Esercizi di Algebra Lineare Forme quadratiche
23 aprile 2013
1 Introduzione
Definizione 1 Una forma quadratica `e una funzione da Rn−→R definita da un polino- mio omogeneo di secondo grado. [La parola “forma” nel contesto dei polinomi vuol dire
“polinomio omogeneo”]
Studio della positivit`a delle forme quadratiche: data una forma quadratica vogliamo sapere se pu`o assumere valori positivi, negativi, nulli.
Esempio 2 Sia Q : R2−→R la forma quadratica definita da Q(x, y) := x2+ y2. Ovviamente Q(0, 0) = 0 e Q(a, b) `e positivo per ogni (a, b) ∈ R2\{(0, 0)} .
In generale una forma quadratica su R2 si scrive:
Q(x, y) = a11x2+ 2a12xy + a22y2
1.0.1 Visualizzazione
Ci sono diversi programmi (gratis) di visualizzazione di superfici, su MacOSX consiglio Appli- cations/Utilities/Grapher.
Selezionate “3D Graph / Frame” Quindi scrivete le equazioni che volete visualizzare, per esempio z = x^2 - y^2 e aggiungetene usando “Equation / New Equation”.
Per ogni equazione potete scegliere il tipo di visualizzazione con il bottone “Inspector” (in alto a destra).
1
1.1 Le forme quadratiche pi` u semplici
Vediamo il grafico di queste tre forme quadratiche:
Q1:= x2+ y2
−2 0
2 −2
0 2 0
10
x
y Q2:= x2
−2 0
2 −2
0 2 0
5
x
Q3:= x2y− y2
Osserviamo che
• La forma quadratica Q1 assume valori positivi per ogni vettore reale non nullo.
• La forma quadratica Q2 assume valori positivi o nulli per ogni vettore reale non nullo.
Inoltre esiste un vettore non nullo su cui si annulla: Q2(0, 3) = 0 .
• La forma quadratica Q3 assume sia valori positivi che negativi: es. Q3(1, 0) > 0 e Q3(0, 1) < 0 . Per continuit`a esiste un vettore non nullo su cui si annulla: Q3(1, 1) = 0 . Osservazione: Sia Q una forma quadratica. Per l’omogeneit`a di Q si ha Q(λ · v) = λ2· Q(v) . In particolare se esiste un vettore v non nullo tale che Q(v) = 0 allora Q(λ · v) = 0 ∀λ ∈ R .
Definizione 3
• Una forma quadratica Q si dice definita positiva (negativa) se assume valori positivi (negativi) per ogni vettore reale non nullo. [ ∀v ∈ Rn, v 6= 0 si ha Q(v) > 0 ]
• Una forma quadratica Q si dice semidefinita positiva (negativa) se assume valori positivi (negativi) o nulli per ogni vettore reale [ ∀v ∈ Rn si ha Q(v) ≥ 0 ].
Se una forma semidefinita positiva (negativa) non `e definita positiva (negativa) allora esiste un vettore non nullo su cui si annulla. [ ∃ v ∈ Rn, v 6= 0 tale che Q(v) = 0 ]
• Una forma quadratica Q si dice non definita se esistono due vettori su cui assume segno diverso. [ ∃ u, v ∈ Rn tale che Q(u) > 0 e Q(v) < 0 ]
Esercizio 4 Per ogni combinazione di a, b in {−1, 0, 1} scrivere la forma quadratica Q(x, y) = ax2+ by2, studiarne la positivit`a e mostrare tre vettori non nulli u , v , w (se esistono) tali che Q(u) < 0 , Q(v) > 0 , Q(w) = 0 .
a, b Q(x, y) positivit`a Q(u) < 0 Q(v) > 0 Q(w) = 0
1,1 x2+ y2 def.pos. – (1,0) –
1,0 x2 semidef.pos. – (1,0) (0,1)
1,-1 x2− y2 non def. (0,1) (1,0) (1,-1) 0,1
0,0 ...
...
...
...
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Esercizio 5 (complichiamo i coefficienti)
Per ogni forma quadratica determinare la positivit`a e trovare tre vettori non nulli u , v , w (se esistono) tali che Q(u) < 0 , Q(v) > 0 , Q(w) = 0 .
Q(x, y) positivit`a Q(u) < 0 Q(v) > 0 Q(w) = 0 100x2+ 5423/12y2
−x2− 72635/434y2 412.4x2+ 3.2y2
0.001x2 12345x2− 0.00001y2
Esercizio 6 Per tutte le forme quadratiche considerate negli esercizi precedenti dite che tipo di conica, al variare di c ∈ R , `e descritta dall’equazione
Q(x, y) = c (ragionando e/o usando Grapher ;-)
Esercizio 7 (nello spazio)
Date le seguenti forme quadratiche Q : R3−→R , determinarne la positivit`a e trovare tre vettori non nulli u , v , w (se esistono) tali che Q(u) < 0 , Q(v) > 0 , Q(w) = 0 .
Q(x, y) positivit`a Q(u) < 0 Q(v) > 0 Q(w) = 0 100x2+ 5423/12y2− z2
−x2− 72635/434y2+ z2 412.4x2+ 3.2y2− 0.2z2
0.001x2 12345x2− 0.00001z2
(x + y + z)2 (x + y)2 (x + y) · (x − z)
4x2+ 2xy − y2
100x2+ 2xy − 5423/12y2+ 100yz − z2
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