Matematica Discreta II
Lezione del giorno 12 novembre 2007
Se A è un anello e se f(x)A[x] è un polinomio a coefficienti in A nell’indeterminata x, talvolta ometteremo, nella scrittura esplicita di f(x), un monomio aixi se il coefficiente ai=0A; se inoltre A è un anello con unità, ometteremo talvolta il coefficiente ai se ai=1A .
Per esempio in Z6[x] potremo scrivere, invece di f(x)=[2]+[0]x+[1]x2+[4]x3: f(x)=[2]+x2+[4]x3
Se A è un anello e se f(x)A[x] è un polinomio diverso dal polinomio nullo, chiameremo grado di f(x) il massimo esponente m tale che il coefficiente am di xm sia 0A: il corrispondente coefficiente am sarà detto coefficiente principale o direttore di f(x).
Teorema. Se A è un anello in cui vale la legge di annullamento del prodotto, e se f(x), g(x)A[x]
sono polinomi non nulli, di grado n, m rispettivamente:
1) Il polinomio prodotto f(x)g(x) è un polinomio non nullo (quindi anche in A[x] vale la legge di annullamento del prodotto)
2) Il polinomio prodotto f(x)g(x) ha grado n+m Dimostrazione:
Poniamo f(x)=a0+a1x+a2x2+…..+anxn, g(x)= b0+b1x+b2x2+…..+bmxm, con an, bm0A. Si ha:
h(x)=f(x)g(x)=a0b0+(a0b1+a1b0)x+….+anbmxn+m con anbm0A (per l’ipotesi su A).
Ciò dimostra sia 1) che 2).
Dato un polinomio f(x)=a0+a1x+a2x2+…..+anxnA[x] ed un elemento A, chiameremo valore assunto da f(x) in il seguente elemento di A:
f()= a0+a1+a22+…..+ann
Per esempio se f(x)=[1]+[2]x+[3]x2Z5[x] e se =[2]Z5 si ha f([2])=[1]+[2][2]+[3][2]2=[2].
Teorema. Se A è anello commutativo, se f(x), g(x) A[x], se h(x)=f(x)g(x) ed A, si ha:
h()=f()g()
(quindi per calcolare il valore assunto dal polinomio prodotto basta moltiplicare i valori assunti dai singoli fattori).
Dimostrazione:
Posto f(x)=a0+a1x+….., g(x)=b0+b1x+….. si ha:
h(x)=f(x)g(x)=a0b0+(a0b1+a1b0)x+….
da cui, sfruttando la proprietà commutativa in A:
f()g()=(a0+a1+…..)(b0+b1+…..)=a0b0+a0b1+a1b0+…..=a0b0+a0b1+a1b0+…..=
= a0b0+(a0b1+a1b0)+…..=h().
Un elemento dell’anello A è detto soluzione dell’equazione f(x)=0 oppure radice del polinomio f(x) se f()=0A .
Per esempio l’elemento =[2]Z5 è radice del polinomio f(x)=[1]+[2]xZ5[x] perché f([2])=[0].
Dato un anello (commutativo) A e gli elementi , A, diremo che è divisore di (e scriveremo
) se esiste un elemento A tale che =.
Lemma. Se A è un anello commutativo con unità, comunque dati , A:
( - )(n - n) per ogni naturale n.
Dimostrazione:
Per induzione (Ia forma).
Per n=1 è vero in quanto ( - )(1 - 1) perché ( - )1A= - .
Supponiamolo vero per n, e dimostriamolo per n+1. Si ha per ipotesi ( - )=(n - n), con A.
Allora:
n+1 - n+1=n+1 - n + n - n+1=(n - n)+ ( - )n=( - )(+n) e si ottiene ( - )(n+1 - n+1) , come si voleva.
Teorema di Ruffini. Siano A un anello commutativo con unità, f(x)A[x], A. Allora:
è radice di f(x) (x - )f(x) Dimostrazione:
(): Posto f(x)=a0+a1x+a2x2+…..+anxn, si ha, essendo f()=0A: f(x)=f(x)-f()=a1(x-)+a2(x2-2)+…..+an(xn-n)
Per il Lemma (essendo A[x] anello commutativo con unità perché lo è A) si ottiene (x-)(xj-j) per ogni j=1,2,…n, da cui si deduce facilmente che (x-)f(x).
(): Sia f(x)=(x-)g(x), con g(x)A[x]. Per un Teorema precedente, per calcolare il valore assunto da f(x) in , si può calcolare il prodotto dei valori assunti dai fattori (x-), g(x):
f()=(-)g()=0Ag()=0A (ricordando che in un anello qualunque 0Aa=0A per ogni aA).
