VERIFICA DI MATEMATICA – 1^F Liceo Sportivo – impostazione classica rispondere su un foglio protocollo da riconsegnare entro il 29 novembre 2018
NOME E COGNOME _____________________________________________________________
1
Consideriamo in ogni caso
x , y ∈ℚ
. Determinare il valore di verità dei seguenti enunciati:a.
∀ x ∃ y :(x
y=0)
b.∀ x ∃ y :(x+ y=0)
c.
∀ x ∃ y :(x× y=1)
d.∀ x ∃ y :( x
y =0)
2
Per ciascuno di questi enunciati indicare qual è la condizione necessaria e qual è la condizione sufficiente.
a.
p (x )⇒ q( x)
b. Se un triangolo è equilatero allora è anche isoscele c. un numero divisibile per 8 è un numero pari
d.
( x× y =0)⇔(x=0∨ y=0)
essendox , y ∈ℚ
3
Consideriamo l'insieme dei numeri interi e definiamo la seguente relazione: x è in relazione a y se dividendoli per 3 hanno lo stesso resto.Dimostrare che si tratta di una relazione di equivalenza.
4
Consideriamo l'insieme A come l'insieme dei numeri naturali da 1 a 10 e l'insieme B come l'insieme dei numeri naturali da 1 a 20 (gli estremi sono inclusi). Consideriamo inoltre le seguenti funzioni:
a.
f (x )=x
b.f (x )=2 x
c.f (x )=x+2
d.f (x )=x
2Stabilire per ciascuna di queste funzioni se è iniettiva, suriettiva, biunivoca. Se possibile indicare anche la funzione inversa.
5
Consideriamo le funzioni
f ( x)=3 x
2g ( x)=4 x+1
Determinare le espressioni analitiche delle seguenti funzioni composte:
a.
f ∘ g
b.g ∘ f
c.f ∘ f
d.g ∘ g
Valutazione
Obiettivi: rafforzare l'uso del linguaggio formale, prendere confidenza con i ragionamenti deduttivi. Gli argomenti si trovano nel capitolo 3 “insiemi e logica” e nel capitolo 4 “relazioni e funzioni” del libro di testo.
Valutazione delle risposte.
2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara, leggibile, originale.
1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione o priva di originalità.
1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione.
1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore.
1,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste.
1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste.
0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste.
0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto, ottenuta con lavoro e impegno.
0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi, o eccessivamente incompleta, ottenuta con scarso impegno.
0,2 punti: risposta mancante, o insensata o del tutto slegata dal contesto.
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1
Consideriamo in ogni caso
x , y ∈ℚ
. Determinare il valore di verità dei seguenti enunciati:a.
∀ x ∃ y :(x
y=0)
b.∀ x ∃ y :(x+ y=0)
c.
∀ x ∃ y :(x× y=1)
d.∀ x ∃ y :( x
y =0)
a.
∀ x ∃ y :(x
y=0)
In nessun caso una potenza con base diversa da zero mi dà come risultato 0, dunque l'enunciato è falso.
b.
∀ x ∃ y :(x+ y=0)
Ogni numero razionale ha un opposto, la cui definizione è praticamente descritta nell'enunciato: la somma di un numero razionale e del suo opposto è 0. Dunque l'enunciato è vero.
c.
∀ x ∃ y :(x× y=1)
Attenzione! Ogni numero razionale diverso da zero ha un reciproco, ma non il numero razionale zero! Dunque questo enunciato è falso, perché afferma che qualsiasi numero razionale (quindi anche lo zero) ha un reciproco.
d.
∀ x ∃ y :( x
y =0)
Questo enunciato è ovviamente falso, qualsiasi numero diverso da zero io possa immaginare, non riuscirò mai a dividerlo per qualcosa che mi possa dare come risultato zero. Soltanto dividendo lo stesso zero per qualche numero diverso da zero riuscirei a verificare l'uguaglianza, ma l'enunciato pretende che la cosa avvenga per ogni valore di x.
2
Per ciascuno di questi enunciati indicare qual è la condizione necessaria e qual è la condizione sufficiente.
a.
p (x )⇒ q( x)
b. Se un triangolo è equilatero allora è anche isoscele c. un numero divisibile per 8 è un numero pari
d.
( x× y =0)⇔(x=0∨y=0)
essendox , y ∈ℚ
a.p (x )⇒ q( x)
p(x) è condizione sufficiente per q(x); q(x) è condizione necessaria per p(x)
b. Se un triangolo è equilatero allora è anche isoscele
“il triangolo è equilatero” è condizione sufficiente per “il triangolo è isoscele”; “il triangolo è isoscele” è condizione necessaria per “il triangolo è equilatero”
c. un numero divisibile per 8 è un numero pari
“un numero è divisibile per 8” è condizione sufficiente per “è un numero pari”; “il numero è pari” è condizione necessaria per “il numero è divisibile per 8”
d.
( x× y =0)⇔(x=0∨y=0)
essendox , y ∈ℚ
Essendoci la doppia implicazione sono entrambe condizioni necessarie e sufficienti l'una per l'altra.
3
Consideriamo l'insieme dei numeri interi e definiamo la seguente relazione: x è in relazione a y se dividendoli per 3 hanno lo stesso resto.Dimostrare che si tratta di una relazione di equivalenza.
Scriviamo la relazione in forma simbolica x R y ⇔r =r '∧x=3 q+r∧ y=3 q ' +r '
Dobbiamo verificare le tre proprietà delle relazioni di equivalenza: riflessiva, simmetrica, transitiva.
Proprietà riflessiva: x R x ovvio.
Proprietà simmetrica: x R y ⇒ y R x , discende direttamente dal fatto che l'uguglianza tra numeri è una relazione di equivalenza e quindi r =r ' ⇔r ' =r .
Proprietà transitiva: x R y∧ y R z ⇒ x R z , anche questa discende direttamente dal fatto che l'uguglianza tra numeri è una relazione di equivalenza e quindi r =r '∧r '=r ' ' ⇒ r=r ' ' .
Nota bene: qualcuno ha avuto l'idea di descrivere la relazione in questo modo:
x R y ⇔∃n∈ℕ:∣y−x∣=3 n
In effetti non è una cattiva idea, però bisognerebbe anche accompagnarla da una motivazione, ovvero osservare che, eseguendo le divisioni con resto x=3 q+r∧ y=3 q '+r '
e calcolando la differenza x−y =3(q−q ' )+r−r ' da cui r =r ' ⇔∣y−x∣=3 n . Il valore assoluto è necessario perché a priori non so chi è più grande tra x e y.
Ovviamente n=∣q−q '∣ .
Con tale definizione può essere più comodo dimostrare le prime due delle tre proprietà della relazione di equivalenza:
Proprietà riflessiva: x R x ovvio: ∣x−x∣=0=3×0 .
Proprietà simmetrica: x R y ⇒ y R x , ovvio: ∣y−x∣=∣x−y∣=3 n .
Rimanendo affezionati a questa definizione ci complichiamo un po' la vita, cercando di dimostrare la terza proprietà:
Proprietà transitiva: x R y∧ y R z ⇒ x R z , ∣x−z∣=∣x− y+ y−z∣=∣3 n±3 m∣=3 q .
(Con rispetto parlando la penultima uguglianza risulta un po' troppo cervellotica per i ragazzi di
prima.)
4
Consideriamo l'insieme A come l'insieme dei numeri naturali da 1 a 10 e l'insieme B come l'insieme dei numeri naturali da 1 a 20 (gli estremi sono inclusi). Consideriamo inoltre le seguenti funzioni:
a.
f (x )=x
b.f (x )=2 x
c.f (x )=x+2
d.f (x )=x
2Stabilire per ciascuna di queste funzioni se è iniettiva, suriettiva, biunivoca. Se possibile indicare anche la funzione inversa.
a.
f (x )=x
Tale funzione è ovviamente iniettiva, ma non è suriettiva, perché gli elementi di B da 11 a 20 non sono immagini di elementi di A. Quindi non può essere nemmeno biunivoca.
b.
f (x )=2 x
Tale funzione è ovviamente iniettiva ma non è suriettiva, perché gli elementi dispari di B non sono immagini di elementi di A. Quindi non può essere nemmeno biunivoca.
c.
f (x )=x+2
Tale funzione è ovviamente iniettiva ma non è suriettiva, perché gli elementi 1,2 e da 13 a 20 non sono immagini di elementi di A. Quindi non può essere nemmeno biunivoca.
d.
f (x )=x
2Per questa espressione analitica potremmo contestare il fatto che sia una funzione visto che non tutti gli elementi del dominio A hanno un'immagine in B. Nel dettaglio soltanto gli elementi 1,2,3,4 hanno un'immagine in B. Possiamo considerare questa espressione come l'espressione di una funzione se consideriamo come dominio il sottoinsieme di A dei soli elementi 1,2,3,4. In questo caso la funzione si direbbe iniettiva, ma non certo suriettiva visto che soltanto quattro elementi di B sono immagini di tale funzione, gli elementi 1,4,9,16. Quindi non può essere nemmeno biunivoca.
5
Consideriamo le funzioni
f ( x)=3 x
2g ( x)=4 x+1
Determinare le espressioni analitiche delle seguenti funzioni composte:
a.
f ∘ g
b.g ∘ f
c.f ∘ f
d.g ∘ g
a.
f ∘ g
Devo applicare per prima la g e all'immagine ottenuta applichiamo la f.
f ∘ g (x)= f (4 x +1)=3(4 x+1)
2Analogamente le altre:
b.
g ∘ f
g ∘ f (x)=g (3 x
2)=4(3 x
2)+1=12 x
2+1
c.
f ∘ f
f ∘ f ( x)= f (3 x
2)=3(3 x
2)
2=3(9 x
4)=27 x
4d.
