• Massimi e minimi liberi della funzione f (x, y) = 15x − 3xy + 9y in R 2 e assoluti vincolati all’insieme E:

Analisi Mat. Ing. Civile (Canale A-K e L-Z) Silvia Marconi - 19 Dicembre 2012 -

 Esercizi di riepilogo

• Massimi e minimi liberi della funzione f (x, y) = 15x − 3xy + 9y in R ² e assoluti vincolati all’insieme E:

( x ² − 2x − y + 2 ≤ 0 2x + 3y ≤ 6

[Risp.: P (3, 5) punto di sella; ¹ ₃ , ¹³ ₉
punto di minimo assoluto in E; ⁴ ₃ , ¹⁰ ₉
punto di massimo assoluto in E].

• RR

D x dxdy

D = (x, y) ∈ R : 0 ≤ y − x ² ≤ 2; 2 ≤ y + x ² ≤ 3; x > 0 [Risp.: ¹ ₂ ].

• RR

D xe ^y dxdy D =

(

(x, y) ∈ R : 1 ≤ x ² + y ² ≤ 9; − √

3|y| ≤ x ≤

√ 3 3 |y|

)

[Risp.: 4e

+ 4e

− ² ₃ e

√ 3 2

(6 √

3 − 4) + ² ₃ e

√ 3 2

(2 √

3 − 4)].

• Derivate direzionali in O(0, 0) al variare di α ∈ R della funzione f (x, y) =

 1−cos xy

|xy|

x 6= 0, y 6= 0

0 x = 0, y = 0

[Risp.: f derivabile direzionalmente con derivata nulla per α < ³ ₂ ].

• Dato il campo vettoriale

F = {y ~ ² e ^xy

− sin(x − y) + 1 ; 2xye ^xy

− sin(x − y) + x}

calcolare la circuitazione sulla curva γ : x ² + ^y ₄

= 1 percorsa in verso antiorario.

[Risp.: 2π].

•  y ⁰ = 3 cos ² x sin xy ² y(0) = 1

[Risp.: y(x) = _cos ¹

x soluzione locale in − ^π ₂ , + ^π ₂
].