(1) Si dimost ri la disuguaglianza

AMMISSIONE ALLA CLASSE DI SCIENZE SOCIALI DELLA SCUOLA GALILEIANA Prova di Matematica

Padova, 6-9-2016

1.

PROBLEMA

Sia n un numero intero strettamente positivo.

(1) Si dimost ri la disuguaglianza

m m - - . { a1 a2 · ·· - an } <

a1

+ a2 + · · · + an <max { -

a1

- · · · - a2 an } b1 ' b2 ' ' bn - b1 + b2 + · · · + bn - b1 ' b2 ' ' b n ' dove { a

_{1 ,}

a2, · · · , an, b

₁,

b2 , · · · , bn} sono numeri reali strettamente positivi.

(2) Si applichi poi la disuguaglianza precedent e per dimostrare che se P( z) = ca +

c

1

z + c

₂

z

²

+ · · · + enzn (z

E

JR) è un polinomio a coeffi cienti positivi e O < x

~

y , x, y E JR, allora

xn < P(x) <

yn - P(y) - 1 .

Osservazione: Nella disuguaglianza precedente

min { d1 , d2 · · · , dn}

e

m ax { d1 , d2 · · · , dn}

denotano rispet- tivamente il più piccolo e il più grande numero nell'insieme {

d1, d2 · · · , dn} .

2.

PROBLEMA

Siano k e N due interi strettamente positivi e siano E N e FN gli insiemi definiti da E N = { 2 + rk : r

E

{O, 1, 2, 3, · · · , N - 1}}

e

FN = {1 , 2, 2

²

,2

³

,· ··2N- l}.

Si d eterminino IEN + ENI e IF N + FN I·

Osservazione: Se

A

è un sottoinsieme finito dell'insieme dei numeri interi

Z,

denotiamo con

IAI

^{il numero dei suoi}

elementi. Dati due sottoinsiemi finiti

B

e

e

^di

z

^definiamo

B + C = {b +e: b

E

B , e

E

C} .

1

2

3.

^PROBLEMA

Si considerino 4 numeri reali non non negativi x, y, z, w e si dimostri che la disugua- glianza

xyzw

^~

1 implica che

16

~

(1 + x)(l + y)(l + z)( l + w).

Si considerino poi n ( n

E

N) numeri reali non negativi x

1 ,

x

2 , · · · , Xn

e si determini il più piccolo numero a > 1 tale che la disuguaglianza

X1X2 · · · Xn ~

1 implichi la disuguaglianza

an ~

(1 + X1)(l +

^{X2) .. ·}

(1 +

^{Xn) ·}

4.

^PROBLEMA

Dati un sottoinsieme finito e non vuoto A di Z e un numero intero positivo n, si denoti con nA l'insieme definito da

nA

=

{x

=

a1 +

^a2

+ · · · +

^an:

a1,

a2, · · · , an

E A}.

Si dimostri che

lnAI ~ (IAI + n - 1) = (IAI + n - l)(IAI + n - 2) · · · (IAI + l)IAI.

n n!

Osservazione 1: Se

E

^è un sottoinsieme finito e non vuoto dell'insieme dei numeri interi

Z

si denota con

I E I

^{il numero}

dei suoi elementi.

Osservazione 2: Siano

n, m

E

N.

Ricordiamo che:

• n!

^{denota il} prodotto dei primi

n

numeri interi positivi,

• il coefficiente binomiale

(~)

è definito da

(:) ^{m!(n-m)!' n!}

• vale la regola di Pascal-Tartaglia

l+m+ ( m+l) + (m+2) +···+ (m +n -2) + (m +n- 1)

2 3 n-l n (m :n).