Edatal'equazione dierenziale lineare delprim'ordine y 4 @u @x x @u @y =0 p erla funzione incognita u(x;y),nel dominio =R 2

p eril

Corso di Laurea Sp ecialistic a in Ingegneria Civile

A.A.2006/07: App ello del 19/1/2007

Nome:...

N.matr.:... Ancona,19gennaio 2007

1.



Edatal'equazione dierenziale lineare delprim'ordine

y

4

@u

@x x

@u

@y

=0

p erla funzione incognita u(x;y),nel dominio =R 2

. Determinarne lasolu-

zioneneldominioconildatodiCauchyu(x;y)=y 2

sulla rettadiequazione

y=x+. Perquale valoredi ,=

0

,lasoluzione edenita in tutto? In

quale parte deldominio nonedenita p er 6=

0

?

Suggerimento: aiutarsi conuna rappresentazione graca.

2. Determinarelasoluzionedell'equazionediKlein-Gordoncon terminedismor-

zamento

@ 2

u

@t 2

v 2

@ 2

u

@x 2

+ 2

u+2

@u

@t

=0

neldominio0xLcon lacondizione iniziale

u(x;0)=



sin (x=L) xL=2

0 x>L=2

@u

@t

(x;0)=0;

e le condizioni al contorno u(0;t) = u(L;t) = 0. Fare quindi un graco

qualitativo della soluzione.

3. Determinare la soluzione dell'equazione di Laplace in un disco di raggio Re

centrol'origine con lacondizione alcontornodi Neumann

@u

@n

(R;)=f()=cos;

dove@=@nindica laderivatanelladirezione dellanormale esternaalb ordodel

dominio. Quantesoluzioni ammetteilproblema?

4. (i) EnunciareedimostrareilPrincipiodiMassimop erl'equazionediLaplace;

(ii) dimostrarel'unicita della soluzione dell'equazione di Laplace con condi-