COMPITI DI ANALISI MATEMATICA AA. 2009/10
I Appello Sessione Invernale 2010 I M 1) Sapendo che / œ # #D È$ 3, calcolare .D
I M 2) Studiare la Successione di funzioni 0 B œ8 arctg ( ) , trovandone l'insieme di con-B8 vergenza, la funzione limite e opportuni intervalli in cui la Successione risulta convergere u- niformemente. Si determini infine l'intervallo di convergenza della Serie .
8œ!
∞
0 B8
I M 3) Studiare la Serie di potenze .
8œ!
∞ 8 $
#
" † 8 8
" 8 † B "
I M 4) Determinare se esiste ( " d .
! #
B
" B B
II M 1) Risolvere il problema .
Max/min s.v.:
Ú
ÛÜ œ
0 Bß C œ B C "
C B " Ÿ ! B Ÿ !
#
II M 2) Determinare, al variare del parametro , la natura dei punti stazionari della funzione5 0 Bß C œ B 5BC C# $.
II M 3) Data l'equazione 0 Bß C œ /B" C C /# B" œ !, si determinino tutti i punti "ß C che la soddisfano, si verifichi in tali punti l'applicabilità del Teorema del Dini per una funzione implicita C œ C B , e di questa si calcoli la derivata prima.
II M 4) Data 0 Bß C œ B C B# # e T œ "ß #! , calcolare W@0 T! , dove rappresenta la@ direzione che da porta nell'origine T! !ß ! .
II Appello Sessione Invernale 2010 I M 1) Calcolare la somma delle tre radici cubiche del numero D œ ). I M 2) Verificare che ( " log d , .
!
8 #
B † B B œ # $ 8 −
8 "
I M 3) Studiare la Serie di funzioni 3 , determinando l'eventuale funzione somma e se
8œ!
∞
8B"
essa sia o no totalmente convergente.
I M 4) Determinare il carattere della seguente serie numerica: .
8œ"
∞ & 8#
8$
8 $
&
II M 1) Data la funzione 0 Bß C œ B B Ck k, si verifichi se risulta differenziabile in !ß ! . II M 2) Data l'equazione 0 Bß C œ B C B C BC œ "$ # $ , soddisfatta in T œ "ß " , si de- termini l'espressione del polinomio di Taylor di II grado della funzione implicita C œ C B da essa definita.
II M 3) Data 0 Bß C œ B †logˆB C# #‰, se ne determinino gli eventuali punti di massimo e/o minimo relativo.
II M 4) Risolvere il problema .
Max/min s.v.:
Ú
ÛÜ œ
0 Bß Cß D œ B C D B C œ "
C D œ #
Appello Sessione Straordinaria I 2010 I M 1) Calcolare le radici cubiche di D œ $ 3 # 3.
" 3 3
I M 2) Studiare la Successione di funzioni 0 B œ8 sen B " 8 , determinando opportuni intervalli nei quali la convergenza risulti uniforme.
I M 3) Determinare l'insieme di convergenza della Serie di funzioni .
8œ!
∞
8" 8B
$ † # I M 4) Determinare se esistono valori positivi di per cui B ( B/ d = 2> ( B/ d .>
! !
> "#>
II M 1) Data la curva ‘Ä‘$ À > Ä /Š > ># à > >ß# sen>‹, se ne determini l'equazione della retta tangente nel punto > œ !.
II M 2) Dato il sistema sen cos cos ed il
œ0 Bß Cß D œ B C B D C D œ ! 1 Bß Cß D œ B C D BCD œ !$ $ %
punto Pœ "ß "ß " che lo soddisfa, determinare una funzione implicita con esso definibile e di questa calcolare l'equazione della retta tangente nel punto opportuno.
II M 3) Risolvere il problema .
Max/min s.v.:
Ú
ÛÜ œ
0 Bß C œ B C B C #B Ÿ $ B C #B Ÿ $
# #
# #
II M 4) Determinare se può essere resa minima o massima l'area di un rettangolo sapendo che la sua diagonale ha lunghezza pari ad ."
I Appello Sessione Estiva 2010
I M 1) Usando la forma trigonometrica dei numeri complessi, calcolare . È
" 3
" $ 3
$
I M 2) Data la Successione di funzioni 0 B œ 8 B #8 8B, se ne determini insieme di conver- genza e funzione limite, e si faccia poi analogo studio per la Successione 0 B8w delle deriva- te.
I M 3) Determinare insieme di convergenza e funzione somma per log . Œlog
8œ!
∞ 8
B B "
I M 4) Determinare se esiste d .
log log
(/
∞
# #
"
B B B B
II M 1) Data la matrice ‡ œ , determinare sotto quali condizioni essa genera
5 ! 5
! " !
5 ! 5
â â
â â
â â
â â
â â
â â
â â
â â
â â
â â
â â
â #â
una forma quadratica definita o semidefinita.
II M 2) Si verifichi che la funzione 0 Bß C œ B BC # log non presenta punti di massimoC o minimo relativo.
II M 3) Verificare se la funzione 0 Bß C œ B C Bk k # risulta differenziabile in !ß ! .
II M 4) L'equazione 0 Bß Cß D œ /BC /CD #/BD œ !, soddisfatta nel punto "ß "ß " , definisce una funzione implicita Bß C Ä D; di questa determinare l'equazione del piano tan- gente nel punto opportuno. Determinare poi l'espressione esplicita di D œ D Bß C .
II Appello Sessione Estiva 2010
I M 1) Calcolare log 3 3 .
2 2
È 3
I M 2) Determinare il carattere della Successione di termine generale a = 1 d .
8
8"
(8 B B
I M 3) Determinare per quali valori di risulta convergente la Serie B # †log B , e de-
8œ!
∞
8" 8
terminarne, in funzione di , la somma.B
I M 4) Determinare l'insieme di convergenza della Serie di funzioni e
8œ! 1
∞
$ #
8 B 8 B verificare che essa converge totalmente in ogni intervallo del tipo c d+ß , ß + !.
II M 1) Verificare se la funzione 0 Bß C œ B B Ck k risulta differenziabile in !ß ! .
II M 2) L'equazione 0 Bß C œ B C B C BC œ "$ # $ , soddisfatta nel punto "ß " , definisce una funzione implicita B Ä C B ; di questa determinare derivata prima e seconda in B œ ". II M 3) Dato un parallelepipedo di lati Bß Cß D , rendere massima o minima la somma delle lunghezze dei tre lati sapendo che due delle facce laterali del parallelepipedo hanno area ri- spettivamente uguale a e ." #
II M 4) Risolvere il problema Max/min 0 Bß C œ BC B C BC# #. I Appello Sessione Autunnale 2010
I M 1) Data l'equazione B $B B $ œ !$ # , calcolare le radici cubiche della sua soluzio- ne di modulo massimo.
I M 2) Studiare convergenza puntuale ed uniforme della Serie di funzioni .
8œ!
∞
#8
8 "
B "
I M 3) Determinare l'intervallo di convergenza della Serie di potenze 2 .
8œ!
∞ 8
8 +
8 " † B I M 4) Determinare se esiste ( " d .
! #
B
" B B
II M 1) Data la funzione 0 Bß Cß D œ BC B D CD# # , si analizzi la natura dei suoi punti stazionari.
II M 2) Data l'equazione BC log B C œ !, determinare l'espressione del polinomio di Taylor di II grado della funzione C œ CÐBÑ definita implicitamente da essa in un intorno del punto .T œ "ß !
II M 3) Risolvere il problema Max/min . s.v.:
œ 0 Bß Cß D œ B CD
B C D œ "# # #
II M 4) Data la funzione 0 Bß C œ , verificare se essa sia diffe- B
B C Bß C Á !ß !
! Bß C œ !ß !
Ú ÛÜ
$
# #
renziabile nel punto !ß ! .
II Appello Sessione Autunnale 2010
I M 1) Determinare il prodotto delle radici quarte dell'unità immaginaria 3Þ
I M 2) Determinare l'insieme di convergenza della Successione di funzioni 0 B œ8 sen B8 .
I M 3) Determinare l'insieme di convergenza della Serie di funzioni .
8œ!
∞
8 B"
8 † # #
I M 4) Determinare se esiste d .
log log
( ∞
/# #
"
B B B B
II M 1) Data 0 Bß C œ $B BC #C# #, siano e i versori di @ A "ß " e "ß # . Sapendo che W@0 P! œÈ) e che WA0 P! œÈ&, si determini P .!
II M 2) Data l'equazione 0 Bß Cß D œ B C D BC CD D œ !$ $ # , soddisfatta nel punto T œ !ß !ß !! , verificare se con essa sia possibile definire una funzione implicita Cß D Ä B e determinare l'equazione del piano tangente a tale superficie. Studiare poi analogo problema per il punto T œ "ß "ß "" .
II M 3) Risolvere il problema Max/min . s.v.:
œ 0 Bß C œ BC
#B C Ÿ %# #
II M 4) Data la funzione 0 Bß C œ B C¸ # #¸, verificare se essa risulta differenziabile nel punto .!ß !
