Exercice IV-6: Double pendule

Exercices de cours du chapitre IV : systèmes à N DDL

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Exercice IV-6: Double pendule

Objectif : Comparaison des réponses linéarisée et non linéarisée (sous Matlab).

Le Double pendule est constitué de deux masses ( m m ₁ , ₂ ) soumises à leur poids propre. Elles sont reliées par deux fils inextensibles de longueur respective ( , A A _{1 2} ) . Effectuez la mise en équations, sans linéarisation.

Pour simplifier la programmation on prendra : m ₁ = m ₂ = m , et A ₁ = A ₂ = A

Linéariser les équations et déterminez la réponse à des conditions initiales données.

Sous Matlab comparer les solutions linéarisée et non linéarisée.

θ ₁ θ ₂

y G

o

g G

x G _o A 1

A 2 m

1

m

2

Corrigé de l’exercice IV-6: Double pendule

Mise en équations :

• ^{2Ec = m 1 1 1 A 2 θ  2 + m 2} ( ^{A 1 1 θ  y G 1 + A 2 θ  2 y G 2} ) ²

2 2 2 2

1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1

2 Ec = ( m + m ) A θ  + m A θ  + 2 m A A θ θ   cos( θ θ − )

• Ep = − m g 1 A 1 cos θ 1 − m g 2 ( A 1 cos θ 1 + A 2 cos θ 2 )

• δ T = 0

Équations de Lagrange, non linéarisées :

θ ₁ θ ₂

y G

o

g G

x G _o A 1

A 2 m

1

m

2

2 2

1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 1

( m + m ) A θ  + m A A θ  cos( θ θ − ) − m A A θ  sin( θ θ − ) ( + m + m g ) A sin θ = 0

2 2

2 2 2 2 1 2 1 cos( 2 1 ) 2 1 2 1 sin( 2 1 ) 2 2 sin 2 0

m A θ  + m A A θ  θ θ − + m A A θ  θ θ − + m g A θ =

Avec m ₁ = m ₂ = m et A ₁ = A ₂ = A

2

1 2 2 1 2 2 1 1

2 θ θ  +  cos( θ θ − ) − θ  sin( θ θ − ) 2 sin + g θ / A = 0

2

2 1 cos( 2 1 ) 1 sin( 2 1 ) g sin 2 / 0

θ θ  +  θ θ − + θ  θ θ − + θ A =

Ce que nous pouvons écrire sous la forme :

2

2 1 1 2 2 1 1

2

2 1 2 1 2 1 2

2 cos( ) sin( ) 2 sin /

cos( ) 1 sin( ) sin /

g g

θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ

− ⎧ ⎫ ⎧ − − ⎫

⎡ ⎤

⎨ ⎬ ⎨ = ⎬

⎢ − ⎥ − − −

⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

  A

  A

Pour résoudre ces équations différentielles couplées non linéaire d’ordre deux, nous allons nous ramener à un système différentiel d’ordre un en effectuant un changement de variables.

Posons { } 1 1 2 2 1 2 3 4

X T =< θ θ θ θ   > = < x x x x >

En notant : C ₃₁ = cos( x ₃ − x ₁ ) = cos( θ θ ₂ − ₁ ) , S ₃₁ = sin( x ₃ − x ₁ ) etc

Nous obtenons : { }

2 2

31 4 31 1

4 2

31 1 31 3

1 0 0 0

0 2 0 2 /

0 0 1 0

0 0 1 /

x

C x S gS

X x

C x S gS

⎡ ⎤ ⎧ ⎫

⎢ ⎥ ⎪ ⎪ − ⎪ ⎪

⎢ ⎥ = ⎨ ⎬

⎢ ⎥ ⎪ ⎪

⎢ ⎥ ⎪ − − ⎪

⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎩ ⎭

 A

A

Système différentiel à quatre équations que nous pouvons résoudre avec Matlab en utilisant le solveur « ODE45 » Linéarisation :

2 2 2 2 2

1 2 1 2

2 Ec ≅ 2 A θ  + m A θ  + 2 m A θ θ   Î [ ] ^{2 2 1}

M m ⎡ 1 1 ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

A

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2 2

1 2

2 Ep ≅ 2 mg A θ + mg A θ Î [ ] ^{2 0}

0 1 K = mg ⎡ ⎢ ⎤ ⎥

⎣ ⎦

A

Fréquences et modes propres :

[ ] [ ]

( )

det K − λ M = 0 Î: ₁ ² 2

1 2

ω = g +

A ^,

2 2

2 2 1 ω = g

− A

Modes propres : … Î { } Z 1 ^T =< 2 2 > et { } Z 2 ^T =< 2 − > 2 non normés

[ ] ^{2 2}

2 2

Z ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ − ⎦ ^Î [ ] ^{1 1 2 1}

4 2 1

Z ⁻ ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

Oscillations libres : q  _i + ω _i ² q _i = 0 Î _{i io} cos _i ^io sin _i

i

q q ω t q ω t

= + ω 

Lâcher sans vitesse initiale à t=0 Î q  _{i 0} = 0

Dans une position donnée Î { } [ ] ^{1 1 1 2}

2 1 2

1 2

4 2

o o o

o

o o o

q Z θ θ θ

θ θ θ

− ⎧ ⎫ ⎧ ⎪ + ⎫ ⎪

= ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬

⎩ ⎭ ⎪ ⎩ − ⎪ ⎭

Puis ¹ [ ] { } ^{1 1 2 2}

2 1 1 2 2

2( cos cos )

2( cos cos )

o o

o o

q t q t

Z q

q t q t

θ ω ω

θ ω ω

⎧ ⎫ = = ⎧ ⎪ +

⎨ ⎬ ⎨

⎪ −

⎩ ⎭ ⎩

Solution que nous pouvons directement programmer dans Matlab

La comparaison des deux solutions sera réalisée en simulant le mouvement pour différentes positions initiales.

A titre d’exercice

Vous pouvez aussi compléter le script Matlab pour prendre en compte des vitesses initiales non nulles dans la solution linéarisée. (Simple)

Vous pouvez reprendre l’exercice pour deux longueurs de pendule différentes et modifier en conséquence le

script Matlab. (Un peu plus long)