Appendice 4: Considerazioni fisiche sulla caratteristica di una giunzione pn
173
Appendice 4:
Considerazioni fisiche sulla dipendenza dalla temperatura della caratteristica di una giunzione
pn
La caratteristica di una giunzione p-n è
exp D 1
D S
T
I I V
η V
⎛ ⎛ ⎞ ⎞
= ⋅⎜⎝ ⎜⎝ ⋅ ⎟⎠− ⎟⎠ (A.4.1)
Dove η è un coefficiente, compreso fra 1 e 2, che tiene conto dei fenomeni di generazione e ricombinazione che avvengono all’interno della zona di svuotamento del dispositivo, e VT =kT q è l’equivalente in tensione della temperatura. I è la corrente S di saturazione inversa della giunzione, ed è dovuta alla generazione termica di coppie elettrone-lacuna all’interno delle zone neutre del semiconduttore e alla successiva diffusione di queste verso la zona di svuotamento dove, a causa del campo elettrico presente, vengono accelerati verso l’altro lato della giunzione. L’espressione completa di I è infatti: S
2 n 1 p 1 2 n 1 n 1
S i i
n p n p
D D D D
I q A n q A n
L NA L ND τ NA τ ND
⎛ ⎞
⎛ ⎞
= ⋅ ⋅ ⎜⎜⎝ ⋅ + ⋅ ⎟⎟⎠= ⋅ ⋅ ⎜⎜⎝ ⋅ + ⋅ ⎟⎟⎠ (A.4.2)
Appendice 4: Considerazioni fisiche sulla caratteristica di una giunzione pn
174 dove
• Ln = Dn nτ è la lunghezza media di diffusione degli elettroni
• Lp = Dp pτ è la lunghezza media di diffusione delle lacune
• 2 2 3 ( * *)3 2 ( )
4 2 exp
i p n g
n kT m m E kT
h
⎛ π ⎞
= ⎜⎝ ⎟⎠ ⋅ ⋅ ⋅ − è il quadrato della
concentrazione dei portatori intrinseci, con h costante di Plack, k costante di Boltzmann, mp* e mn* massa efficace delle lacune e degli elettroni, rispettivamente, e E energia del gap fra banda di conduzione e banda di g valenza
• A è l’area della giunzione
Inoltre, poiché per semiconduttori non degeneri vale la relazione di Einstein
D kT
µ = q (A.4.3)
abbiamo
n n , p p
kT kT
D D
q q
µ µ
= ⋅ = ⋅ (A.4.4)
Per la mobilità degli elettroni vale
1 1 1
n I F
µ = µ + µ (A.4.5)
Appendice 4: Considerazioni fisiche sulla caratteristica di una giunzione pn
175 dove
( ) ( )
2 3 2
15
* *
0
3,29 10
ln 1 1
r I
n
T
ND m m z z
z µ ε
+
= ⋅ ⋅ ⋅
⎡ ⎤
⋅ ⋅⎢⎣ + − + ⎥⎦
(A.4.6)
con
• z=1,3 10⋅ 13εr⋅T2⋅(mn* mn) (⋅ ND+)−1
• µF =1,18 10⋅ −15⋅ ⋅c1 (mn* m0)5 2⋅T−3 2⋅(EAC)−2 , con c e 1 E costanti e pari AC rispettivamente a 1,19 10⋅ 12dyn cm−2 e 9,5eV per il silicio.
Per temperature ;100 K° è valida l’approssimazione 1 1
n F
µ ≅ µ e quindi
3 2 1 2
n T Dn T
µ ∝ − → ∝ − (A.4.7)
e
3 2 1 2
p T Dp T
µ ∝ − → ∝ − (A.4.8)
Supponendo τn e τp, tempi di vita medi degli elettroni e delle lacune, indipendenti dalla temperatura, possiamo scrivere che
( ) ( )
3 1 4 exp 11 4 exp
S g g
I ∝T T⋅ − ⋅ −E kT =T ⋅ −E kT (A.4.9)
Appendice 4: Considerazioni fisiche sulla caratteristica di una giunzione pn
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Sperimentalmente, si osserva che I raddoppia per ogni variazione di temperatura di S 10 C° , ovvero:
( ) ( )1 2(T T1)10
S S
I T =I T ⋅ − (A.4.10)
