Capitolo 4

(1)

Capitolo 4

Il valore della moneta

nel tempo

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4.1 La linea del tempo

• Una linea del tempo è una rappresentazione

lineare della collocazione temporale dei flussi di cassa attesi.

• Tracciare una linea del tempo dei flussi di cassa è

utile per visualizzare il problema finanziario.

(3)

4.1 La linea del tempo (continua)

• Supponiamo che un amico ci debba dei soldi e che abbia concordato di restituirci il debito

mediante due pagamenti di $10.000 alla fine di

ogni anno per i prossimi due anni:

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4.1 La linea del tempo (continua)

• Distinguere tra due tipi di flussi di cassa

 Le entrate sono flussi di cassa positivi.

 Le uscite sono flussi di cassa negativi, indicati da un

segno – (meno).

(5)

4.1 La linea del tempo (continua)

• Supponiamo che prestiate $10.000 oggi e che il prestito vi sarà ripagato in due tranche annue di $6.000.

• Il primo flusso di cassa alla data 0 (oggi) è indicato come importo negativo perché è un’uscita.

• Le linee temporali possono rappresentare flussi di cassa

che si verificano alla fine di qualsiasi periodo.

(6)

4.2 Le tre regole del trasferimento nel tempo

• Le decisioni finanziarie spesso richiedono di

combinare flussi di cassa o confrontare valori. Tre

regole governano questi processi.

(7)

La prima regola del trasferimento nel tempo

• Un dollaro oggi e un dollaro tra un anno non sono equivalenti.

• È possibile confrontare o combinare valori

soltanto se riferiti allo stesso istante temporale.

 Che cosa preferireste: ricevere in regalo $1.000 oggi o

$1.210 in una data futura?

 Per rispondere a questa domanda, dovete confrontare le alternative in modo da stabilire quale ha maggior

valore. Un fattore da considerare: quanto sono distanti

le due date considerate?

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La seconda regola del trasferimento nel tempo

• Per spostare un flusso di cassa in avanti nel tempo, occorre capitalizzarlo.

 Supponiamo di poter scegliere tra ricevere $1.000 oggi o $1.210 tra due anni. Riteniamo di poter guadagnare il 10% sui $1.000 oggi, ma vogliamo sapere quanto

varranno $1.000 tra due anni. La linea del tempo è la

seguente:

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(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) volte

n

VF

n

C r r r C r

n

          

La seconda regola del trasferimento nel tempo (continua)

• Valore futuro di un flusso di cassa

(10)

La seconda regola del trasferimento nel tempo – Esempio alternativo

• Per spostare un flusso di cassa in avanti nel tempo, occorre capitalizzarlo.

 Supponiamo di poter scegliere tra ricevere $5.000 oggi o $10.000 tra cinque anni. Riteniamo di poter

guadagnare il 10% sui $5.000 oggi, ma vogliamo

sapere quanto varranno $5.000 tra cinque anni. La

linea del tempo è la seguente:

(11)

La seconda regola del trasferimento

nel tempo – Esempio alternativo (continua)

• In cinque anni i $5.000 varranno:

$5.000 × (1,10)

⁵

= $8.053

 Il valore futuro di $5.000 al 10% per cinque anni è

$8.053.

• Sarebbe meglio rifiutare il regalo di $5.000 oggi e

accettare i $10.000 tra cinque anni.

(12)

La terza regola del trasferimento nel tempo

• Per spostare un flusso di cassa all’indietro nel tempo, occorre scontarlo.

• Valore attuale di un flusso di cassa

(1 )

n

VA C r C

    r



(13)

La terza regola del trasferimento nel tempo – Esempio alternativo

• Supponiamo che ci venga offerto un investimento che pagherà $10.000 tra cinque anni. Se ci

aspettiamo un rendimento del 10%, qual è il

valore di questo investimento?

(14)

La seconda regola del trasferimento

nel tempo – Esempio alternativo (continua)

• Il valore oggi di $10.000 tra cinque anni è:

 $10.000 ÷ (1,10)

⁵

= $6.209

(15)

Applicazione delle regole

del trasferimento nel tempo

• Ricordiamo la prima regola: è possibile

confrontare o combinare valori soltanto se riferiti allo stesso istante temporale. Finora abbiamo effettuato soltanto confronti.

 Supponiamo di voler mettere da parte $1000 oggi e

$1000 alla fine di ognuno dei prossimi due anni. Se

riceviamo un tasso di interesse fisso del 10% sui nostri

risparmi, che somma avremo da qui a tre anni?

(16)

Applicazione delle regole

del trasferimento nel tempo (continua)

• La linea del tempo è la seguente:

(17)

Applicazione delle regole

del trasferimento nel tempo (continua)

(18)

Applicazione delle regole

del trasferimento nel tempo (continua)

(19)

Applicazione delle regole

del trasferimento nel tempo (continua)

(20)

Applicazione delle regole del trasferimento nel tempo (continua) – Esempio alternativo

• Supponiamo che un investimento paghi $5.000 oggi e $10.000 tra cinque anni.

 La linea del tempo è la seguente:

(21)

Applicazione delle regole del trasferimento nel tempo – Esempio alternativo (continua)

• Possiamo calcolare il valore attuale dei flussi di cassa combinati sommando i loro valori.

• Il valore attuale di entrambi i flussi di cassa è

(22)

Applicazione delle regole del trasferimento nel tempo – Esempio alternativo (continua)

• Possiamo calcolare il valore futuro dei flussi di

cassa combinati sommando i loro valori all’anno 5.

• Il valore futuro di entrambi i flussi di cassa è

$18.053.

(23)

Applicazione delle regole del trasferimento

nel tempo – Esempio alternativo (continua)

(24)

4.3 Potenza della capitalizzazione:

un’applicazione

• Capitalizzazione

 Interessi sugli interessi

• All’aumentare del numero di periodi di tempo, il valore futuro aumenta, a un tasso crescente perché vi sono più interessi su interessi.

(25)

Figura 4.1 Potenza della capitalizzazione

(26)

4.4 Valutazione di una serie di flussi di cassa

• Dalla prima regola del trasferimento nel tempo possiamo derivare una formula generale per

valutare una serie di flussi di cassa: per trovare il valore attuale di una serie di flussi di cassa,

possiamo semplicemente sommare i valori attuali

di ciascuno.

(27)

4.4 Valutazione di una serie di flussi di cassa (continua)

• Valore attuale di una serie di flussi di cassa

N N

C

   

(28)

(1 )

ⁿ

VF

n

 VA   r

Valore futuro di una serie di flussi di cassa

• Valore futuro di una serie di flussi di cassa con valore attuale VA

(29)

Valore futuro di una serie di flussi di cassa – Esempio alternativo

• Qual è il valore futuro fra tre anni dei seguenti

flussi di cassa, se il tasso di capitalizzazione è il

5%?

(30)

Valore futuro di una serie di flussi di cassa – Esempio alternativo (continua)

• Oppure

(31)

4.5 Il valore attuale netto

di una serie di flussi di cassa

• Il calcolo del VAN di flussi di cassa futuri ci consente di valutare una decisione di

investimento.

• Il valore attuale netto confronta il valore attuale

dei flussi in entrata (benefici) e il valore attuale dei

flussi in uscita (costi).

(32)

4.5 Il valore attuale netto di una serie

di flussi di cassa – Esempio alternativo

• Sareste disposti a pagare $5.000 per la seguente

serie di flussi di cassa, se il tasso di sconto è il 7%?

(33)

Calcolare il valore attuale dei benefici e il valore attuale dei costi…

• Il valore attuale dei benefici è:

3000 / (1,05) + 2000 / (1,05)

²

+ 1000 / (1,05)

³

= 5535,04

• Il valore attuale del costo è $5.000, perché il flusso di cassa si verifica ora.

• VAN = VA(benefici) – VA(costi)

= 5535,04 – 5000 = 535,04

(34)

4.6 Rendite perpuetue, rendite e altri casi speciali

• Una serie di flussi di cassa identici che si

manifestano a intervalli regolari e durano per sempre è detta rendita perpetua.

• Il valore attuale di una rendita perpetua è

semplicemente il flusso di cassa diviso per il tasso di interesse.

• Valore attuale di una rendita perpetua

( per sempre) C

VA C  r

(35)

Rendite

• Una serie di flussi di cassa uguali pagati a intervalli regolari per N periodi è una rendita.

• Valore attuale di una rendita

1 1

(rendita di per periodi con tasso di interesse ) 1

(1 )^N

VA C N r C

r r

 

     

(36)

Esempio 4.7 (continua)

• Valore futuro di una rendita

 

(rendita) (1 )

1 1 (1 ) (1 )

(1 ) 1 1

N

N N

N

VF VA r

C r

r r

C r

r

  

 

        

   

(37)

Rendita perpetua crescente

• Supponiamo di attenderci che l’ammontare del

pagamento perpetuo aumenti a un tasso costante g.

• Valore attuale di una rendita perpetua crescente (rendita perpetua crescente)

VA C

r g

 

(38)

Rendita crescente

• Il valore attuale di una rendita crescente con flusso di cassa iniziale C, tasso di crescita g e tasso di interesse r è definito come:

 Valore attuale di una rendita crescente

1 1

1 ( ) (1 ) g

N

VA C

r g r

    

 

            

(39)

Esempio 4.7 (leggermente modificato)

• Avete vinto al superenalotto. Potete incassare il premio in due modi alternativi:

a) 30 rate annuali da € 1 mln cad. a partire da oggi b) € 15 mln subito.

• I rendimenti sui titoli di Stato a 10 anni sono al 8%. Quale modalità scegliete?

 VA(a) = 1 mln x 1/8% x (1-1/(1,08)^29 = 11,16 mln

(40)

4.7 Come risolvere problemi usando il foglio elettronico

• I fogli elettronici semplificano i calcoli dei problemi relativi al valore della moneta nel tempo.

 NUM.RATE

 TASSO

 VA

 RATA

 VAL.FUT

.

1 1

1

(1 )

. 0

(1 )

NUM RATE

VAN VA RATA

TASSO TASSO

VAL FUT TASSO

 

      

 



(41)

4.7 Come risolvere problemi usando il foglio elettronico

• Costruzione del foglio di calcolo della rendita

 Le cinque funzioni finanziarie di Excel:

• NUM.RATE(TASSO;RATA;VA;VAL.FUT)

• TASSO(NUM.RATE;RATA;VA;VAL.FUT)

• VA(TASSO;NUM.RATE;RATA;VAL.FUT)

• RATA(TASSO;NUM.RATE;VA;VAL.FUT)

• VAL.FUT(TASSO;NUM.RATE;RATA;VA)

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Esempio 4.8 (leggermente modificato, da svolgere a casa)

• Avete compiuto 30 anni e (finalmente) potete permettervi di risparmiare €300/trimestre +2%

anno per i prossimi 35 anni. Se lo strumento

finanziario rende il 5%/anno netto, quale sarà il montante al compimento del 65° anno?

• Se il montante fosse convertito in rendita di

durata 20 anni, quale “pensione” mensile

ottenete (stesso tasso – 5%)?

(43)

4.8 Determinazione di variabili diverse dal valore attuale e dal valore futuro

• Talvolta si conosce il valore attuale o futuro, ma non si conoscono alcune delle variabili che

abbiamo precedentemente utilizzato come input.

Per esempio, quando si accende un mutuo si potrebbe conoscere la somma che si vuole

prendere a prestito, ma non i pagamenti rateali

che saranno richiesti per estinguerlo.

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