Esercizio 1: soluzione

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Università degli Studi dell’Insubria Dipartimento di Scienze Teoriche e Applicate

Architettura degli elaboratori

Numeri e aritmetica binaria Esercizi

Marco Tarini

Dipartimento di Scienze Teoriche e Applicate marco.tarini@uninsubria.it

Esercizio 1

Dato il numero 137₁₀convertirlo in base 2, 4, 8, 16.

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Aritemtica binaria - Esercizi

Architettura degli elaboratori - 3 -

Esercizio 1: soluzione

Conversione a base 2 tramite l’algoritmo delle divisioni successive

137₁₀= 10001001₂

Esercizio 1: soluzione

La conversione a base 4 si può fare attraverso l’algoritmo delle divisioni successive, oppure a partire dalla rappresentazione in binario.

10 00 10 01₂= 2021₄

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Esercizio 1: soluzione

10 001 0012= 2118

Esercizio 1: soluzione

1000 1001₂= 89₁₆

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Esercizio 1: soluzione

Prova:

100010012 = 1*2⁰+ 1*2³+ 1*2⁷= 1 + 8 + 128 = 137 2021₄= 1*4⁰+ 2*4¹+ 2*4³= 1 + 8 + 128 = 137 2118 = 1*8⁰+ 1*8¹+ 2*8²= 1 + 8 + 128 = 137 89₁₆= 9*16⁰+ 8*16¹= 9 + 128 = 137

Esercizio 2

Convertire in base 8 e 16 il numero 7932₁₀

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Esercizio 2: soluzione

Conversione a base 8 e 16 tramite l’algoritmo delle divisioni successive

Esercizio 3

Convertire il numero 17374₈in binario

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Esercizio 3: soluzione

17374₈= 001 111011111100₂

Esercizio 4

Si consideri la rappresentazione in complemento a 2 su 11 bit.

Quali interi possono essere rappresentati?

Come è rappresentato -1024 ?

Qual’è il numero rappresentato da N = 11111111111 ?

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Esercizio 4

In complemento a 2 su 11 bit possono essere rappresentati i numeri da -2^11-1a 2^11-1-1, cioè da -1024 a +1023.

-1024 corrisponde al minimo numero rappresentabile, che è sempre caratterizzato dalla presenza del termine negativo e dall’assenza di termini positivi. Quindi

10000000000 = -1*2¹⁰= -1024

Esercizio 4

Nella stringa 11111111111 abbiamo il termine negativo e tutti i positivi.

Quindi il valore denotato è 2⁰+2¹+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶+2⁷+2⁸+2⁹–2¹⁰= 1+2+4+8+16+32+64+128+256+512-1024 = -1₁₀

NB: non ocorre fare la somma, perché la sommatoria delle potenze di 2 da 2⁰a 2ⁿ= 2⁰+ 2¹+ 2²+ ... + 2ⁿ= 2ⁿ⁺¹-1

Alternativamente si può calcolare il complemento a 2, che è 00000000001 = +1₁₀

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Dimostrazione che 2

⁰

+ 2

¹

+ 2

²

+ ... + 2

ⁿ

= 2

ⁿ⁺¹

-1

Per induzione:

2⁰= 2¹-1 2⁰+ 2¹= 2²-1 2⁰+ 2¹+ 2²= 2³-1

Se 2⁰+ 2¹+ 2²+ ... + 2ⁿ= 2ⁿ⁺¹-1

allora 2⁰+ 2¹+ 2²+ ... + 2ⁿ+ 2ⁿ⁺¹= 2ⁿ⁺¹+ 2ⁿ⁺¹-1=2ⁿ⁺²-1

Esercizio 5

Convertire in base 10 il numero in complemento a 2 N = 1100101

Convertire in base 10 il numero in complemento a 2 M = 0111111

Dato il numero in complemento a 2 P = 1010011, codificare -P, sempre in complemento a 2.

Codificare il numero +131₁₀in complemento a 2, usando il minimo numero di bit

Codificare il numero -27710in complemento a 2, usando il minimo numero di bit

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Esercizio 5: soluzione

Convertire in base 10 il numero in complemento a 2 N = 1100101 1100101 = 2⁰+ 2²+ 2⁵– 2⁶= 1 + 4 + 32 – 64 = -2710

Convertire in base 10 il numero in complemento a 2 M = 0111111 0111111 = 2⁰+ 2¹+ 2²+ 2³+ 2⁴+ 2⁵= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = +6310

Dato il numero in complemento a 2 P = 1010011 codificare -P in complemento a 2.

Complemento a 1 e incremento: 0101100 + 0000001 = 0101101 Verifica:

1010011 = 2⁰+ 2¹+ 2⁴– 2⁶= 19 – 64 = -45₁₀ 0101101 = 2⁰+ 2²+ 2³+ 2⁵= 4510

Esercizio 5: soluzione

Codificare il numero +131₁₀in complemento a 2, usando il minimo numero di bit

Sono necessari 9 bit, con cui si può rappresentare [-2⁸..+2⁸-1] = [-256..+255]

Con 8 si arriva al max a +127

Tramite algoritmo delle divisioni successive trovo la rappresentazione in binario naturale: 131₁₀= 10000011 Su 9 bit: +131₁₀= (0)10000011

Verifica: 2⁰+ 2¹+ 2⁷= 1 + 2 + 128 = +131₁₀

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Esercizio 5: soluzione

Codificare il numero -277₁₀in complemento a 2, usando il minimo numero di bit

Sono necessari 10 bit per rappresentare [-512..+511]

La rappresentazione in cpl2 di -277₁₀corrisponde alla rappresentazione in binario naturale i 1024₁₀-277₁₀=747₁₀

Tramite algoritmo divisioni successive trovo: 747₁₀= 1011101011 747373 1

186 1 93 0 46 1 23 0 11 1 5 1 2 1 1 0 0 1

Esercizio 5: soluzione

Codificare il numero -277₁₀in complemento a 2, usando il minimo numero di bit

Soluzone alternativa:

Tramite algoritmo divisioni successive trovo: 277₁₀= 100010101 Aggiungo il segno +277₁₀= (0) 100010101

Complemento e incremento: 1011101010 + 0000000001 = 1011101011

Verifica: 2⁰+ 2¹+ 2³+ 2⁵+ 2⁶+ 2⁷– 2⁹= 1 + 2 + 8 + 32 + 64 + 128 – 512 = -277₁₀

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Esercizio 6

Si consideri la rappresentazione in complemento a 2 su 4 bit sommare -5 a -4 e dire se c’e’ overflow nella somma sommare +1 a -6 e dire se c’e’ overflow nella somma sommare +1 a +6 e dire se c’e’ overflow nella somma sommare -4 a -4 e dire se c’e’ overflow nella somma

Esercizio 6: soluzione

Osservazione: in complemento a 2 su 4 bit si rappresentano i valori da -8 a +7

Sommare -5 a -4 e dire se c’e’ overflow nella somma

Anche senza effettuare la somma sappiao che ci sarà un underfow nella somma, perché -5-4 = -9, che è minore del minimo valore rappresentabile con 4 bit.

-5 = 1011, -4 = 1100 1011 +

1100 = (1)0111

overflow (e risultato è positivo e denota +7 anziché -9)

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Esercizio 6: soluzione

Sommare +1 a +6 e dire se c’e’ overflow nella somma 0001 + 0110 = 0111

no overflow, risultato corretto

Sommare -4 a -4 e dire se c’e’ overflow nella somma -4 = 1100

1100 + 1100 = (1)1000

No overflow e risultato corretto

Esercizio 7

Dato il numero A = 1001001001 dire a quali interi in base 10 corrisponde nel caso esso rappresenti la codifica di un numero:

in valore assoluto in modulo e segno in complemento a 2

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Esercizio 7: soluzione

A = 1001001001

Numero rappresentato in valore assoluto 1×2⁰+ 1×2³+ 1×2⁶+ 1×2⁹= 585₁₀ Numero intero in modulo e segno

segno = 1  negativo

modulo = 1001001₂= 1×2⁰+ 1×2³+ 1×2⁶ = 73₁₀ A = - 7310

Numero intero in complemento a 2

A = 2⁰+ 2³+ 2⁶-2⁹= 7310-51210= - 43910

Esercizio 8

Rappresentare in base 2 il numero f=0.524₁₀con precisione migliore di 10^-4

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Esercizio 8: soluzione

Possiamo usare l’algoritmo delle moltiplcazioni successive La precisione richiesta ci indica quando fermarci

Poiche la sommatoria 2^-n-1+ 2^-n-2+ ... +2^-n-ktende a 2^-nper k 

∞

^,

dobbiano trovare n tale che 2^-nsia minore della precisione richiesta.

Nel nostro caso, 2^-14= circa 6 10^-5

Esercizio 8: soluzione

1 0.524 1.048 1

2 0.048 0.096 0

3 0.096 0.192 0

4 0.192 0.384 0

5 0.384 0.768 0

6 0.768 1.536 1

7 0.536 1.072 1

8 0.072 0.144 0

9 0.144 0.288 0

f= 0.10000110001001

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Esercizio 9

Dato il numero A =+350₁₆e il numero B = 100101_C2effettuare –in complemento a 2 e sul numero di bit MINIMO per rappresentare entrambi gli operandi, non il risultato– le operazioni A+B e A-B segnalando se si verifica overflow o meno.

Dire inoltre che numeri sono A e B rappresentati nel sistema decimale.

Esercizio 9: soluzione

A = +3 5 0₁₆= 11 0101 0000₂= 011 0101 0000_C2 B = 100101_C2

Bisogna estendere B in segno per ottenere operandi rappresentati sullo stesso numero di bit:

A = 01101010000_C2 B = 11111100101C2

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Esercizio 9: soluzione

Operazione A+B carry 1111

A 01101010000

B 11111100101 A+B (1)01100110101

No overflow (somma di numeri di segno opposto) Verifica:

A = +3.5.0₁₆= 3*256+5*16 = 768+80 = 848₁₀ B = 100101C2= -32+5 = -2710

A+B= 848-27 = 821

01100110101 = 1+4+16+32+256+512 = 821

Esercizio 9: soluzione

Operazione A-B = A + (-B)

-B = 00000011010 + 1 = 00000011011 carry 1

A 01101010000

-B 00000011011 A-B 01101101011 No overflow

Verifica

A-B= 848+27 = 875

01101101011 = 1+2+8+32+64+256+512 = 875