Si dica se le seguenti successioni sono convergenti, divergenti o indeter- minate (Livello1):

(1)

Matematica Generale I:

successioni e serie

Elisabetta Michetti

1 Successioni

Si dica se le seguenti successioni sono convergenti, divergenti o indeter- minate (Livello1):

1. a _n = (−1) ^{2n 2n} _n

2²

−1 ⁺¹

2. a _n = (−1) ⁿ⁺¹ 2n 3. a _n = n sin n 4. a _n = (−3) ²ⁿ⁺¹ 5. a _n = ¡ ₁

2 ¢ _n

²

₊₂ 6. a _n = (−2) ⁿ 7. a _n =

³ n

²

+2 n

²

+1

´ _12n

2

+1

8. a _n = ^{sin n} _n 9. a _n = _{3n+sin n} ⁿ

Verificare in base a definizione i seguenti limiti di successione (Liv- ello1):

1. lim

n→∞

n−1 n = 1 2. lim

n→∞

n k = 0, ∀k 6= 0 3. lim

n→∞

1 n

^k

= 0, ∀k > 0 4. lim

n→∞

√

3

n ² − 1 = +∞

1

(2)

2 Serie

Determinare il carattere delle seguenti serie e, se convergenti, calcolare la somma. (Livello1)

1. P _∞

n=2 3 ¡ ₁

5 ¢ _n+1 2. P _∞

n=0 (−2) ³ⁿ 3. P _∞

n=1 4(5) ⁵ⁿ 4. P _∞

n=1 (e) ⁻²ⁿ

Determinare il carattere delle seguenti serie. (Livello1) 1. P _∞

n=2 4 n

2. P _∞

n=1 (n ² ) 3. P _∞

n=1 e(n ^−e )

Si determini la somma della serie P _∞

n=1

¡ ₁

2 ¢ _n + ¡ ₁

4 ¢ _n

. (Livello1) Stabilire se le seguenti serie sono convergenti. (Livello1)

1. P _∞

n=0 2n−3 n+1

2. P _∞

n=1 ln(n ² + 1) 3. P _∞

n=1 e ⁻²ⁿ⁺⁵ + 3

Studiare il carattere della serie P _∞

n=0 2( √

³

x ⁿ ) al variare del parametro x ∈ < e, se convergente, determinare la somma. (Livello1)

Studiare il carattere della serie P _∞

n=1 (x ² −3) ⁿ al variare del parametro x ∈ < e, se convergente, determinare la somma. (Livello1)

Studiare il carattere della serie P _∞

n=1

³ 1 n

^x3+9

´

al variare del parametro x ∈ <. (Livello1)

Studiare il carattere della serie P _∞

n=1

¡ ₁

n

¢ _e

^(x2−1)

al variare del parametro x ∈ <. (Livello1)

Studiare il carattere della serie P _∞

n=1 (n)

^x+3^x−5

al variare del parametro x ∈ <. (Livello1)

2

(3)

Data la serie P _∞

n=0 ln ⁿ |x − 2| determinare il carattere ∀x ∈ < e ove converge calcolare la somma. (Livello 2)

Si dica se le seguenti successioni sono convergenti, divergenti o indeter- minate (Livello1):

Matematica Generale I:

successioni e serie

Elisabetta Michetti

1 Successioni

Si dica se le seguenti successioni sono convergenti, divergenti o indeter- minate (Livello1):

1. a n = (−1) 2n 2n n

−1 +1

2. a n = (−1) n+1 2n 3. a n = n sin n 4. a n = (−3) 2n+1 5. a n = ¡ 1

2

¢ n

+2 6. a n = (−2) n 7. a n =

³ n

+2 n

+1

´ 12n

+1

8. a n = sin n n 9. a n = 3n+sin n n

Verificare in base a definizione i seguenti limiti di successione (Liv- ello1):

1. lim

n→∞

n−1 n = 1 2. lim

n→∞

n k = 0, ∀k 6= 0 3. lim

n→∞

1

n

= 0, ∀k > 0 4. lim

n→∞

√

n 2 − 1 = +∞

1

2 Serie

Determinare il carattere delle seguenti serie e, se convergenti, calcolare la somma. (Livello1)

1. P ∞

n=2 3 ¡ 1

5

¢ n+1 2. P ∞

n=0 (−2) 3n 3. P ∞

n=1 4(5) 5n 4. P ∞

n=1 (e) −2n

Determinare il carattere delle seguenti serie. (Livello1) 1. P ∞

n=2 4 n

2. P ∞

n=1 (n 2 ) 3. P ∞

n=1 e(n −e )

Si determini la somma della serie P ∞

n=1

¡ 1

2

¢ n + ¡ 1

4

¢ n

. (Livello1) Stabilire se le seguenti serie sono convergenti. (Livello1)

1. P ∞

n=0 2n−3 n+1

2. P ∞

n=1 ln(n 2 + 1) 3. P ∞

n=1 e −2n+5 + 3

Studiare il carattere della serie P ∞

n=0 2( √

x n ) al variare del parametro x ∈ < e, se convergente, determinare la somma. (Livello1)

Studiare il carattere della serie P ∞

n=1 (x 2 −3) n al variare del parametro x ∈ < e, se convergente, determinare la somma. (Livello1)

Studiare il carattere della serie P ∞

n=1

³ 1 n

´

al variare del parametro x ∈ <. (Livello1)

Studiare il carattere della serie P ∞

n=1

¡ 1

n

¢ e

al variare del parametro x ∈ <. (Livello1)

Studiare il carattere della serie P ∞

n=1 (n)

al variare del parametro x ∈ <. (Livello1)

2

Data la serie P ∞

1. a _n = (−1) ^{2n 2n} _n

−1 ⁺¹

2. a _n = (−1) ⁿ⁺¹ 2n 3. a _n = n sin n 4. a _n = (−3) ²ⁿ⁺¹ 5. a _n = ¡ ₁

¢ _n

₊₂ 6. a _n = (−2) ⁿ 7. a _n =

´ _12n

8. a _n = ^{sin n} _n 9. a _n = _{3n+sin n} ⁿ

n ² − 1 = +∞

1. P _∞

n=2 3 ¡ ₁

¢ _n+1 2. P _∞

n=0 (−2) ³ⁿ 3. P _∞

n=1 4(5) ⁵ⁿ 4. P _∞

n=1 (e) ⁻²ⁿ

Determinare il carattere delle seguenti serie. (Livello1) 1. P _∞

2. P _∞

n=1 (n ² ) 3. P _∞

n=1 e(n ^−e )

Si determini la somma della serie P _∞

¡ ₁

¢ _n + ¡ ₁

¢ _n

1. P _∞

2. P _∞

n=1 ln(n ² + 1) 3. P _∞

n=1 e ⁻²ⁿ⁺⁵ + 3

Studiare il carattere della serie P _∞

x ⁿ ) al variare del parametro x ∈ < e, se convergente, determinare la somma. (Livello1)

Studiare il carattere della serie P _∞

n=1 (x ² −3) ⁿ al variare del parametro x ∈ < e, se convergente, determinare la somma. (Livello1)

Studiare il carattere della serie P _∞

Studiare il carattere della serie P _∞

¡ ₁

¢ _e

Studiare il carattere della serie P _∞

Data la serie P _∞

n=0 ln ⁿ |x − 2| determinare il carattere ∀x ∈ < e ove converge calcolare la somma. (Livello 2)

Studiare il carattere della serie P _∞

´ _n

Determinare il valore del parametro reale a tale che P _∞

Risolvere la seguente equazione P _∞

´ _n

= P _∞

´ _n+1 al variare del parametro x ∈ <. (Livello 1)