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1) La varianza calcolata su

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Academic year: 2021

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(1)

1) La varianza calcolata su n osservazioni vale zero, allora a) la media delle osservazioni è 0

b) le osservazioni sono distribuite simmetricamente attorno alla media c) le osservazioni sono necessariamente tutte uguali

d) le osservazioni sono tutte uguali a zero

e) n è pari e ci sono scarti dalla media uguali in valore assoluto ma di segno opposto 2) La densità di frequenza di una classe

a) è il rapporto tra la frequenza cumulata e l’ampiezza della classe b) è sempre un numero intero

c) è il rapporto tra la frequenza relativa e l’ampiezza della classe d) è il rapporto tra la frequenza e il numero di osservazioni

e) è il rapporto tra il numero di osservazioni e l’ampiezza della classe 3) L’indice eta quadrato della X sulla Y

a) coincide con il quadrato del coefficiente di correlazione lineare b) assume valore 1 in caso di indipendenza in media di X da Y c) assume valore zero nel caso in cui X dipende perfettamente da Y d) assume valori nell’intervallo [-1, 1]

e) può essere calcolato soltanto se X è una variabile quantitativa

4) Lanciando una moneta si ha probabilità 50% che esca testa. Se per due lanci consecutivi è uscito testa, qual è la probabilità che al terzo lancio esca ancora testa?

a) è più probabile che esca testa b) è più probabile che esca croce c) esce testa con probabilità 1

d) può verificarsi testa o croce con la stessa probabilità e) non si può dire

(2)

5) Individuare quale delle seguenti affermazioni relative ad una variabile casuale continua X con funzione di ripartizione F(x) è vera.

a) Vale la relazione P(a< X <b)=F(a)-F(b) b) È possibile ottenere P(X >a) come 1-F(a)

c) F(x) corrisponde all’area compresa tra l’asse delle ascisse e la funzione di densità per valori maggiori di x

d) F(x) si ottiene derivando la funzione di densità e) F(x) è costante a tratti

6) Dati due stimatori T1 e T2 di uno stesso parametro

a) si ha sempre che uno dei due stimatori ha momento secondo dell’errore di stima minore dell’altro

b) se T1 è distorto e T2 è corretto, T2 è sempre preferibile a T1

c) se entrambi sono non distorti, il confronto tra i due stimatori può essere effettuato solo sulla base della varianza

d) se entrambi sono distorti, il confronto tra i due stimatori si effettua sulla base della varianza e) se T1 è distorto e T2 è corretto, il confronto tra i due stimatori si effettua sulla base della varianza 7) La variabile casuale X avente distribuzione Chi-quadrato con 5 gradi di libertà:

a) ha valore atteso e varianza uguale a 10 b) può assumere valori su tutta la retta reale

c) ha varianza uguale a 10 ma valore atteso uguale a 5 d) assume sempre valori minori o uguali a 5

e) ha distribuzione simmetrica

8) Con riferimento all’ipotesi H0:  = , per effettuare il test al livello di significatività 0.05 la regione di rifiuto risulta

a) l’insieme dei valori maggiori del quantile di ordine 0.975 b) l’insieme dei valori superiori al quantile di ordine 0.05 c) l’insieme dei valori maggiori del quantile di ordine 0.25

d) l’insieme dei valori inferiori al quantile di ordine 0.025 e superiori al quantile di ordine 0.975 e) nessuna delle precedenti è corretta

(3)

9) Data la seguente distribuzione

Classi di valori Frequenza relativa

-1 − 1 0.2

1 − 5 0.3

5 − 15 0.5

1.0 approssimare il momento ordinario (o dall’origine) di ordine 3.

10) Il voto medio nell’esame di matematica di un gruppo di 15 ragazzi è pari a 22. Considerando anche 20 ragazze, il voto medio calcolato sui 35 studenti è 24. Determinare il voto medio delle ragazze.

11) Con riferimento alle seguenti osservazioni 2 7 5 3 3 7 calcolare la differenza interquantilica.

12) Data la seguente tabella bivariata

X\Y -1 0 A 5 0 5 B 4 6 10

9 6 15

calcolare la varianza delle medie delle distribuzioni condizionate di Y|x (varianza between).

13) Supponendo che la variabile X dell’esercizio precedente assuma i valori 1 e 2 invece delle modalità A e B, calcolare la covarianza tra le variabili Y e W=1+2X.

14) Si lancino contemporaneamente 3 monete, le prime due perfettamente bilanciate e la terza truccata in modo che la probabilità che esca testa sia tripla della probabilità che esca croce.

Determinare la probabilità che esca croce su tutte e tre le monete.

(4)

15) Si lancino una moneta perfetta e una moneta truccata in modo che la probabilità che esca croce sia doppia della probabilità che esca testa. Inoltre, si consideri il seguente gioco: se si verificano due teste si vince un euro, se si verificano due croci si vince 0.5 euro mentre negli altri casi non si vince nulla. Determinare il valore atteso della variabile V che denota la vincita.

16) Sia X una variabile casuale con la seguente funzione di densità . 3 1

4, )

( = xxx

f

Calcolare P(1<X<2).

17) Si consideri un campione casuale X1,..,X9 da una popolazione normale con valore atteso  e varianza 36. Calcolare P( X <+).

18) Si consideri un campione casuale X1,..,X4 da una popolazione normale con media  e varianza 36. Calcolare il momento secondo dell’errore di stima dello stimatore T=

2

1 (2X1- X2-X3-2X4) del parametro .

19) Su un campione casuale di n=25 estratto da una popolazione normale la media e la varianza non corretta sono rispettivamente x =15,s2 =24. Determinare l’intervallo di confidenza per  al livello

=0.05.

20) In un campione di n=100 studenti sono stati rilevati il sesso e l’esito dell’esame di diritto pubblico ottenendo i seguenti dati

Sesso\Esito Respinto Promoso

M 20 10 30

F 40 30 70

60 40 100

Verificare l’ipotesi di indipendenza tra sesso ed esito dell’esame al livello di significatività =0.05.

(5)

Soluzioni

1) c) 2) c) 3) e) 4) d) 5) b) 6) c) 7) c) 8) d)

9)

m3 = 33x0.3+103x0.5 = 508.1

10) 𝑥̅𝑚 = 1

15∑ 𝑥𝑖

15

𝑖=1

= 22

𝑥̅ = 24 =22 × 15 + 𝑥̅𝑓× 20 35

20 𝑥̅𝑓 = 24 × 35 − 22 × 15 𝑥̅𝑓 =510

20 = 25.5

11)

2 3 3 5 7 7

x0.75 − x0.25= x(5) − x(2) = 4

(6)

12)

𝑦̅|𝐴 = −1, 𝑦̅|𝐵 = −2

5, 𝑦̅ = − 9 15

𝑠𝑏2 = (−1 + 9 15)

2

× 5

15+ (−2 5+ 9

15)

2

×10 15= 18

225= 0.08

13)

𝑚1,1 = 𝑚𝑥𝑦 = −13 15 𝑥̅ =5

3 𝑠𝑥𝑦= −13

15−5

3× (− 9

15) = 2 15 𝑠𝑤𝑦= 2𝑠𝑥𝑦 = 4

15

14)

Per la moneta truccata: P(T)=3/4, P(C)=1/4 La probabilità richiesta è

1 2×1

2×1 4 15)

Per la moneta truccata: P(T)=1/3, P(C)=2/3 Risultati Vincita Probabilità

TT 1 euro 1 2×1

3= 1 6 TC 0 euro 1

2×2 3= 2

6 CT 0 euro 1

2×1 3= 1

6 CC 0.5 euro 1

2×2 3= 2

6 𝐸(𝑉) = 1 ×1

6+ 0.5 ×1 3=2

6= 1 3 16)

P(1<X<2) = 3

8

17) P( X <+)=()=

18) E[T] = −𝜇, V[T] = 90, MSE[T]= 90+4𝜇2

(7)

19) 𝑠𝑐2 = 25, 𝑡24,0.975 = 2.064 (12.936, 17.064)

20) d = (20−18)

18

2+(10−12)

12

2+(40−42)

42

2+(30−28)

28

2 = 0.7936

 = 3.841

(8)

1) Si considerino n osservazioni x1,x2,...,xn

a) la media è necessariamente minore della mediana b) la media è necessariamente maggiore della mediana c) media e mediana sono necessariamente uguali d) la media è sempre maggiore della moda e) nessuna delle precedenti.

2) Se in un box-plot il rettangolo ha altezza 2 a) la media è 2

b) la mediana è 2

c) il quantile di ordine 0.25 è 2 d) la differenza interquartile è 2 e) il quantile di ordine 0.75 è 2

3) La covarianza calcolata sulla base di n coppie di osservazioni a) è sempre positiva

b) è sempre maggiore della varianza di ciascuna variabile

c) dipende dall’unità di misura in cui sono espresse le osservazioni d) è sempre compresa tra -1 e 1

e) è sempre non negativa

4) Siano A e B due eventi indipendenti a) A e B sono incompatibili

b) A e B costituiscono una partizione dello spazio fondamentale c) A e Bc sono incompatibili

d) A e Bc sono indipendenti e) B e Ac sono incompatibili

(9)

5) Una variabile casuale discreta X

a) assume sempre un numero finito di valori b) non può avere valore atteso negativo c) assume sempre più di due valori

d) ha varianza calcolabile sulla base di E(X) e E(X2) e) ha sempre valore atteso maggiore o uguale a 0

6) Si consideri una variabile casuale X con distribuzione Binomiale con parametri n=10 e =0.3:

a) X ha la stessa distribuzione della somma di 10 variabili casuali indipendenti con distribuzione di Bernoulli con parametro  =0.3

b) la distribuzione di X è sempre approssimabile tramite la distribuzione normale c) X può assumere un qualsiasi numero reale tra 0 e 10

d) X può assumere soltanto valori interi maggiori di 0 e inferiori o uguali a 10 e) la distribuzione di X è simmetrica

7) La varianza campionaria ottenuta su un campione casuale:

a) può essere uguale a 0

b) è sempre maggiore della varianza di ciascuna variabile casuale campionaria c) è uguale alla varianza di ciascuna variabile casuale campionaria divisa per n d) è sempre uno stimatore corretto

e) può assumere un numero finito di valori 8) Il p-valore rappresenta

a) la probabilità di rifiutare H0 quando è vera b) la probabilità di accettare H0 quando è falsa

c) la somma della probabilità di rifiutare H0 quando è vera e della probabilità di accettare H0 quando è falsa

d) la probabilità che la statistica test assuma un valore ‘più estremo’ di quello osservato e) la probabilità che la statistica test assuma valori nella regione di rifiuto

(10)

9) Dato il seguente protocollo sperimentale

3, 2, 0, 3, -2, 0, determinare l’indice di curtosi.

10) Su n=12 osservazioni della variabile X sono stati osservati i seguenti valori x=6, sx2 =36. Sapendo inoltre che Y=4X-12, determinare il coefficiente di variazione della variabile Y.

11) Su un campione di 10 osservazioni (xi,yi) (i =1,…,10) sono state ottenute le stime dei parametri della retta di regressione ottenendo l’equazione stimata yi xi

3 5 1

ˆ = + . Sapendo che 9

, 4 ,

9 2

2 = s = x =

sx y , determinare la varianza residua.

12) Date le coppie di osservazioni (2,2), (1,2), (2,2), (1,2), (2,2), (1,2), (1,1), (2,2), (2,1), (2,2). relative alle variabili X e Y, costruendo la tabella a doppia entrata determinare la media della variabile Y subordinata a X=2.

13) Su n=100 coppie di osservazioni delle variabili X e Y, sono stati osservati i seguenti valori 4

, 4 , 800 ,

500 ,

100 2

100

1 100

1 100 2

1

=

=

=

=

=

 

= = = i y

i i i

i i

i x x y y s

x .

Calcolare il coefficiente di correlazione lineare tra le variabili U=X+1 e V=-3Y+2.

14) Due macchinari A e B producono uno stesso pezzo, ma il macchinario A produce il doppio dei pezzi del macchinario B. Sapendo che il 2% dei pezzi prodotti da A è difettoso mentre l'1% dei pezzi prodotti da B è difettoso, determinare la probabilità che una pezzo estratto a caso sia difettoso.

(11)

15) Da un’urna contenente 5 palline bianche, 3 rosse e due nere si estraggono 7 palline con reinserimento.

Determinare la probabilità di ottenere almeno 6 palline bianche.

16) Sia X una variabile casuale continua con funzione di ripartizione

4 12 2

) 4 (

2

− 

= x x

x F

Determinare il quantile di ordine 0.25.

17) Siano X e Y due variabili casuali con la seguente funzione di probabilità congiunta

P(X=0,Y=0)=0.4, P(X=0,Y=1)=0.3, P(X=2,Y=0)=0.2, P(X=2,Y=1)=0.1 Calcolare E(XY).

18) Sia X una variabile normale con media 12 e varianza 9 e sia Y una variabile indipendente da X, con distribuzione normale con media 9 e varianza 16. Calcolare P(X>12, Y<13).

19) Il direttore di un supermercato è interessato a conoscere la probabilità che un cliente del suo supermercato sia soddisfatto sulla base delle seguenti osservazioni relative ad un campione casuale di 8 clienti

Cliente 1 Soddisfatto Cliente 2 Soddisfatto Cliente 3 Insoddisfatto

Cliente 4 Soddisfatto Cliente 5 Insoddisfatto

Cliente 6 Insoddisfatto Cliente 7 Soddisfatto

Cliente 8 Soddisfatto

Determinare una stima della varianza dello stimatore di massima verosimiglianza della probabilità che il cliente sia soddisfatto.

20) Su due campioni casuali indipendenti x1,…,x10 e y1,…,y8 realizzazioni rispettivamente di una variabile casuale normale con valore atteso 1 e varianza 2 e di una variabile casuale normale con atteso 2

e varianza , si sono osservati i seguenti valori relativi alle medie e alle varianze non corrette .

7 ,

9 ,

4 ,

5 = 2 = 2 =

= y sx sy

x

Verificare l’ipotesi di uguaglianza delle medie al livello =0.05.

(12)

Soluzioni

e) d) c) d) d) a) a) d)

9) 𝑥̅ = 1, 𝑚̅4 =116

6 = 19.3, 𝑠𝑥2 =10

3 , 𝑎4 = 1.74 10) 𝑦̅ = 12, 𝑠𝑦2 = 576, 𝐶𝑉𝑦= 2

11)𝑠𝑥𝑦 = 3, 𝑅2 = 1

4 𝑠𝑒2 = (1 − 𝑅2)𝑠𝑦2 = 3

12) 𝑦̅|𝑋=2 =11

6

13) sxy= 4, 𝑟𝑥𝑦 = 1, 𝑟𝑢𝑣 = −1 14) P(D) = 1

3× 0.01 +2

3× 0.02 = 5

300= 0.016 16) P(X6) = 1

16

17) x0.25 = √7 = 2.64

18) E(XY)=0.2

19) P(X>12, Y<13) = 0.5 (13−9

4 ) = 0.5 × 0.8413 = 0.42065 20) 𝑉̂(𝑃̂) =

5 8×38

8 = 15

512= 0.029

21) 𝑠𝑥𝑐2 = 10, 𝑠𝑦𝑐2 = 8, 𝑠𝑝2 = 9.125, 𝑑 = 0.697, 𝑡16,0.975 = 2.120

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