t~,. = O, :~ al~,. = O,
r r
(es) La detta simmetri~ ~ stabilita direttamente in [3] n. 7 come prima fuse della deduzione di (21).
A , BRESSAN: S u i sistemi contimti ~wl ca.so asimmetrico 1 7 9 o s s i a per C* -- C il tensore ~t~ ha invariante lineare hullo e per C molto vieino a C* esso conserva tale propriet~t a meno di infinitesimi d' ordine supe- riore al primo.
L ' e s p r e s s i o n e (14) d e l l a v o r o $*l ") d i v i e n e (~)
(25) ~*l"' = ~ ( T~flu~,~ + ~,,,fl~, ~) = ~ (X,.fl b~ -~- *, ~ t , ,) per C* = C D i r b non lavoranti l e s o l l e c i t a z i o n i v e r i f i c a n t i l a c o n d i z i o n e ~ * / " ) = 0 p e r o g n i s o l u z i o n e (~ur,m, ~ , m ) d i (18) - - e p e r C * = C q u e s t e s o n o a n e h e l e s o l u z i o n i d i (24)~ D a (25) s e g u e c h e F espressione euleriana (~o) X o +o della generiea di tali sollecitazioni ha la forma
( 2 6 ) X o = 2 ( 1 X o o o =
ova q pub darsi ad arbitrio, o s s i a e s s a 6 d a t a d a l g e n e r i c o t e n s o r e d e g l i s f o r z i e m i s s i m m e t r i c o e d e l g e n e r i c o t e n s o r e d e i m o m e n t i i n t e r n i i s o t r o p o (8~).
S i o s s e r v i o r a c h e s e l a s o l l e c i t a z i r n e i n t e r n a (X,,,, ~,,) p u b f a r e l a v o r o n o n n u l l o , l a s t e s s a c o s a v a l e d o p o a v e r l e a g g i u n t o u n a s o l l e c i t a z i o n e n o n l a v o r a n t e . D i r b c h e l a s o l l e e i t a z i o n e i n t e r n a (X+.s, 5~) ~ ~P u n a sollecilazione
lavoranle p u r a s e - - c f r . n o t a (24) - -
(27 _= + 5 = o , = x . 5 ,
o s s i a i l t e n s o r e d e g l i s f o r z i ~ s i m m e t r i c o e q u e l l o d e i m o m e n t i i n t e r n i h a i n v a r i a n t e l i n e a r e h u l l o . L a d e n o m i n a z i o n e d a t a d a l l a s o l l e c i t a z i o n e (X~P~, +Ps) g i u s t i f i c a t a t a d a l f a t t o c h e solo se essa ~ nulla il lavoro ~*l "~ per ogni sposla.
menlo infinitesimo risulta hullo (82).
(eg) Confrontando (25) con {5) risulta che, startle (4), p e r ~ t r m = 0 le qaantith (~'c%) ....
s o n o le ~ariazioni ~r,~ delle funzioni ~r,~ date d a (15)i.
(s0) Use l'est)ressione euleriana della sollecitazione perch~ ~ indipendenle dalla scelta di C. Di conseguenza ]e condizioni da essa soddisfatte - - per es. (26) - - non dipendono d a t l ' i p o t e s i C ~ C*.
(3~) (26)~ si trae i m m e d i a t a m e n t e anche dalla formula (20) - - stabillta in [3] p. 401 - - . P e r 6 la presenza del parametro • anche in (i9) pub far pensare ehe anehe la parle s i m m e - trica l'Ira di Ylm resti i n d e t e r m i n a t a e c h e tale indeterminazione sia l e g a t a a quella di ~rm - - o s s i a ~rs - tramite fl parametro T. Non influendo z sul lavoro ~*l(i), la detta indetermi- nazione di T1, ~ pub far pensare a solleoitazioni i n t e r n e a lavoro nullo e con sforzi non emi- simmetriei.
(~e) I n f a t t i il detto a n n u l l a r s i del lavoro ~*l(i) equivale per (25) a l l ' e s s e r e ( x ~ b ~ / 2 +
~ ~,~)
= op e r ogni tensore simmetrico ~brs e ogni tensore 8V+-s ad i n v a r i a n t e l i n e a r e nullo. ~ e segue ehe XPrs ~ emisimmetrico e ~rPs ~ isotropo, onde xrP s --~ '4Prs = 0 .
180 A . BRESSAN: S~4{ s i s t c m i C o ~ t b ~ u i ~ e l c a s o a s i . m m c t r . i c o
I n b a s e a d u e t e o r e m i e l e m e n t a r i s u t l a d e c o m p o s i z i o n e dei tensori doppi, ogni sollecitazione interr~a (X~, +~,~) si pub decomporre e in un sol modo, in u~a parle (X°~, q~o) no~ lavora~de e una (X~,, +~) lavoranle pura.
C o n v i e n e p o r r e
(28) ~o~,.~ = ~ ~ ?x~.,~ + ~'~ ~x~,~ u~,~ =
1 2D ~ ~y c o s i c c h b p e r (15)~,a e (20)
sq s~? ¢ l~sp sp
Si p o n g a o r a
/ \
(30) g~(% ~, T ) ~ O ( o n d e - - - - 0 1
8xr, m ~ lx~'m
\ /
e, c o m e ~ lecito, si c o n s i d e r i la s o l l e c i t a z i o n e non l a v o r a n t e Y,~ d a t a da (26) p e r q - - 1 . P e r e s s a b T i m - - 0 c k,.~ = qC~m Iv. (11)1].
Si f a c c i a d T - - 0 e ~ --= 2~. Allora in c o r r i s p o n d e n z a a E~ la r e l a z i o n e (16) v a l e p e r ogni s o l u z i o n e ~x~,m, ~ m di (18) [ r i c o r d a n d o che /~ ~x~,m--~u~,r~].
Di c o n s e g u e n z a in b a s e al TEOR. 3.1 esiste u n n u m e r o z v e r i f i c a n t e (19) e (20)~
p e r ~--= gl~ ed in c o r r i s p o n d c n z a a Y~. Poich/~ p e r E~ ~ k,~ = q C ~ , da (30)~
e (20)~ s e g u e - - z = q = l . P o i c h ~ per E~ ~ T ~ m ' - 0 , da (19), (29) e (30)~segue
(31)
~C,~ )sp
che d u n q u e , s t a n t e (15)~ e (28), r i s u l t a e s s e r e u n ' i d e n t i t h di c a r a t t e r e pura- m e n t e m a t e m a t i c o (~).
Allora, in b a s e a (29), le relazioni g e n e r a l i ( 1 9 ) f r a sforzi e d e f o r m a z i o n e ,
(3~) S t a n t i (28) e ( 3 t h , P'lm-P"m~ ~ il c o e f f i c i e n t e d e l p a r a m e t r o z n e l l e r e l a z i o n i $z,~-- --~m~----0 o r e Sh~ ~ 1' e s p r e s s i o n e r i c a v a t a da (19} p e r il tensore "T~m- Come si ~ a e c e n ~ a l o n e t l ' i n t r o d u z i o n e , Ie d e t t e r e l a z i o n i sono state t r a d o t t e in [3] n. 7 h e l l e e o n d i z i o n i d i f f e r e n - ziali (2[} - - c f r . Teor. 3 . 2 - - . D a (31) s e g u e i m m e d i a t a m e n t e F a n n u l l a r s i del s u d d e t t o coef- f i c i e n t e ~m-Qm~" Con eib r e s t a ridott~ al m i n i m o u n a p r i m a fase d e l l a d e d u z i o n e di (21) fatta i n [3] n. 7,
A. BRESSAN: ~Ui s i s t e m i c o n t i n u i nel vaso a s i m m e t r i c o 181 si semplificano come risulta dalla seguente n a o v a versione delle (19) e (20):
(32)
t
k,.~ - - ~ C,,m e E =Le quantiti~ z+~, ora introdotte in (32:, souo, al pari delle k+.m, di tipo misto, ossia del tipo d e l l ' o m o g r a [ i a di KrRcI~gOFF u s a t a nel caso simmetrieo.
Inoltre le derivate ~/~Ix,,,, e ~g/~x+,m figurano in (32)., e r i s p e t t i v a m e n t e in (32)~ con eoeffieiente - - 1, cosiceh~, fra l'altro, nel caso s i m m e t r i c o (~/$~+m _~ z - - 0 ) le eguaglianze (32)~ si riducono alle ben note relazioni s f o r z i - deformazione nella forma di KIRCnROFF. Dirb allora che le x+,u e ~ sono v a r i a b i l i m i m e o d i K i r c h h o f f - P i o l a .
A proposito delta solleeitazione (z~m, k~m) data da (32)~,~ riusciri~ utile (a+) osservare ehe la eondizione d ' a n n u l l a m e n t o d e l l ' i n v a r i a n t e lineare del corri- s p o n d e n t e tensore e u l e r i a n o dei momenti interni ~ ]'eguaglianz,~ z - - x p con
(33) zP ~ 3D c~l~m ~y~
Infatti per (11), (32) implica
(34) E ~ , 1 3Xr 1 c~ ~X~
- - D ~ ~ y ~ D ,m ~+'m ~ Ym
Allora stante (33), (27)1 e q u i v a l e a p p u n t o a l l ' e g u a g l i a n z a x - - z p .
Si s u p p o n g a ora la s i m m e t r i a delle Tzm date da (32)1, il ehe deve aver luogo se 7(0:, ~t) b u n ' e n e r g i a libera. Allora, come ~ ormai facile riconoseere, ]a sollecitazione (u~m, kPm) data da ~"')' (o-)1,2 per z ~ z: ~ la p a r l e l a v o r a n t e p u r a d e l l a s o l l e c i t a z i o n e (z~m, k~.m~ [data da (32)~,2] q u a l u n q u e sia z.
5. - Una variabile omografica euleriana. Sulla parle fisicamente indeter- minata della precedente funzione ~(~, t~, T). Esempio di coordinate ]agran- giane universali libere.
A e a u s a del vincolo u n i v e r s a l e (17), per ogni t e m p e r a t u r a T l ' e n e r g i a libera ~(~, t~) di un dato elemento ~7 di S ~, dal punto di vista fisico, com- p l e t a m e n t e i n d e t e r m i n a t a fuori d i ~ . L a funzione ~(a, ~t) s u b o r d i n a t a dalla ~(% ~t)
(~4) •a posizione (33) verr~t usata, fra 1' altro; nel Teor. 10.1 connesso con l'isotropia fisica dello spazio.
182 A. BRESSAN: S~t~ sisterai co~ti~ui ~vel caso asimmetrico
s u ~ b ivi d e f i n i t a a m e n o di u u a e o s t a n t e che p e r (16) b f u n z i o n e l i n e a r e d e l l a t e m p e r a t u r a .
P e r il s i g n i f i c a t o delle C~m, il loro d e t e r m i n a n t e v a l e D ~ > 0, o n d e esse n o n p o s s o n o e s s e r e t u t t e nulle. Di e o n s e g u e n z a il v i n c o l o (17) ~ s e m p r e effettivo, o n d e in ogni p u n t o (a, ~) di ~ non h a s e n s o fisico a l m e n o u n a d e l l e d e r i v a t e p a r z i a l i d e l l a ~(a, ~t). I n eonformit~t di eib a l m e n o u n a delle d e r i v a t e p a r z i a l i di ~(~, 1~) d i p e n d e e f f e t t i v a m e n ~ e d a l l a d e r i v a t a (~) s e e o n d o la nor-
m a l e a ~,
(35) d ~ 1 E [ y , ~C~ ~ 8g ]
- o + '
d e r i v a t a che p u b darsi ad arbitrio.
Come d~/dv i n f l u i s c a sulle O~/~x~.m e ~ / O ~ m ~ e o m p l i c a t o dal fatto che il vincolo (17) o p e r a sia su ~ che su :¢ e F i p e r p i a n o ~:~,e t a n g e n t e a ~ nel p u n t o (~, ~), h a o r i e n t a z i o n e v a r i a b i l e con (a, ~t). I1 detto p r o b l e m a si sem- p t i f i c a u s a n d o i n l u o g o d e l l a v a r i a b i l e o m o g r a f i c a m i s t a ~t q u e l l a e u l e r i a n a
~ ' - - I ~ K R a - - cfr. nora (24) - - . Q u e s t ' u l t i m a ~ c a r a t t e r i z z a t a a n e h e da u n a q u a l u n q u e d e l l e s e g u e n t i d u e e g u a g l i a n z e
(36) D ~ --- ~':¢, ~'~, - - ~ tL~C~ •
L a v a r i a b i l e ~' gioveri~ p u r e nella P a r t e I I (s6). L a c o n s i d e r o a n c h e p e r le s e g u e n t i sue p r o p r i e t h . I n p r i m o luogo, p e r (32)~, l ' e q u a z i o n e ( 1 7 ) d e l v i n e o l o u n i v e r s a l e su ~ e ~t si s e m p l i f i e a n e l l a
(37) 1@
---- ~, ~'~ - -0.
I n o l t r e e s s a non dk l u o g o alle c o m p l i c a z i o n i r i l e v a t e in c o n n e s s i o n e con l ' e q u a z i o n e (17); anzi la (37) o p e r a solo sulle tre ~'~.
I n s e c o n d o l u o g o si p o n g a ~'(a, ~ ' ) ~ ~(~, ~KRa), il ehe p e r (36) e q u i v a l e a u n a q u a l u n q u e d e l l e i d e n t i t h
(3s) i I z ~x i f x ~
(35} ~aturalmente il numero ~ figurante in (35) b il fattore di normalizzazione definito dalle condizioni
(86) Nella 4imostrazione del Teor. lf.2 sar~ utile considerate la variabile euleriana ~' per prolungare ~(:¢, ~), supposta isotropa, in modo isotropo.
fix. BRESSAN: Sui sisiem~ eontinui nel ca,so asimn~etrico 183 Allora per (11), (20), e (36)~ il tensore euleriano dei m o m e n t i i n t e r n i ha lu s e g u e n t e sempliee espressione m e d i a n t e la funzione ~'(~, ~t'), espressione ehe, mi sembra, giustifica la d e n o m i n a z i o n e di variabile e u l e r i a n u data a ~': (~)
(39) ~ : _ ~ ~2 x~,~ . : ~ ~ ' ~ .
Si~ or~ ~'~ il piano r a p p r e s e n t a t o da (37) hello spazio euclideo S'~ in cui p e n s i a m o variabile il p u n t o (~t'~, ~t':~, ~t'~). Detto v il versore n o r m a l e a ~'~
ed ~r la proiezione (ortogonale) su ~'~ d e l F a s s e ~'~, le direzioni ~t'r~ , ~ , v sono e o m p l a n a r i p e r eui
~ ' d2' ~ , d~' ~ ]/-~ 3~' 1 d~
(40
3~t'~ -- d~, e ° s ~ * ~ t ~ b ~ - e o s v ~ t ' , ~ - - _ ~ 3 ~ + V~ d~ "0 v v i a m e n t e , per /1 tt' = 0
d~' 1 ~ '
v(% d e - -
1~ d e r i v a t a n o r m a l e di ~'(:¢, ~') sia rispetto ~ ~'~ ehe rispetto a l l ' i p e r p i a n o ~'~
r a p p r e s e n t a t o da (37) nello apazio euclideo S'~s dove p e n s i a m o variabile la coppia di omografie (a, ~t').
Detta ~'(:¢, ~t') la f u n z i o n e s u b o r d i n a t a da ~'(a, ~ ' ) s u ¢~'~, da (40), (37) e (41) seguono le relazioni
(t2)
I vY
I ~ ' ~ d~' 1 ~(~, ~')
= 1/3
+(r=~=s ; r, m, s = l, 2, 3)
(aT) D u n q u e (39) ~ l ' a n a l o g o di (32)3 p e r ~t'. V o l e n d o anche 1' a n a l o g o di (32)i p e r ~', si o s s e r v i che p e r (38}1
~ -- ~ ' + ~ ~ ' xpip ~Ckp" ~ _ y 0 ~ ' a) ~xr, m Ox~, ra ik O~'ik p ~ ' ~. k ~'ik Ckp
~p
onde le e g u a g l i a n z e (32)1,~ implicarlo
~ ' ~ ' ~,
b) Xrm - - ~ X r , -~- E (t)1rmik e E ~ - -
m i k ~ W i k ' ~ T
o r e [essendo p e r (3~)i
E ~;.p ~Ckp / ~xr, m --~ Y, ~'i~ D - J x l , p (- D~ C~p Ckm) ~ - - D 2 ~ ' i r Ckm ] si ~ posto
P pl
- - - - ~ ", ¢Orm~p C k p - - D - - ~ P i r C k m . o)rrm~k ~-- ~ O)rmip Ckla flip ~Xr~ m p
Si pub r i c o n o s e e r e t h e 1' a n a l o g o di (31) p e r ¢¢ e ~
i k
184 A. :B~ssA~: Sui sistc~d (~;o~,t'i~vtd net ca~o asimmetrico
che preeisano come sutle singole d e r i v a t e del p r o l u n g a m e n t o 2'(~, ~ del.
t ' e n e r g i a libera (relativa ad ~ e I') influisca l'arbitrariet~t della 2'(~, ~') stessa fuori di o'~7.
Da (41) e (42)~ segue
(43) ,.~ d~' ~ G o
d ~
P u b essere utile riferire la considerata, sollecitazione i n t e r n a alle s e g u e n t i diciasette coordinate lagra~giane universali libere : le x~,m, ~',.~(r=~: l) e due q u a l u n q u e delle ~ . Q~este ul4ime F, ossono e s p r i m e r s i p e r le V'~ m e d i a n t e le eguaglianze
(44)
-le quali i m p l i c a n o ~x + ~2 + ~a = 0 anehe p er Id¢ 4= O.
Nora p e r es. la funzione ~'(xr, m !~'~8 I ~ , ~ ) (r :4: s), m e d i a n t e (42) e (43) si risale alle ~2'/~cx~,m e 32'/~cF'~s , indi alte +~ e K~m m e d i a n t e le relazioni (39) e 1' analogo di (39) p e r gli sforzi [nora (37)b].
N a t u r a l m e n t e , u s a n d o 2'(% ~t') in luogo di 2(a, V), in base a (39) l'espres- sione (33) del valore xv di x c o r r i s p o n d e n t e ad u n a sollecitazione l a v o r a n t e pura, si s e m p l i f i c a nella
i 3~'
(45) ~p = - - ~ ~, 3~'~ r
e c o n s e g u e n t e m e n t e ta condizione sulIa funzione energia libera, affineh6 u n a tale sollecitazione sia data da (I9) e (20)1 per z - - 0 , si s e m p l i f i c a nella sole- noidalith di ~'(a, ~t'), p e n s a t a come funzione del vettore ~'11, V'22, ~ 8 .
A n c h e se 2'(~, ~) non 6 solenoidale nel detto senso, tale 6 - - tenuto conto ehe su ~ si ha I ~ ' = 0 - - la funzione
1 a~'
(46) ~'p(~, ~') = 2'(~, V') -- 8 (ld~') ~,. ~ , - - •
D u n q u e si pub s e m p r e scegliere 2'(~, p,'} in modo [~'---~'P] che (321~
i m p l i c h i che su a (ossia p e r I~ll'--01 valga F e g u a g l i a n z a
(47) - - 3x = E ~ r = I1.~.
A. BRESSAN: Sui sistemi e o ~ t i ~ i nel vase asimmetrico 185 6 . - Sul p a r a m e t r o z. P o s s i b i l i t h di e l i m i n a r l o e o m p l e t a m e n t e dalle p r e c e d e n t i relazioni solleeitazione i n t e r n a - deformazione.
Si ~ detto, in sostanza, che al considerate sistema materiale S a trasfor.
mazioni reversibili ed esente da vincoli interni (~s) si pub a s s o c i a t e (in rela- zione alla configurazione C* di riferimento) una ft~nzione regolare 2(a, ~t, T~ ~q) - - energia libera - - la quale per (a, ~) su ~ ~ d e t e r m i n a t a a meno di una funzione lineare delia t e m p e r a t u r a e verifica n e c e s s a r i a m e n t e le relazioni (32) in c o r r i s p o u d e n z a ad un o p p o r t u u o valore del p a r a m e t r o z. T e n u r e conto
F
di (47) conviene indicare con IC, T,~ insieme dei valori fisicamente possibil i per I ~ in corrispondenza a l t ' e l e m e n t o ~ di S, alla t e m p e r a t u r a T e alia configurazione C. P u b darsi che in relazione a S si s a p p i a n d e t e r m i n a r e o p p o r t u n i p a r a m e t r i fisici p indipendenti fra lore, da T, C e dalIa sollecita- zione i n t e r n a e inoltre c o n c o r r e n t i (assieme alla t e m p e r a t u r a T e, se si vuole, anche alla configurazione C) a d e t e r m i n a r e lo state i n t e r n e d e ] F e l e m e n t o di S ed e v e n t u a l m e n t e , in forma lagrangiana, il sue state c i n e t i c o ; pub darsi che tramite questi p a r a m e t r i si sappia e s p r i m e r e z mediante u n ' e q u a z i o n e costitutiva, del tipo
(48~ = ~(c, T, p, ~).
In conformith~ col principio di determinismo per lo stress (~9), fissati T , p ed ~, z(C, z, p, ~) non varia per variazioni di C che non interessino aleun sia p u r piccolo i n t e r n e di ~. P e r b z p o t r e b b e d i p e n d e r e da C tramite non solo a e ~t, mn anche 'tramite tutte le d e r i v a t e seconde ~x?'/$yt~y m. Come si gi~ accennato, non si pub n e m m e n o e s c l u d e r e a priori che • d i p e n d a dai suddetti p a r a m e t r i p, alcuni dei quali p o t r e b b e r o caratterizzare la velocith di deformazione d e l l ' e l e m e n t o ~. D u n q u e ~ chiaro che nel c a s e considerate [in cut cio~ si sappia d e t e r m i n a r e l ' e q u a z i o n e (costitutiva) (48)] t ' i n s i e m e I~,T,.~
pub essere un interwollo anche illimitato.
Restu il case in cut i suddetti p a r a m e t r i p non si sappian d e t e r m i n a r e e z risulti f i s i c a m e n t e non d e t e r m i n a t e da C, T e d ~. In tal ease (47) sugge-
(~s) S i i n t e n d e c h e tali s i s t e m i s i a n o e s e n t i d a f e n o m e n i e r e d i t a r i .
(sv) I1 p r i n c i p i o di d e t e r m i n i s m o dello s t r e s s ~ e n u n c i a t e i n [6] p. 209 r i f e r o n d o s i ui s i s t e m i e r e d l t a r i n e l c a s e s i m m e i r i c o . S e c o n d o q u e s t o e n u n c i a t % n e l c a s e di s i s i e m i n o n ereditari~ f r a l ' a l t r o , ] o s , t r e s s a I t ' i s t a n t e ~ i n s e n o ad u n e l e m e n t o m a t e r i a l e -,~ d i p e n d e d a l l o s t a t e fisico a l F i s t a n t e ~, di a n i n t e r n e m a t e r i a l e d l ~ c o m u n q u e p i c c o l o ; lo s t a t e di p a r t i d i s t a n t i d a ~ n o n i n f l u e n z a d i r e t t a m e n t e il d e t t o s t r e s s ; cib b i m p l i c i t o n e l c o n c e r t o d i f o r z a di c o n t a t t o .
N e l c a s e a s i m m e t r i o o t a l i a f f e r m a z i o n i ~ m i s e m b r a , n o n p o s s o n o r i g u a r d a r e lo s t r e s s t o t a l e [a c a u s a d e l t ' e q u a z i o ~ e i n d e f i a i t a (t) t r a c l u c e n t e q u e l l a c a r d i n a l e d e i m o m o n t i ] m a solo l a s u a p a r t e s i m m e t r i c a .
A n n a l i di M a t e m a t i c o
186 A . BRESSAN: ~t~ sistemi co.ntb~ui nel case asimmetrico
risce di a s s u m e r e proprio Ix~ come parame~ro d e t e r m i n a n t e x. Possiamo d u n q u e a m m e t t e r e che (48) valga in ogni case purchi~ si pensi che i para- metri p caratterizzino proprieth fisiche i n t e r n e e proprieti~ c i n e m a t i c h e d e w elemento r}, oppure che tall p a r a m e t r i si r i d u c a n o ad un unico p~----I~.
~ i propongo era di m o s t r a r e che in ogni case si pub f o r m a l m e n t e elimi- n a r e il p a r a m e t r o "c d~lle relazioni g e n e r a l i (32) fra sollecitazione i n t e r n a e deformazioni [mi riferisco in particolare alla presenza di ~ in (32)~].
A tale scope passe da ~(~, ~, T, ~) a ~'(ot, t~', T, ~) m e d i a n t e (38)~, indi pongo
(49) J'(a, ~', T, C, p, ~)--~'(~, ~', T, ~)-~ (I~')z(C, T, p, ~)
eve c¢, t~ e C vanno considerate come variabili indipendenti. Da (49) e (39) segue
(50) q~' -- ~t'~ ~J' per 1 ~ ' -~-- 0.
S t a n t e l'equa~ione (37) di ~'~r, fissati c o m u n q u e T, C, p ed ~, per (49) le funzioni J'(a, ~', T, C, p, ~) e ~'(~, ~', T, ~) subordinano su ~'~r la stessa funzione ~'(:t, ~', T~ ~). Inoltre, per (41) e {49}, la derivata n o r m a l e di J~ rela- tiva a ~'ar soddisfa la condizione
dJ' 1 ~J' d2'
= z _ + V3 (c, T,
dv ¥;J r dv
che lega il paramelro • compelente al prolungamento ~'(~, ~', T, ~) della
~'(~, ~', T), alle derivate normali di ~'(~, F', T, ~) e del prolungamento privile.
giato J'(:¢, ~t', T, ~) verificanle t50).
Passe era m e d i a n t c (38 h da J'(~, F', T, C, p, ~) alla funzione J(zt, F, T, C, p, ~).
Questa ~ u n p r o l u n g a m e n t o privilegiato di ~(:¢, F, T, ~) in quanto p e r (50) e (39) le condizioni (32 h valgono p e r 2--= J e x ~ 0. D' altro canto il tensore
~ , a d a t e . da (32)~ dipende solo dai valori di J(~, ~t', T, C, p, ~) per (a, ~t) su ~ (~0). Inoltre, per cose sopra dette, questi valori sono quelli della fanzione
(~0) P e n s i a m o l' o m o g r a f i a y~.,~ c o m e d e f i n i t a d a (32)~ e v e ~ = @(~, ~t) ~ u n a q u a l u n q u o f u n z i o n e r e g o l a r e d i a e ~ (cib s a r h u t i l e i n s e g u i t o ) , i l l o r a zr,, d i p e n d o d a @(a, ~) t r a m i t e ]e s u e d e r i v a t e s u ¢~. Q u e s t o d i p e n d o n o d a i -¢alori d i @ (~, ~) f u o r i d i ~ solo t r a m i t e l a d e f t - r a t a n o r m a l o d~/dv s u v. V a r i a r e l a ~(¢¢, ~) f u o r i d i v, e d i n p a r t i c o l a r e v a r i a r e l a d ~ / d v s u ~ e q u i v a l e a d a g g i u n g e r o a l l a ~(~, ~) u n a f u n z i o n e g0(~, ~) n u l l a s u ~, c o s i c c h ~ il s u e g r a d i e n t e (~g0/~x~, , , ~ 0 / ~ , ' , ~ ) r i s p e t t o a l p u n t o (% ~) b, p_arallelo a l l a n o r m a l e a ~. I n b a s e a (18), a t a l e f u n z i o n e ~0(~, ~t) si p u b a s s o c i a t e u n n u m e r o p p e r c u t
A. BRESSAN: ~Ui sisten~/i eontiw, ei nel case asira~netrieo 187
~(% ~t, T, ~). Q a i n d i a n c h e (32)~ vale p e r ~ - ~ J. I n f i n e p e r (49) ]a v a l i d i t ~ di (32)a p e r (a, ~) su ~ ( [ ~ ' = 0) 6 ovvia.
C o n c l u d e c h e nel ease generale esiste u n prolungamento privilegiato
~(% p., T, C, p, ~) dell' energia libera ~to~, ~, T, C, p, ~) del considerate sistema S, nel sense ehe le eo~,dizioni (32) valgono per ,~ =---- -~ (~, ~, T, C, p, ~) e z -=- 0 ; tale prolungamento pub dipendere anehe dalla eonfigurazione C e dai eonsi- derail p a r a m e t r i p, i quali eoncorrono assieme a T a delerminare gli stall interne e einematieo di S oppure si riducono a p~----Ix,~.
Si c o n s i d e r i e r a il case che l ' i n V a r i a n t e l i n e a r e I~qb dei m o m e n t i i n t e r n i i n e r e n t i a l l ' e l e m e n t o ~ c o n s i d e r a t e a l l a t e m p e r a t u r a T, d i p e n d a da C solo t r a m i t e :¢ e iz e m a g a r i n e m m e n o d i p e n d a dai p a r a m e t r i p. Allora, i n eorri- s p o n d e n z a ad ~ e T il c o n s i d e r a t e p r o l u n g a m e n t o p r i v i l e g i a t o si r i d u c e a d u n a f u n z i o n e delle sole v a r i a b i l i ~, p., T e p, o m a g a r i delle sole ~¢, t~ e T.
7. - C o n f r o n t o di s i s t e m i m a t e r i a l i a e g u a l l a v o r o i n t e r n e .
S - sia u n s i s t e m a m a t e r i a l e dello stesso ripe di S e a questo r i f e r i t o b i u n i v o c a m e n t e , e l e m e n t o p e r e l e m e n t o ( ~ - < - ~ . ~). A l l o r a ogni c o n f i g u r a z i o n e C di S d e t e r m i n a ( m a t e m a t i e a m e n t e ) la c o n f i g u r a z i o n e c o r r i s p o n d e n t e C - di S - , p e r cui p o r z i o n i e o r r i s p o n d e n t i di S e S - o c c u p a n o Ia s t e s s a r e g i o n e . D E F . - Dirb che i co~,siderati sistemi S ed S - s o n o a egual lavoro interne alla temperatura T (rispetto alla corrispondenza ~ - < > ~) se sono eguali i lavori f a t t i dalle forze interne in spostamenti corrispondenti q~alsiasi di due lore porzioni corrispondenli qualunque, alla temperatura uniforme T (T ~ T).
S ed S - siano ad e g u a l lavoro i n t e r n e a l l a t e m p e r a t u r a T e sian eorri- s p o n d e n t i le l o r e e o n f i g u r a z i o n i di r i f e r i m e n t o . L a f u n z i o n e ~(a, ~, T, C , p - , ~) r a p p r e s e n t i a m e n o d e l l a c o r r i s p o n d e n z a ~ - ~ - > ~ il p r o l u n g a m e n t o privile.
giato In. 6] d e l l ' e n e r g i a l i b e r a ~(~, ~, T, ~) di S - . Allora, e s s e n d o S ed S - ad e g u a l l a v o r o i n t e r n e p e r T ~ T, esiste u n a f u n z i o n e z - - z(~, ~, T, 0,/9, p - , ~) p e r eui le r e l a z i o n i (32) v a l g o n o p e r T--~ f" e in c o r r i s p o n d e n z a a d S.
C o n v e n g o che p o n e n d o u n s e g n o i n alto e a d e s t r a d e l l ' e s p r e s s i o n e
Detto ~%,~ ci5 the diviene z ~ facendo in {3"2)i ~ 0 , per (32}i e (31) si ha allora Dunque z~m non muta alterando ~(:¢, ~t) fuori di v.
Per il legame (38) fra ~(c¢~ ~) e ~'(:¢, ~') la precedente alterazione equivale a quella di
~'(¢¢, ~') fuori di ~i7- Danque ~,,n [date dalla formula b) considerata nella nora (B7)] non dipende dai valori di ~'(z~ ~') fuori di ~i~.
A.vverto the la trasformazione (36) fra (z, ~t) e (a, ~') non muta in generale la normale v a ¢~ nella normalev r a o'- cfr. la nora (61) al n. 10-,
188 A. BRESSAN: S u i sistemi continui nel oaso a~immetrivo
di u u a g r a n d e z z a G r i f e r e n t e s i ad S si o t t e n g a l ' e s p r e s s i o n e d e l l a c o r r i s p o n - d e n t e G - p e r S - .
0 v v i a m e n t e le c o n d i z i o n i (32)~,2 v a l g o n o p e r z m ~ x ~ , ~ m ~ k~m e z - - 0 (*z}.
P e r il m o d o i n c u i l e c o n d i z i o n i (32h,2 si a p p l i c a n o a d S ed S - p e r T ~ T, si h a
P e r e s p l i e i t a r e le e q u a z i o n i i n d e f i n i t e e al c o n t o r n o p o n g o
(54)
r ls
A l l o r a (1)s, (1)~ e (2 h d i v e n g o n o (~) r i s p e t t i v a m e n t e
~x~ ~ r o t M - - ~ 3xh '
157) ~ N - - Z ~ , 57, + N A Z
8
U s a n d o l ' i n d i c e ~ in alto a d e s t r a p e r d e n o t a r e la d i f f e r e n z a f r a g r a n - d e z z e c o r r i s p o n d e n t i di S - ed S c o m e p e r es. in (53), in b a s e a (53),..., (57) e a ~2)2 si h a
(58) ~ ---- "~e~ , ~ ~ - - 0 , O ~ - - -~ q)~ ~ - - , 6 ( M - g r a d ' : ) A e ~ .1 (in C),
(59) F - - - F + 2 r o t ( M - - - M) --- 0 1 (in C),
1( )
(60) eP~v--- ~ g r a d z + M - - - M / ~ N = f - - - f , z N = m - - - m (su E ) .
(4~) l~etta precedente convenzione Fuse del segno meno ~ state suggerito appunto dalla validiih di (39) per ~ ~-x-- e ~. ~ ~.--, ctopo avervi folio iI termine in z.
(42) Si ricordi che rot v ~ Z ~ s ~'s (%/~v). 1N-el presente lavoro conviene usare, per es., la forma vettoriale definitiva (56) delle equazioni indefinite dei continui nel easo asimme- trieo, piuttosto dl una tensoriale - p e r es. vedi [7] (205.17) p. 54=8-,
