Esercizio 1 Stabilire se le seguenti serie sono convergenti e/o assolutamente convergenti (sono fornite alcune soluzioni):

(1)

Esercizio 1 Stabilire se le seguenti serie sono convergenti e/o assolutamente convergenti (sono fornite alcune soluzioni):

• P ∞ k=1 1/ √

^k

k ;

• P ∞ k=1

k7

^k

5

^k

+k

^k

;

• P ∞

k=1 (−1) ^k ^√ ¹

k+2 ;

• P ∞

k=1 (−1) ^k sin(1/k) ;

• P ∞

k=1 (−1) ^k ( √

^k

3 − 1) (sugg.: √

^k

3 − 1 = e

^{log 3}^k

− 1 ∼ . . . ) (C.) ;

• P ∞

k=1 (−1) ^k (1 − cos(1/k)) (A.C.) ;

• P ∞

k=1 (−1) ^{k k+7} _k

2

+1 ;

• P ∞ k=1

k

²

−7 3+k

³

;

• P ∞

k=1 e ^1/k − 1 − ¹ _k (A.C.) ;

• P ∞ k=1

log(1+

¹_k

)

k ;

• P ∞ k=1

log k k

²

;

• P ∞

k=1 k ² /3 ^k ;

• P ∞

k=1 (2k)!/(k!) ² (N.C.) ;

• P ∞ k=1

2

^k

k!

k

^k

(A.C.) ;

• P ∞ k=1

3

^k

k!

k

^k

(N.C.) ;

• P ∞ k=1

k

¹⁰⁰

3

^k

log k ;

• P ∞

k=1 1/(log k) ^k ;

• P ∞ k=1

cosh(2k)

e

^k

(N.C.);

• P ∞

k=1 (−1) ^k k sin ² (1/k) (C.);

• P ∞

k=2 cos(kπ) arctan( _k ^k+3

2

−1 ) (C.);

• P ∞

k=1 cos(kπ) arctan(e ^−k ) (A.C.);

• P ∞ k=1

log(k

²

)

k (N.C.) ;

1

(2)

• P ∞

k=1 (−1) ^{k log(k} _k

²

⁾ (C.);

• P ∞ k=1 ( √

^k

k − 1) (N.C.);

• P ∞

k=1 ( p

^k

√

_k

k − 1) (A.C.);

• P ∞

k=1 sin( _k ^k

10⁷

+k ⁺²

⁸

) 5/3

/ log( ^k(k _k

3²

+k ^+3k)

²

)

(A.C.) ;

• P ∞

k=1 [1 − cos(

√ k

k+2 )]/

¹⁰⁰

√

k (A.C.) ;

• P ∞

k=1 k ⁹⁹⁹⁹⁹⁹ (e ^(e

^−k

⁾ − 1) (A.C.) ;

• P ∞

k=1 log(1 + sin( ^k _1+e

²⁰¹³k

)) (A.C.) ;

• P ∞

k=1 log(1 + sin( _1+k ^k

²⁰¹³2014

)) (N.C.) ;

• P ∞ k=1

2 sinh k e

^k

k

(sugg.: dimostrare che lim _k→∞ ^{2 sinh k} _e

k

= 1) (N.C.) ;

• P ∞ k=1

2 sinh k e

^k

e

^2k

(sugg.: dimostrare che lim _k→∞ ^{2 sinh k} _e

k

e

^2k

= 1/e) (N.C.);

• P ∞ k=1

2 sinh k e

^k

ke

^2k

(sugg.: usare il criterio della radice) (A.C.).

Legenda: A.C.= assolutamente convergente; C.= convergente, ma non assolutamente convergente; N.C.=non convergente.

Esercizio 2 Dire per quali valori del parametro x ∈ R le seguenti seguenti serie risultano convergenti:

• P ∞

k=1 5 ^k x ^k (sol: − ¹ ₅ < x < ¹ ₅ ) ;

• P ∞ k=1

5

^k

k x ^k (sol: − ¹ ₅ ≤ x < ¹ ₅ ) ;

• P ∞ k=1

5

^k

k

²

x ^k (sol: − ¹ ₅ ≤ x ≤ ¹ ₅ ) ;

• P ∞

k=1 (e ^1/k − x) (sol: nessun x) ;

• P ∞

k=1 (e ^1/k − x − ¹ _k ) (sol: x = 1) ;

sugg.: per il caso x = 1 pu` o tornare utile lo sviluppo di Mac Laurin di e ^t −1−t;

• P ∞

k=1 (−1) ^k (e ^1/k − x) (sol: x = 1) ;

• P ∞

k=1 (sin ¹ _k − ^x _k ) (sol: x = 1)

sugg.: per il caso x = 1 pu` o tornare utile lo sviluppo di Mac Laurin di sin t − t;

2

(3)

• P ∞

k=1 (1 − cos ^x _k ) (sol: ∀ x) ;

• P ∞ k=1

(−1)

^k

√

3

k

²

(x ² + 2x) ^k (sol: − √

2 − 1 ≤ x < −1 oppure −1 < x ≤ √

2 − 1) ;

• P ∞ k=1

cosh kx e

^k

k

(sol: −1 ≤ x ≤ 1) ;

• P ∞ k=1

2 cosh kx e

^k

k

(sol: −1 < x < 1) ;

• P ∞ k=1

1 2

^{k 3}

√

k (x ³ + 1) ^k (sol: − √

³

3 ≤ x < 1) ;

• P ∞ k=1

1

2

^k

k

³

(x ³ + 1) ^k (sol: − √

³

3 ≤ x ≤ 1) ;

• P ∞ k=1

3

^k

k

x+2 x

k

(sol: −3 < x ≤ − ³ ₂ ).

Si dica anche per quali x le serie proposte risultano assolutamente convergenti.

Esercizio 3 Si dica per quali valori del parametro α ∈ R le serie P ∞

k=0 e ^1/k − 1 − _k ¹ − _2k ¹

2

− _3!k ¹

3

α

, P ∞

k=0 tan( ¹ _k ) − ¹ _k α

risultano convergenti. Suggerimento: si utilizzino gli sviluppi di Mac Laurin di e ^t − 1 − t − ^t ₂

Esercizio 1 Stabilire se le seguenti serie sono convergenti e/o assolutamente con- vergenti (sono fornite alcune soluzioni):