Urto con una sbarra incastrata ??

6.55. URTO CON UNA SBARRA INCASTRATA??

PROBLEMA 6.55

Urto con una sbarra incastrata ??

v0

b

`

θ₀

Figura 6.54.: La sbarra appoggiata ad un angolo tra due pareti.

Una sbarra di lunghezza`e massa m è appoggiata su un piano orizzontale privo di attrito. I suoi due estremi sono appoggiati a due pareti perpendicolari tra di loro come in Figura 6.54, non si possono staccare da queste ma possono scorrervi sopra liberamente.

La sbarra è inizialmente ferma ed inclinata di θ₀ =π/4 rispetto all’orizzontale.

Un punto materiale di massa m⁰si muove parallelamente ad una delle due pareti ad una distanza b da essa, come in Figura, con velocità v₀in modulo. Ad un certo istante colpisce la sbarra e rimane attaccata ad essa. Calcolate la velocità angolare del sistema asta+massa

◦ immediatamente dopo l’urto

◦ negli istanti successivi, in funzione dell’angolo θ di inclinazione rispetto all’oriz- zontale

Soluzione

Le forze esterne che agiscono sul sistema sono le reazioni normali delle pareti. Se pren- diamo come polo l’intersezione tra le rette perpendicolari alle pareti nei punti di contatto con la sbarra vediamo che entrambe le reazioni hanno momento nullo, di conseguenza si conserva il momento angolare. Ponendo l’origine nell’intersezione tra le due pareti il

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6.55. URTO CON UNA SBARRA INCASTRATA??

polo si trova nel punto di coordinate

(x, y, z) = (`cos θ<sub>0</sub>,`sin θ₀, 0) = `

√2 2 ,`

√2 2 , 0

!

abbiamo prima dell’urto

~_Li =−^m0(b− `<sup>cos θ</sup>0)v<sub>0</sub>ˆz=−<sup>m0 b</sup>− `

√2 2

! v₀ˆz

ed immediatamente dopo

~_Lf = I0ω0ˆz

dove I0è il momento di inerzia del sistema rispetto al polo prescelto. Tenendo conto che la massa rimane attaccata alla sbarra ad una distanza d = b/(cos θ₀)dal suo estremo abbiamo

I₀ = m`²

12+m`²

4 +m⁰h

(`cos θ₀−^b)²+b²tan²θ₀ i

= m`²

12+m`² 4 +m⁰



 `

√2 2 −^b

!2

+b²





Di conseguenza la velocità angolare immediatamente dopo l’urto sarà

ω₀ =−^m

0

b− `^√₂^2 I₀ v₀

In seguito si conserva l’energia cinetica del sistema, che scriveremo nella forma E= ¹

2I(θ)ω² = ¹ 2I₀ω²₀

Adesso I(θ)è il momento di inerzia del sistema rispetto al suo asse di rotazione istan- taneo. Ma quest’ultimo coincide con l’intersezione tra le rette perpendicolari alle pareti nei punti di contatto (e quindi inizialmente I = I₀). In altre parole

I(θ) =m`²

12+m`² 4 +m⁰

"

`cos θ−^b_{cos θ}^{cos θ}

0

2

+

 b sin θ

cos θ₀

2#

e quindi

ω =ω₀ s I₀

I(θ)

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