1. Scrivere come numero razionale i numeri 1, ¯7; 1, 32; 1, 123; 0, 12¯3.
Studiare il carattere delle seguenti serie numeriche:
2. X
n
1 n2− n 3. X
n
(−1)n 1
np, p ∈ R 4. X
n
an n!
5. X
n
sen 1
nα, α > 0 6. X
n
sen1
n
α
, α > 0
7. X
n
log n2+ 1 n2
8. X
n
n3 en 9. X
n
1 n log n 10. X
n
1 log n!
11. X
n
1 n log n log(log n) 12. X
n
n!
nnan 13. X
n
2n+ n 3n−√
n 14. X
n
√n + 1 −√ n n 15. X
n
1
n(log n)p, p > 0 16. X
n
1
n(log(log n))p, p > 0 17. X
n
n22n+1 3n 18. X
n
n2+ n − 1 n2+ 3n + 5
n2
19. X
n
tg
n +√ n n3− n + 2
1
20. X
n
sen (log n)
√7n5+ nn 21. X
n
1 n!
22. X
n
1 − cos1n
√
7n5+ nn2 23. X
n
π
2 − arccos 1 nα
, α > 0
24. X
n
"r 1 + 1
nα − 1
#
, α > 0
25. X
n
"
1 + 1
nα
β
− 1
#
, α, β > 0 26. X
n
h
e1/n4− 1i
nα, α > 0 27. X
n
n + log n − sen n 7n3− cos2 n2 + 5n 28. X
n
n5+ log n − senn1+ cos n 5n7− 3n2+ 5n 29. X
n
alog n, a > 0 30. X
n
arcsen 1
√n 31. X
n
arcsen1 + log n
√n3+ 1
32. X
n
n + 1 n + 2
n3
33. X
n
n + 2 n + 1
n3
34. X
n
n + 1 n + 2
n log n
35. X
n
1
n(log n)p, p > 0 36. X
n
1
n(log log n)p, p > 0 37. X
n
π
2 − arctg np
, p > 0 Per questa si usi il seguente fatto:
senπ
2 − arctg x
= cos(arctg x) , cosπ
2 − arctg x
= sen (arctg x)
da cui tg (π2 − arctg x) = tg arctg x1 = x1 per cui, applicando l’arcotangente
ad entrambi i membri dell’uguaglianza, si ottiene infine (perch´e?)
arctg1 x=
π
2 − arctg x se x > 0 ,
−π
2 − arctg x se x < 0 . Per cui, per x = np, si haπ
2 − arctg np
= arctg 1 np. 38. X
n
cos(2πn)1 n 39. X
n
1 (n + sen n)n 40. X
n
en 1 +n1n2 41. X
n
cos 1
nα
n2
, α > 0
42. X
n
cos
1
n2+ n
α
− 1
n2
Si osservi che questa serie `e a termini negativi. Cosa cambia?
43. X
n
alog nα, a, α > 0 44. X
n
an2, a > 0
45. X
n
e3n+ en+ 1 2e3n+ 2
n
46. X
n
"
n r
1 + 1 n− 4
r 1 − 1
n
!#n
Ora altre serie un po’ pi`u difficili (nelle pagine che seguono potete trovare qualche suggerimento):
47. X
n
a
√n, a > 0
48. X
n
2n 1 3 −1
3sen3 n
n
49. X
n
arccos s
1 + log
1 − 1
nα
, α > 0 50. X
n
π
2 − arcsen n n + 1
51. X
n
π
2 − arcsen nα nα+ 1
, α > 0 52. X
n
n1/n− 1
53. X
n
[sen (sen (n! log n))]n 54. X
n
(−1)nn log n 1 + n2 55. X
n
π
2 − arccos
1 nα
, α > 0 56. X
n
π − arccos
− nα nα+ 1
, α > 0
57. X
n
(−1)nan dove an =
1
n se n `e pari 1
n2 se n `e dispari 58. X
n
sen 1
2
1 + 1
n
nn
Suggerimenti
Se questi suggerimenti non sono sufficienti si vedano i suggerimenti bis alla pa- gina seguente.
47. Per a > 1 `e facile vedere che la serie diverge a +∞.
Per a ∈ (0, 1) si ha che limn→+∞nαa
√n= 0 per ogni α > 0.
49. Si usi il punto 1) del suggerimento di 50. Inoltre poich´e arccosq
1 + log 1 −n1α >
0 si ha che sen (arccosq
1 + log 1 −n1α) > 0. Quindi
sen
"
arccos s
1 + log
1 − 1
nα
#
= v u u tsen2
"
arccos s
1 + log
1 − 1
nα
# . 50. Utilizzare i seguenti fatti:
1) una serieX
n
an, se limn→+∞an= 0, ha lo stesso carattere della serie X
n
sen an;
2) sen (x + y) = sen x cos y + cos x sen y 3) cos α =√
1 − sen2α per α ∈ (0, π/2) 51. Analogo al 50.
52. Usare l’uguaglianza per x > 0: x = elog x.
53. Si ha che |sen (n! log n)| 6 1 per cui |sen (sen (n! log n))| 6 sen 1 < 1.
55. Analogo al 50.
56. Analogo al 49.
58. 12 1 +n1n
converge a e/2, per cui, definitivamente, si ha che 12 1 +n1n
>
1. D’altra parte 12 1 + n1n
< e/2 < π/2 per cui sen 1 6 sen 1
2
1 + 1
n
n
6 sen (e/2) < 1.
Per confronto la serie converge.
Suggerimenti BIS
47. Per cui per il confronto asintotico, poich´e
n→+∞lim a√n
1 nα
= 0
per ogni α > 0, scegliendo α > 1 si ha che la serie converge.
49. Si ha quindi che
sen
"
arccos s
1 + log
1 − 1
nα
#
= v u u
t1 − cos2
"
arccos s
1 + log
1 − 1
nα
#
= s
− log
1 − 1
nα
. Poich´e
n→+∞lim
q− log 1 − n1α q
− −n1α
= 1
per confronto si ha che la serie data converge per α > 1.
50. La serie data ha lo stesso carattere della serieX
n
sen π
2 − arcsen n n + 1
. Poich´e sen π2− x = cos x si ha
senπ
2−arcsen n n + 1
= cos
arcsen n n + 1
=
= s
1 − sen2
arcsen n n + 1
= s
1 −
n
n + 1
2
=
s 2n + 1 (n + 1)2 52. n1/n= elog nn
53. Per cui la serie data converge per confronto:
0 6 |sen (sen (n! log n))|n6 (sen 1)n e 0 < sen 1 < 1 per cui la serieP
n(sen 1)n converge.
