Matematica Discreta I Lezione del giorno 19 novembre 2007 Calcoleremo ora la cardinalità di C

(1)

Matematica Discreta I

Lezione del giorno 19 novembre 2007

Calcoleremo ora la cardinalità di C

^rn

,

m

ossia il numero delle combinazioni con ripetizione di n degli elementi a

1

,a

2

,…,a

n

presi ad m ad m.

Una generica combinazione con ripetizione di C

^rn,m

si può rappresentare nella forma:

a

1

,a

1,

….,a

1

,a

2

,a

2

,…,a

2

,……..,a

n

,a

n

,…,a

n

dove a

1

compare m

1

volte (anche 0 volte, se non compare), a

2

compare m

2

volte,…. , a

n

compare m

n

volte, e dove ovviamente la somma m

1

+m

2

+….+m

n

coincide con m (visto che la combinazione coinvolge esattamente m elementi fra gli n elementi dati). Possiamo costruire, a partire da tale combinazione con ripetizione, una opportuna parola sull’alfabeto {0,1} nel modo seguente:

00….0100….01………..100…0

dove gli zeri consecutivi all’inizio della parola sono in numero di m

1

, dopo di essi vi è un 1 che funge da “separatore”, il secondo settore di zeri consecutivi contiene un numero m

2

di zeri, di seguito vi è un altro 1 che funge da “separatore”, e così procedendo fino all’ultimo “separatore” 1 seguito da altri zeri consecutivi in numero di m

n

.

Per esempio se n=4, se gli elementi sono a

1

,a

2

,a

3

,a

4

e se m=10, a partire dalla seguente combinazione con ripetizione dei 4 elementi presi a 10 a 10 :

a

1

a

1

a

2

a

3

a

3

a

3

a

4

a

4

a

4

a

4

si può costruire la seguente parola sull’alfabeto {0,1}:

0010100010000)

La parola costruita ha un numero di 1 (separatori) uguale ad (n-1), ed un numero di 0 uguale alla somma m

1

+m

2

+….+m

n

, cioè uguale ad m. In totale la lunghezza della parola è (n-1)+m=n+m-1.

Se indichiamo con B l’insieme di tutte le parole sull’alfabeto {0,1} di lunghezza (n+m-1) in cui la lettera 1 compare esattamente (n-1) volte, il procedimento precedente permette di costruire una funzione f: C

^rn,m

 B. Dal ragionamento fatto nella lezione precedente sappiamo che B ha

cardinalità

 

 









1n 1m n

.

Ora dimostriamo che la funzione f è biunivoca.

Per dimostrare che f è iniettiva basta osservare che, date due combinazioni diverse in C

^rn,m

, in esse vi sarà qualche elemento a

i

che compare un numero diverso di volte nelle 2 combinazioni, quindi le 2 parole corrispondenti sull’alfabeto {0,1} saranno diverse, perché nel “settore” corrispondente all’elemento a

i

vi sarà un numero diverso di 0.

Per dimostrare che f è surgettiva, data una parola qualunque in B, è facile (invertendo la costruzione precedente) trovare una combinazione di C

^rn,m

di cui la parola data sia la corrispondente mediante la funzione f: basta cominciare a “leggere” la parola da sinistra verso destra, isolare il primo “settore”

di 0 consecutivi (seguiti da un 1), e prendere nella combinazione un numero di a

1

uguale al numero di tali 0 e così via.

Possiamo allora concludere che il numero delle combinazioni con ripetizione di n elementi a

1

,a

2

,

…,a

n

presi ad m ad m è il seguente:

(2)

 C

^rn,m

= B=

 

 









1n 1m n

.

Proprietà del coefficiente binomiale

Abbiamo visto che, fissati i numeri naturali n,m, (con mn) il coefficiente binomiale _



 



 m

n conta il numero delle combinazioni semplici di n elementi presi ad m ad m, o equivalentemente il numero dei sottoinsiemi di cardinalità m contenuti in un insieme di cardinalità n.

Fissato il numero n, i valori possibili di m sono m=1,2….,n.

Ma tenendo conto del significato insiemistico, possiamo estendere per convenzione il valore del coefficiente binomiale anche al caso m=0, definendo _



 



 0

n =1, coerentemente con l’osservazione che esiste 1 solo sottoinsieme di cardinalità 0 (quello vuoto) contenuto in un insieme di cardinalità n.

Dunque i possibili coefficienti binomiali con n fissato sono i seguenti:

 

 



 0

n =1, _



 



 1

n , ……., _



 



 1 - n

n , _



 



 n n .

Notare che si ha _



 



 n n =

m!

1) n 2)....(n 1)(n

n(n    

= n!

n! =1 , quindi i 2 valori “estremi” (il primo e l’ultimo) sono ambedue uguali a 1.

Costruiamo ora una formula alternativa per il calcolo di _



 



 m

n (ma all’inizio valida solo nel caso m≠0, m≠n).

Nella formula originale:

 

 



 m n

= m!

1) m 2)....(n 1)(n

n(n    

supponendo che sia m≠0, m≠n, moltiplichiamo numeratore e denominatore per (n-m)!, ottenendo la

nuova formula:

(3)

 

 



 m n

= ⁿ⁽ⁿ ^ ^1)...(n _m! ^ _(n ^m _- _m)! ^ ^1)[(n ^- ^m)! ^] = ⁿ⁽ⁿ ^ ^1)...(n ^ ^m _m! ^ _(n ¹⁾⁽ⁿ _- _m)! ^- ^m)(n ^- ^m ^- ^1)...1 =

m)!

- (n m!

n!

Otteniamo dunque la formula alternativa:

 

 



 m n

= m! (n - m)!

n! (se m≠0, m≠n) .

Tale formula non ha senso nei casi m=0, m=n, perché contiene un termine 0! al quale non abbiamo attribuito significato. Ma possiamo dare significato alla formula anche nei casi m=0, m=n, definendo convenzionalmente 0!=1, per ritrovare i valori già noti:

 

 



 0

n = _0! _(n ^n! _- _0)! =1 _



 



 n

n = _n! _(n ^n! _- _n)! =1

Utilizzando questa formula alternativa per il coefficiente binomiale, si ottiene il:

Teorema: Se n è un numero naturale, comunque preso un intero m con 0≤m≤n si ha:

 

 



 m n

= 



 



 m-n n

Dimostrazione.

Usiamo la formula alternativa per sviluppare il secondo membro ed arrivare al primo:

 

 



 m-n n

= (n - m)! [n - (n - m)]!

n! =

m!

m)!

- (n

n! =

m)!

- (n m!

n! =

 

 





m

n

(4)

Dal Teorema precedente si ha che, fissato il numero naturale n e facendo variare m=0,1,…,n, i coefficienti binomiali:

 

 



 0 n

, 



 



 1

n

, 



 



 2 n

, …… ,

 

 



 2-n n

, 



 



 1-n n

, 



 



 n n

sono uguali a coppie simmetriche (equidistanti rispetto al “centro” della successione):