Indice. 1 Introduzione: i sistemi vibranti Sistemi vibranti lineari ad 1 grado di libertà... 5

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SISTEMI VIBRANTI

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Indice

1 Introduzione: i sistemi vibranti... 3

2 Sistemi vibranti lineari ad 1 grado di libertà... 5

2.1 Sistema non smorzato e non forzato... 6

2.2 Sistema smorzato non forzato... 9

2.2.1 Smorzamento adimensionale <1 ... 10

2.2.2 Smorzamento adimensionale =1 ... 11

2.2.3 Smorzamento adimensionale >1 ... 11

2.2.4 Riepilogo ... 11

2.3 Sistema forzato ... 14

2.3.1 Forzante statica... 14

2.3.2 Forzante armonica ... 16

2.4 Funzione di trasferimento armonica ... 20

2.4.1 Approfondimento ... 25

3 Sistemi non lineari ad 1 gdl ... 28

3.1 Equazione di moto di un sistema non lineare ... 29

3.1.1 Scrittura dell’energia cinetica... 30

3.1.2 Scrittura della funzione di dissipazione... 32

3.1.3 Scrittura dell’energia potenziale... 33

3.1.4 Scrittura dell’equazione di moto ... 34

3.2 Linearizzazione dell’equazione non lineare di moto... 35

3.2.1 Ricerca della posizione di equilibrio statico... 36

3.2.2 Linearizzazione dell’equazione di moto... 36

3.3 Analisi della stabilità nell’intorno dell’equilibrio statico ... 37

3.3.1 Caso generale ... 38

3.3.2 Sistema linearizzato nell’intorno di θ=0 ... 39

3.3.3 Sistema linearizzato nell’intorno di θ=π ... 40

3.4 Limite di validità dell’equazione linearizzata ... 40

4 Sistemi lineari a 2-n gradi di libertà ... 42

4.1 Scrittura dell’equazione di moto ... 42

4.2 Moto libero non smorzato ... 45

4.2.1 Frequenze proprie e modi di vibrare ... 45

4.2.2 Soluzione analitica del moto libero non smorzato... 49

4.3 Moto libero smorzato... 51

4.4 Sistema forzato ... 51

4.4.1 Forzamento statico ... 52

4.4.2 Forzamento armonico... 53

4.4.3 Matrice delle funzioni di trasferimento armoniche ... 57

4.5 Sistemi a n-gdl ... 58

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0BIntroduzione: i sistemi vibranti

1 Introduzione: i sistemi vibranti

Nella tecnica si presentano diversi problemi nei quali non è possibile trascurare la deformabilità dei corpi; in alcuni casi la deformabilità viene introdotta intenzionalmente inserendo nel sistema meccanico delle cedevolezze, caratterizzate da una rigidezza nota con differenti finalità.

La sospensione (Figura 1.1a) costituisce un elemento cedevole tra la cassa di un veicolo (detta appunto massa sospesa) e le ruote (che insieme a agli elementi della sospensione costituiscono le masse non sospese) impiegato per isolare la cassa dalle vibrazioni trasmesse dalle irregolarità stradali o anche per consentire alla ruota di variare la sua posizione rispetto alla cassa e mantenere un’impronta a terra ottimale ad esempio nelle fasi di appoggio in curva.

(a) (b)

Figura 1.1: sospensione per autovettura da competizione (a), movimentazione di una valvola a fungo attraverso una camma (b).

Nel dispositivo di Figura 1.1b, viene introdotta una molla precaricata per consentire alla valvola di seguire il profilo dalla camma, realizzando quindi la legge di alzata desiderata, e per evitare che la valvola stessa si distacchi dalla camma durante la fase di risalita..

Pensando ancora ad applicazioni veicolistiche, il motore di un autoveicolo viene montato su supporti elastici (tasselli in elastomero) in modo da filtrare le vibrazioni del motore indotte dalle forze d’inerzia variabili che nascono sugli organi in moto alternativo, in modo che vengano trasmesse solo in modo attenuato al telaio del veicolo stesso.

(a) (b)

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0BIntroduzione: i sistemi vibranti

Un aspetto caratteristico dell’ambito ferroviario è dato dall’impiego dei respingenti (Figura 1.2a): questi dispositivi vengono montati tra due vagoni contigui sia per mantenere le distanze che per assorbire eventuali urti tra gli stessi: di fatto una molla, reagendo in modo proporzionale alla sua deformazione, consente uno scambio di forze molto più graduale rispetto a quanto avviene nel caso di un impatto. Sempre in ambito ferroviario, il trasferimento di potenza elettrica dalla linea aerea al veicolo avviene tramite uno strisciante (in rame o in carbonio) montato sopra un dispositivo denominato pantografo (Figura 1.2b); il pantografo è dotato di un elemento di richiamo elastico pre-caricato che consente di premere lo strisciante contro la linea aerea per evitarne il distacco.

Accanto alle cedevolezze “volute”, i sistemi meccanici presentano anche cedevolezze legate all’elasticità dei materiali impiegati; nel caso di Figura 1.3 ad esempio, l’albero di trasmissione che collega il cambio al differenziale potrebbe torcersi per effetto della coppia trasmessa e quindi comportarsi come una molla torsionale di rigidezza kt (stimabile a partire dalla geometria della sezione, dalla lunghezza dell’albero e dalle caratteristiche del materiale) e non come corpo rigido. Tornando al caso dell’interazione tra pantografo e linea aerea, quest’ultima presenta una cedevolezza non trascurabile sotto effetto delle forze scambiate con lo strisciante; in particolare la rigidezza verticale della linea è massima in corrispondenza di un palo di sospensione e minima invece a centro campata.

Analogamente le forze che un telaio di un veicolo scambia attraverso le sospensioni possono indurre deformazioni elastiche di torsione non trascurabili; gli stessi braccetti delle sospensioni possono flettersi per effetto dei carichi esterni, divenendo così delle molle in serie rispetto alle molle vere e proprie delle sospensioni.

Cambio

Ponte

L L k_t =GJ^p

Figura 1.3: deformabilità di un albero di trasmissione (b).

Nel momento in cui si introduce una capacità di richiamo elastico in un sistema dotato di inerzia, la risposta del sistema stesso viene caratterizzata da vibrazioni; in una vibrazione il sistema continua a trasformare l’energia potenziale accumulata negli elementi elastici (per compressione o estensione) in energia cinetica e viceversa. L’applicazione di forze o coppie sul sistema vibrante comporta l’innesco di transitori in cui il sistema risponde con moti oscillatori definiti da frequenze caratteristiche del sistema stesso, dette frequenze proprie.

L’applicazione di forzanti periodiche su sistemi vibranti può produrre sollecitazioni molto gravose su un sistema meccanico qualora la frequenza della forzante (o una delle frequenze che compongono la forzante, se scomponibile in serie di Fourier) coincida con una delle frequenze proprie del sistema.

Nei capitoli seguenti verranno mostrati dei modelli per schematizzare e descrivere il moto di sistemi vibranti ad uno o più gradi di libertà.

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Capitolo 2: 1BSistemi vibranti lineari ad 1 grado di libertà

2 Sistemi vibranti lineari ad 1 grado di libertà

La Figura 2.1 riporta la schematizzazione più semplice di un sistema vibrante ad un grado di libertà (gdl); il sistema è dotato dei due elementi caratteristici di un sistema vibrante:

un’inerzia, rappresentata dalla massa m del carrello e una forza di richiamo, fornita dalla molla di caratteristica k. L’unica possibilità di movimento del carrello è la traslazione sull’asse orizzontale, pertanto la coordinata x mostrata in figura costituisce il grado di libertà del sistema.

m

F(t) k

r

x

Figura 2.1: Sistema vibrante lineare ad 1 gdl.

Sempre riferendosi alla Figura 2.1 si osserva come il carrello sia collegato alla parete verticale anche tramite un elemento dissipativo, uno smorzatore viscoso di costante caratteristica r; sul carrello è inoltre applicata una forza genericamente dipendente dal tempo F(t).

L’equazione di moto del sistema può essere ottenuta facilmente ricorrendo agli equilibri dinamici; isolando la massa m e mettendo in evidenza le forze agenti sulla stessa includendo la forza d’inerzia si ottiene la situazione mostrata in Figura 2.2.

kx m x r&

x

m && F(t)

Figura 2.2: Forze agenti sulla massa m in direzione orizzontale.

Si ricorda che la forza esercitata dalla molla è proporzionale alla sua deformazione x mentre quella dello smorzatore viscoso risulta proporzionale alla velocità di deformazione attraverso la costante caratteristica r; lo spostamento del carrello è assunto positivo verso destra (Figura 2.1) e quindi la molla esercita una forza di richiamo kx diretta in direzione opposta.

Analogamente lo smorzatore viscoso agisce in direzione opposta rispetto al verso positivo della velocità.

Scrivendo l’equilibrio dinamico in direzione orizzontale si deriva l’equazione di moto (1.1):

( )

t F kx x r x

m&&+ &+ = (2.1)

La (2.1) rappresenta l’equazione di moto di un sistema vibrante lineare a coefficienti costanti ad 1 gdl forzato con una forzante dipendente dal tempo; analizziamo nel seguito la soluzione dell’equazione in alcuni casi particolari.

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2.1 Sistema non smorzato e non forzato

Eliminando il forzamento dipendente dal tempo ed eliminando lo smorzatore viscoso¹ si ottiene l’equazione (2.2):

=0 + kx x

m && (2.2)

Si tratta di un’equazione di moto libero (ossia non forzato) e non smorzato; il sistema descritto dall’equazione 1.2 è un sistema conservativo. Cerchiamo ora di risolvere l’equazione di moto in forma chiusa; la soluzione dell’equazione (2.2) è del tipo:

∈

=Ae^λ; A,λ

x ^t C (2.3)

Assumendo quindi una soluzione nella forma della (2.3) e sostituendola nell’equazione di moto (2.2) si ha:

( )

⁰

;

0 ²

2Ae ^t+kAe ^t = ⇒ m +k Ae ^t =

mλ ^λ ^λ λ ^λ (2.4)

La (2.4) può essere soddisfatta solo dalla soluzione banale A=0, oppure dall’annullamento del termine tra parentesi (l’esponenziale ovviamente non può annullarsi); seguendo questa seconda ipotesi si ottiene:

0 2

, 1 2

2 0; λ ; λ ω

λ i

m i k m

k k

m + = ⇒ =− ⇒ =± ==± (2.5)

Il parametro λ può dunque assumere due valori complessi coniugati±iω₀. Avendo ottenuto due valori di λ ammissibili, la soluzione dell’equazione di moto (2.2) diviene:

( )

t Aeⁱ ^t Ae ⁱ ^t

x = ₁ ^ω⁰ + ₂ ⁻^ω⁰ (2.6)

Dato che x(t) è una quantità reale, anche il secondo membro della (2.6) deve essere un numero reale; questo è possibile solo se le costanti A₁e A₂ sono complesse coniugate ovvero se:

ib a A ib a

A₁= + ; ₂ = − (2.7)

Infatti, utilizzando la formula di Eulero e sostituendo la (2.7) nella (2.6) si ottiene:

( ) ( )( ) ( ) ( ( ) ( ) )

( )( ) ( )( )

( ) ( )

t b

t a

b ia b ia t ib

a ib a t

t i t ib

a t i t ib

a

t i

t ib

a t i t ib

a t x

0 0

sin 2 cos 2

sin cos

ω ω

⋅

−

⋅

=

−

⋅ +

− + +

⋅

=

−

− + +

+

=

− +

−

− + +

+

=

(2.8)

1 Nei sistemi reali è sempre presente un meccanismo di dissipazione di energia; anche in assenza di un componente espressamente introdotto per dissipare energia, come un ammortizzatore vero e proprio, attriti interni e non idealità dei vincoli (ad esempio: le rotelle del carrello presentano resistenza al rotolamento e attrito nei cuscinetti) portano sempre a sistemi non conservativi.

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In altri termini la soluzione dell’equazione di moto libero non smorzato (2.2) risulta essere del tipo:

( )

^t ^A ^t ^B ^t

x = cosω₀ + sinω₀ (2.9)

La (2.9) può essere riscritta nella forma equivalente (2.10):

( )

^t ⁼^C

(

^ω^t⁺^ϕ

)

x cos ₀ (2.10)

Dove:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=

+

=

A B B A C

arctan

2 2

ϕ ^(2.11)

La soluzione dell’equazione di moto di un sistema ad 1 gdl non smorzato e non forzato è dunque quella di un moto armonico di pulsazione ω0, caratterizzato da due costanti (rispettivamente A e B oppure C e ϕ per le due formulazioni) che si possono ottenere dalle condizioni iniziali.

La quantità ω₀ = k m [rad/s] viene definita come pulsazione propria del sistema non smorzato, mentre f₀ =ω₀ 2π [Hz] rappresenta la frequenza propria dello stesso. I due termini contengono esattamente la stessa informazione (di fatto sono spesso utilizzati in modo equivalente nella pratica), ovvero la rapidità con la quale si compiono le oscillazioni del sistema libero. Il termine “propria” deriva dal fatto che è una proprietà del sistema, indipendente dal tipo di forzamento applicato.

Considerata la definizione di ω_0, la frequenza dell’oscillazione crescerà se il rapporto tra la capacità di richiamo elastico e l’inerzia del sistema sale; in altri termini abbinare molle ad elevata rigidezza con inerzie contenute porta in genere ad ottenere frequenze di oscillazione elevate. Viceversa, impiegando molle lasche abbinate ad inerzie importanti, si ottengono frequenze di oscillazione basse.

Esempio: supponiamo di allontanare il carrello di Figura 2.1 dalla posizione di molla indeformata e di mantenerlo fermo in una posizione spostata verso destra di una quantità x0, come mostrato in Figura 2.3.

k

x0

Figura 2.3: sistema lineare non smorzato non forzato con spostamento iniziale x0

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elastico). È possibile utilizzare l’equazione (2.9) per descrivere il moto del sistema una volta che la forza esterna è stata rilasciata.

Le condizioni iniziali del moto sono:

( ) ( )

⎩⎨

⎧

=

= 0 0

0 ₀

x x x

& (2.12)

Con queste è possibile ottenere le costanti A e B della (2.9):

⎩⎨

⎧

= +

−

=

= +

=

B B

A

A B

A x

0 cos 0

sin 0

0 sin 0

cos

0 0

0

ω

ω ^(2.13)

L’andamento della coordinata libera del sistema (grado di libertà x) in funzione del tempo è quindi espresso dalla seguente relazione:

( )

t x t

x = ₀cosω₀ (2.14)

La Figura 2.4 mostra l’andamento nel tempo della posizione della massa m con i dati riportati nella didascalia:

Figura 2.4: risposta nel tempo del sistema non smorzato e non forzato: m=1 kg, k=100 N/m, x₀=0.1 m,

x&0=0 m/s.

la posizione iniziale coincide ovviamente con x₀ e la pendenza della curva è nulla nell’istante iniziale, ovvero nella posizione iniziale la massa ha velocità nulla. Il moto della massa è armonico nell’intorno della posizione di zero con un periodo T pari a:

0

2 ω

= π

T (2.15)

Il periodo è inversamente proporzionale alla pulsazione propria del sistema non smorzato.

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L’ampiezza dell’oscillazione risulta costante, come atteso dato che il sistema è conservativo.

Di fatto nel moto armonico si realizza una continua trasformazione da energia potenziale a cinetica e viceversa: negli istanti in cui lo spostamento raggiunge il massimo (in valore assoluto) l’energia potenziale immagazzinata dalla molla è massima; negli stessi istanti la velocità è nulla (tangente orizzontale) così come l’energia cinetica. Negli istanti di spostamento pari a zero la velocità è invece massima (in modulo): l’energia potenziale è nulla (la molla è indeformata e quindi non ha immagazzinato energia) mentre l’energia cinetica risulta massima.

2.2 Sistema smorzato non forzato

Se si considera la presenza di uno smorzatore viscoso, l’equazione (2.2) cambia come mostrato nel seguito:

=0 + +rx kx x

m&& & (2.16)

Lo smorzatore viscoso costituisce un elemento di dissipazione di energia; il sistema pertanto cessa di essere conservativo. Anche in questo caso la soluzione della (2.16) è del tipo

∈

=Ae^λ; A,λ

x ^t C (2.17)

Quindi, sostituendo nell’equazione di moto si ottiene:

( )

⁰

;

0 ²

2Ae ^t + rAe ^t +kAe ^t = ⇒ m +r +k Ae ^t =

mλ ^λ λ ^λ ^λ λ λ ^λ (2.18)

Cercando soluzioni non banali all’equazione (1.18) si può annullare il termine tra parentesi tonde e quindi risolvere l’equazione di secondo grado in λ.

0

;

0 ²

2+ + = ⇒ + + =

m k m k r

r

mλ λ λ λ (2.19)

Ponendo a=r 2m e ricordando che abbiamo definito ω₀ = k m, la (2.19) si può riscrivere come:

0

2 ₀²

2+ λ+ω =

λ a (2.20)

Si ottengono quindi le radici dell’equazione:

2 0 2 2

,

1 ω

λ =−a± a − (2.21)

Il tipo di radici dipende dal segno del radicando; in particolare se il radicando risulta minore di zero si hanno due radici complesse coniugate con parte reale negativa. Se il radicando risulta uguale a zero si hanno due radici reali negative coincidenti, mentre se il radicando risulta positivo si ottengono due radici reali negative distinte. Prima di analizzare in dettaglio

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Considerando che sia a che ω0 sono quantità sempre positive, il segno del radicando dipenderà solo dal primo termine tra parentesi, quindi:

( )

¹^;

; 2

; 0

0 0

0

0 ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥

−ω ω ω ω

m r m

a r

a (2.23)

La quantità r 2mω₀ è un numero puro e viene denominata smorzamento adimensionale; lo smorzamento dimensionale, nel seguito indicato con h, rappresenta sinteticamente le proprietà smorzanti del sistema nel suo complesso, ovvero consente di valutare il peso della costante di smorzamento rispetto all’inerzia ed alla rigidezza presenti. Il termine 2mω₀ha le dimensioni di una costante di smorzamento [Ns/m] e viene denominato smorzamento critico. Si può esprimere h anche nel seguente modo:

km r m

h r

2 ₀ =2

= ω ^(2.24)

Tornando alla soluzione del sistema libero smorzato, la (2.23) dimostra come il segno del radicando della (2.21) dipenda dal segno dello smorzamento adimensionale h; a questo punto è quindi possibile procedere con un’analisi più dettagliata dei tre casi in cui h sia minore, uguale o maggiore di 1.

2.2.1 Smorzamento adimensionale <1

In questo caso il segno del radicando risulta negativo; le soluzioni della (2.21) sono dunque complesse coniugate con parte reale negativa.

2 2 0 2

,

1 =−a±iω_d; con ω_d = ω −a

λ (2.25)

ωd viene definita come pulsazione propria del sistema smorzato; dalla definizione si nota come la pulsazione propria in presenza di smorzamento sia più bassa rispetto a quella del sistema non smorzato (il sistema compie quindi un’oscillazione completa in un tempo più lungo). Se lo smorzamento adimensionale risulta basso (<20%) è possibile in genere trascurare questa differenza.

La soluzione dell’equazione di moto diviene quindi:

( )

^t Âê⁽ â ⁱ ^d⁾^t Âê⁽ â ⁱ ^d⁾^t ê âtÂêⁱ ^d^t ê âtÂê ⁱ ^d^t ê ât

(

Âêⁱ ^d^t Âê ⁱ ^d^t

)

x = ₁ ⁻ ⁺^ω + ₂ ⁻ ⁻^ω = ⁻ ₁ ^ω + ⁻ ₂ ⁻^ω = ⁻ ₁ ^ω + ₂ ⁻^ω (2.26) Il termine tra parentesi nella (2.26) può essere trattato in modo analogo a quanto fatto per l’equazione (1.6) relativa al sistema non smorzato; si ottiene quindi:

( )

^t ^e

(

^A ^t ^B ^t

)

x = ⁻^at cosω_d + sinω_d (2.27)

La soluzione dell’equazione di moto è quindi quella di un moto oscillatorio con pulsazione ωd

in cui le ampiezze di oscillazione decrescono nel tempo per effetto del termine esponenziale:

dato che il termine a è positivo, l’esponenziale tende a zero per t tendente ad infinito.