Geometria Lingotto.

Geometria Lingotto.

LeLing4: Vettori.

A ¯ rgomenti svolti:

• Vettori.

• Prodotto scalare, angolo, lunghezza e proiezzione.

• Disuguaglianze di Cauchy-Schwarz e triangolare.

• Equazione della retta, del piano e dell’iperpiano.

E ¯ sercizi consigliati: Geoling 4.

1 Vettori

Il modo classico di rappresentare un vettore − → v del piano e’

quello di usare due numeri a, b ∈ R come nel seguente grafico:

Dunque possiamo usare una colonna  a b



per indicare il vettore − → v .

Di solito la somma − → v +− → w di due vettori si definisce tramite la regola del parallelogramma come si vede nel disegno. Usando le colonne, cioe’ − → v =  a

b



e − → w =  a ⁰ b ⁰



, si trova che la colonna della somma − → w + − → v e’  a ⁰ + a

b ⁰ + b



. Dunque per sommare i vettori si sommano le loro corrispondenti colonne.

Un vettore − → v dello spazio si rappresenta anche come una freccia a cui si associa una colonna



 a b c



 . La somma di due vettori dello spazio corrisponde alla somma delle loro

corrispondenti colonne.

1.1 Prodotto scalare Geometria Lingotto.

1.1 Prodotto scalare

Il prodotto scalare − → v · − → w di due vettori e’ un numero che si calcola facilmente usando le colonne. Se − → v =



 v ₁ v ₂ v 3



 e − → v =



 w ₁ w ₂ w 3



 allora − → v · − → w = v ₁ w ₁ + v ₂ w ₂ + v ₃ w ₃ .

Esempio 1.1. Sia − → v =



 1 2 3



 e − → v =





−1 0 1



 allora − → v .− → w = 1.(−1) + 2.0 + 3.1 = 2.

Usando il teorema di Pitagora si vede che la lunghezza del vettore − → v e’ √ − → v · − → v . La lunghezza si denota come k− → v k.

Oltre che per il calcolo delle lunghezze il prodotto scalare si usa per determinare se due vettori sono perpendicolari o in generale per il calcolo dell’ angolo θ tra due vettori e della proiezione p(− → v ):

−

→ v · − → w = cos(θ)k− → v kk− → w k ,

p(− → v ) = (− → v · − → w )

−

→ w k− → w k ² .

Proposizione 1.2. I vettori − → w e − → v sono perpendicolari se e solo se il loro prodotto scalare e’ zero, cioe’ − → v · − → w = 0.

Ecco il significato del segno del prodotto scalare:

1.2 Il prodotto scalare e’ bi-lineare. Geometria Lingotto.

1.2 Il prodotto scalare e’ bi-lineare.

Ecco l’elenco delle proprieta’ del prodotto scalare:

• − → v · − → w = − → w · − → v ,

• (c− → v ) · − → w = − → v · (c− → w ) = c(− → v · − → w ),

• (− → v + − → u ) · − → w = − → v · − → w + − → u · − → w . Notare che il vettore nullo − →

0 e’ l’unico vettore che ha lunghezza nulla.

1.3 Disuguaglianze: di Cauchy-Schwarz e triangolare

La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz afferma che la lunghezza della proiezione p(− → v ) e’

minore o uguale della lunghezza di − → v :

kp(− → v )k ≤ k− → v k . Allora kp(− → v )k = k(− → v .− → w ) _k− → w k ^{− → w}

k = ^{|(− →} _k− ^{v .−} → w k ^{→ w )|} . Teorema 1.3. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

|(− → v .− → w )| ≤ k− → v kk− → w k .

La disugualianza del triangolo A + B ≥ C si ottiene come applicazione. Infatti, se A, B, C si pensano come vettori pos- siamo scrivere C = A + B . Partendo dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz:

A.B ≤ kAkkBk ,

2A.B + kAk ² + kBk ² ≤ 2kAkkBk + kAk ² + kBk ² , kA + Bk ² ≤ (kAk + kBk) ² ,

kCk ≤ kAk + kBk .

Teorema 1.4. Disuguaglianza del triangolo

k− → v + − → w k ≤ k− → v k + k− → w k .

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2 L’equazione della retta e del piano

Usando il prodotto scalare possiamo scrivere facilmente l’equazione della retta l (del piano) passante per il punto X ₀ =  x ₀

y ₀



e perpendicolare al vettore − →

N =  a b

 . Eccola qui:

−

→ N · − → X = − →

N · − → X ₀ oppure

ax + by = ax ₀ + by ₀ , dove − →

X =  x y

 .

Esempio 2.1. Ecco l’equazione della retta passante per il punto X ₀ =

 1

−1



perpen- dicolare al vettore − →

N =  2 3

 :

2x + 3y = −1 .

In modo analogo si puo’ scrivere l’equazione del piano π (dello spazio) passante per il punto X 0 =



 x ₀ y ₀ z ₀



 perpendicolare al vettore − → N =



 a b c



. Eccola qui:

−

→ N · − → X = − →

N · − → X 0

oppure

ax + by + cz = ax ₀ + by ₀ + cz ₀ , dove − →

X =



 x y z



 .

Osservare che l’equazione − → N · − →

X = − → N · − →

X ₀ e’ la stessa tanto per la retta del piano come per il piano nello spazio. Si chiama iperpiano l’insieme definito come le soluzioni di una equazione − →

N · − → X = − →

N · − →

X ₀ , dove adesso N, X, X ₀ sono colonne con n elementi.

Dunque un iperpiano e’ l’insime delle soluzioni del sistema lineare (con una sola equazione):

 a 1 x ₁ + a ₂ x ₂ + · · · + a _n x _n = b

−

→ − → − → − →

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3 Base ortogonale e componenti

Nella fisica si chiama versore un vettore unitario, cioe’ di lunghezza 1. Inoltre si indicano con − →

i , − → j , − →

k i versori canonici, cioe’ perpendicolari tra di loro e unitari. I versori permetteno di scrivere ogni vettore − → v come loro combinazione lineare, cioe’:

−

→ v = v ₁ − →

i + v ₂ − →

j + v ₃ − → k Se dice che i versori ( − →

i , − → j , − →

k ) sono una base ortogonale dello spazio.

Notare che v ₁ − →

i e’ la proiezione di − → v su − →

i . Dunque il numero v ₁ si chiama prima componente di − → v . In modo analogo si definiscono la seconda e terza componente.

Dal punto di vista delle colonne i versori − → i , − →

j , − →

k corrispondono a :

−

→ i =



 1 0 0





−

→ j =



 0 1 0





−

→ k =



 0 0 1



 Dunque

−

→ v = v ₁ − →

i + v ₂ − →

j + v ₃ − → k = v ₁



 1 0 0



 + v ₂



 0 1 0



 + v ₃



 0 0 1



 =



 v ₁ v ₂ v 3



 .

4 Piano tangente

Sia f (x, y) una funzione a due variabili. Il grafico (x, y, f (x, y)) e’ una superficie di R ³ . Il vettore N := ( ^∂f _∂x , ^∂f _∂y , −1) e’ normale al grafico di f nel punto P = (x, y, f (x, y)).

Dunque un punto Q ∈ R ³ appartiene al piano tangente di f nel punto P = (x, y, f (x, y)) se e solo se

N.(P − Q) = 0