teorema Per ns 2 IT s 1 An B è connesso no e An B X S B s n e IR IT Sh no È GENERATO DALL'IMMAGINE quindi 1T s no 1 ti 72

(1)

A

^P ^P ll C A ^{2 I} 0 N 1 DEL _{TE O} RE ^MA di A N

KAMP

^E ^N

teorema ^Per

^ns

² ^IT ^s ¹

DI ^M Ô ^{5 TRA} ² Î ÔNE

SI ^A

^NO ^S ^e

^N

^DUE ^PUNTI ^distinti ^di

^S

E CONSIDERIAMO

A ^s s IN

B ^s

n e

IR

An B _è

connesso

no

^e

^{An B} X ^S

APPLICHI

A NO

L'OSSERVAZIONE

^CHE

IT Sh

_no

_È

GENERATO

DALL'IMMAGINE

di

tt A

_no _e _di

tt B

^no

11

Il

1 ₁

Perche A

^e

Beth

quindi ^1T ^s

^no

¹

^ti ⁷²

(2)

IL

^TEOREMA DI V ^{A N} _{K A} M P E N D E TERMINA

Milk

DET.IN

2lONED siano ⁶

e

H

^e

l ^ho _gyri

e siero a

6 L

^e

p ^H L

due _molisani _di

_gruppi

Dico ^che l è il _prodotto libero ^di Ge H

se

M _gruppo Fp ^G ^M ^di gruppi

µ H M di _oggi A L M

di

_greggi

tale _le

µ ^lo

^d

^y X op

G

Hi

_i

e M

n

(3)

2 SIANO K H G L dei gruppi

e siano d

p ft ^{dei muli} ^di oppi

K x ^G

si ^o ^la

H l

B

con

Lo 8 _po 5

Allora ^dico ^che L _è il prodotto libero

di ^G

^e

^H _sopra k

^se

ti _e ^C in te ^te n

K si ^ce

la

a i

7 n

tali ^esiste

un unico

1 ^GL ^D

tale ^che _lo 2 e top _i

(4)

011 ^il

^nero

^del ^prodotto libro di Ge H

si ottiene dalla seconda definizione per IL ^L

Oss

²

IL PRODOTTO

^LIBERO ^DI

G

e

H

SOPRA

IL È

UNIVOCAMENTE DETERMINATO A MENO DI

ISOMORFI

5h0 UNICO

K ^G

il

È

e

SIANO Le L

DUE PRODOTTI

ALBERI

DI

G

^e

4

^SOPRA

IL

Se prendiamo ^Nel _q

^L µ

p

DAL

^FATTO ^CHE

L È

^IL ^PRODOTTO ^LIBERO

DI

^G ^E ⁴ ^SOPRA ^IL

71 ^X

^TALE ^CHE

XOB.ir ^Xod ^d

7 _l l

(5)

ANALOGAMENTE 71 ^X ^l ^L

^TALE ^cui

op p l

₀₂

_L

DI ^nostro 2 al 21

^e

^l 21

K

^G

slot Il

a

OSSERVIAMO

ICH

^e

^2M ^HA

^LA ^STESSA

PROPRIETÀ

Idol

²¹ ^a

p

L L

PER

^UN

cita X Ill

ANALOGAMENTE X ₀₁ _2dL

Notazione

IL

PRODOTTO

LIBERO ^DI ^G ^e

H

SI

^indica ^con

G H µ

IL PRODOTTO LIBERO DI G e H SOPRA

K

SI INDICA CON G X

H

K

(6)

TE O RENA DI VAN K A ^N ^PEN

IT ^X

^no

^IT

^A ^no

it B

no

mmm

titanio

O S T R U ² I 0 NE d E L P _R O D O T TO L 1 B E RO

Costruisco 6 TI

Sia f ^l'insieme ^delle ^liste _finite ^di

elementi di G

e

H Cioè

un

eternit ¹ P

è

^o

la ^lista

^o ^una succession

finto

^si ⁿ

_Rh

con

ri

^e

G

^u

H

Seu P ^definiamo

^un

^prodotto

0 0 ⁰

R

Nn

^R

^Nn

^R

^Nn

ah ^y Yin ^Rn

^Y

^Yin

è associativo

e

ha

un

elemento natio

che è 0

(7)

DEFINISCO L f

è

la ^relazione ^di equivalenza

^generata

dalle

relazioni

0

ⁿ

1g

ⁿ

1h

Mh Rh ha hip nn ^Xi Io ^I

ht ^N con

Rh Rh

^E

^G

^e

^y ^xh.int

ⁱⁿ ^G

La relazione _analoga

^con

^H

al posto di G

Ma Mh 1g ^mhm ⁿⁿ ^tenete 7,41 ^Rw

DICO

^CHE

p

^e

^q

^E

JP

^sono

equivalenti

^se

esiste

^una successione

di parole

p ^pa

p p p Piu 9

tt ⁱ

dove gusti

^sono ^una

delle

³

^della lista precedete

OSSERVAZIONE

Te _prep ^allora

p q ^p q

BASTA

^FARE ^IL ^CASO ^IN

CUI

(8)

p p

^e

^è

^due

delle

3

relazioni

che _compaiono nella lista µ

FACCIAMO

^IL ^CA ^SO DELLA S ^E CON D AO

TIPO

^DI RELAZIONE

P

^X

^{Xu Xu Xun} ^Xun

^N

P

^X

Xin Y

^un ^N

con

Xu ^Xian

^e

^G ^y Kuhn ^prodotto ^MG

P

4 X

Xu Xu Xun Xun Xin 9

P'o 2 _q Xu Y Xin ^{Xu 9}

p.anpi.qpaa.name

mi

ESERCIZIO

^IL ^caso

p p 1g

due passaggi

osservazione ^se ^q

^u ^q

^allora ^p ^q ^pag

QUINDI ^POSSO ^DEFINIRE

^UN ^PRODOTTO ^IN

^L

p g ^p g

1 ⁰

(9)

L tra ^un ^prodotto associativo

ha un'unità 1L

L

^è ^un

_gruppo

In ^an ^ri ^ri

in xi xi

Xu Xii ^xi

xu È ^ri

e cri via

1h

ô ôro ê

^1g

il 4

03 ¹ Il

Decimo 2 G L _2cg _g

p H L pisa ^h

LA

DEFINIZIONE DI

9 sa Gas ^g

^g

^sa si

lista l

4cg ^alga

Le p

^sono

milioni ^di _gruppi

VERIFICO

^CHE

L ^Ce ^H

(10)

G

1 ^a

ME L

m

7

D ^E ^FINISCO

I ^P ^M _Eco _In

R

nu q XD

dove applica q

^se

nei

^c

^G applico µ

^re

né

^c ^te

DEVO

VERIFICARE

^CHE

1

TI _passa ^al _gloriato

prop alla

p

è pi

2 su

l definisce

^un

^mutismo X

con le proprietà ^richieste

D ^P ^{Xu Ken}

^un

ⁱⁿ _{me nn}

^E ^G

P Xu 4 Xu ^Xu ^y ^Runny piatto

in

G

I

^p

È _Xu _gira drum è _run Rn

(11)

È d È _n _Xu al ^è ^Xun ⁿⁿ

poiché e

ⁱ

di _groppi EC ecru Elam

DEFINISCO X

^p

È

^p

Definisce X L ^M

2

X od e 1 _opere

^e

^X

^è

^di

groppi

VERIFICO X

^O

^L _µ

X

^o a

Cs Ets ^pls

COSTRUZLONEDIGG.tt

Se lo è

^un gruppo e

X

^c

^G

il sottogruppo ^normale ^generato da ^X

X _primule n ^N

N gg

X ^chi

TORNI ^A ^NO ^ALLA COSTRUZIONE DI

G

(12)

KI

il _H ohi

pggxh.si ^exit _III

sia N a.lt rfHY _gnnonle

DEFINISCO G H ^G

HN

it

G

^x

te

^G

H ke

^t

^N

2 G G _ti _D

it ^o

da

B ^H ^G è ^H ^B

^IT ^o

^D

K

^g

a CI

Fa

(13)

È Idotepot

d ^o

8

ⁿ

B

^o ⁵

verbo

rex _p ^rex ¹

it 2 ^th B ^cren 1

20 ^FATTO

K ^G

di

s ^a

di

P X

^i_

Y

^o

⁰ p

^o

^t

ⁿ

7 È ^G

^x

^H ^M ^liete ^le

F Iod È p

unicità di F _implica _quella ^{di t}

per dinastia le X esiste devo verificare

che

N

1

e

poi quelle ^Go ^di

^amour

(14)

per I s N

_e

LE è agevole

basta verificare le batt _X

X I ^alti Balraj

c

K

I ^a _IHI _roast

q Nx TINNÌ 1

A 50

PARTICOLARE

Sia X

un

insieme finito finito

^{non serve}

voglio ^costruire

^un

gergo che ha

questa

proprietà

a X L it

a

s

m

Me _e X ^M _e ^non di _gruppi

I I ^L ^M ^di gruppi

con

^o

² p

(15)

si

chiama il

_gruppo

libero

^generato

^da X

Se X In ¹ ^chi

^è

^l

L ₂

2 X 2h ¹ al

¹

mt Il

ⁱⁿ

teorema Per ns 2 IT s 1 An B è connesso no e An B X S B s n e IR IT Sh no È GENERATO DALL'IMMAGINE quindi 1T s no 1 ti 72

A

KAMP

teorema Per

2 IT s 1

SI A

N

S

A s s IN

B s

IR

An B è

no

An B X S

APPLICHI

L'OSSERVAZIONE

IT Sh

È

DALL'IMMAGINE

tt A

tt B

Il

1 1

Perche A

Beth

quindi 1T s

1

IL

Milk

DET.IN

2lONED siano 6

H

l ho gyri

6 L

p H L

due molisani di

Dico che l è il prodotto libero di Ge H

M gruppo Fp G M di gruppi

µ H M di oggi A L M

di

tale le

µ lo

y X op

G

Hi

e M

2 SIANO K H G L dei gruppi

p ft dei muli di oppi

K x G

si o la

H l

B

Lo 8 po 5

Allora dico che L è il prodotto libero

di G

H sopra k

ti e C in te te n

K si ce

la

a i

7 n

tali esiste

1 GL D

tale che lo 2 e top i

011 il

del prodotto libro di Ge H

si ottiene dalla seconda definizione per IL L

Oss

IL PRODOTTO

G

H

IL È

ISOMORFI

K G

il

SIANO Le L

ALBERI

G

4

IL

teorema ^Per

² ^IT ^s ¹

SI ^A

^N

^S

A ^s s IN

B ^s

An B _è

^{An B} X ^S

_È

1 ₁

quindi ^1T ^s

¹

2lONED siano ⁶

l ^ho _gyri

p ^H L

due _molisani _di

Dico ^che l è il _prodotto libero ^di Ge H

M _gruppo Fp ^G ^M ^di gruppi

µ H M di _oggi A L M

tale _le

µ ^lo

^y X op

p ft ^{dei muli} ^di oppi

K x ^G

si ^o ^la

Lo 8 _po 5

Allora ^dico ^che L _è il prodotto libero

di ^G

^H _sopra k

ti _e ^C in te ^te n

K si ^ce

tali ^esiste

1 ^GL ^D

tale ^che _lo 2 e top _i

011 ^il

^del ^prodotto libro di Ge H

si ottiene dalla seconda definizione per IL ^L

K ^G

Se prendiamo ^Nel _q

71 ^X

XOB.ir ^Xod ^d

7 _l l

ANALOGAMENTE 71 ^X ^l ^L

_L

DI ^nostro 2 al 21

^l 21

^2M ^HA

ANALOGAMENTE X ₀₁ _2dL

IT ^X

^IT

Sia f ^l'insieme ^delle ^liste _finite ^di

eternit ¹ P

la ^lista

_Rh

Seu P ^definiamo

^prodotto

0 0 ⁰

^Nn

^Nn

ah ^y Yin ^Rn

^Yin

la ^relazione ^di equivalenza

Mh Rh ha hip nn ^Xi Io ^I

^G