Vibrations des systèmes mécaniques Exercices d’application : vibrations des milieux continus
Exercice VIB-MMC-6 : Approximation EF pour un barreau
Thème : Mise en œuvre des méthodes variationnelles discrétisées.
Nous nous intéressons aux vibrations longitudinales du barreau représenté par la
figure ci contre. Pb de traction k
Dans cet exercice nous introduisons une approximation à deux paramètres linéaire par morceau, c’est sans le dire un modèle éléments finis.
Mise en équations - Solution analytique.
Écrivez le système d’équations différentielles régissant ce problème, et déterminer les pulsations de résonance. Dans l’application numérique vous utiliserez un rapport ES k/ A=10
Construction des fonctions de formes
Justifiez que l’approximation u( , )x t =x q( )t est cinématiquement admissible.
Déterminer une fonction de forme polynomiale de degré 2 satisfaisant toutes les conditions aux limites du problème.
Approximation à un paramètre.
Appliquez la méthode des résidus pondérés pour déterminer les deux modèles élémentaires masse - ressort associés aux deux approximations construites sur les deux fonctions de formes précédentes, comparer les résultats.
Approximation à deux paramètres, soit l’approximation linéaire par morceau définie par la figure ci contre.
Appliquez le PTV discrétisé pour déterminer l’équation matricielle de ce modèle sur les paramètres u1 et u2 . Comparer les fréquences obtenues.
uG1 G u2
u = 2 x u
A 1
u = (1− 2x)u1+ 2x u2
A A
x= x + 2 A sur l'élément 1 :
sur l'élément 2 : on pose
