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Stato dell’arte
Il capitolo descrive le principali caratteristiche del flusso bidimensionale attorno a un cilindro circolare, per bassi valori del numero di Reynolds. Per prima cosa è analizzato il caso del cilindro stazionario, per poi passare al cilindro libero di ruotare e infine riportare i principali risultati relativi a un cilindro circolare libero di muoversi in un fluido in quiete, sotto l’azione della forza di gravità.
2.1. Cilindro circolare stazionario
Per una comprensione completa del fenomeno del distacco dei vortici attorno a un cilindro circolare dotato di gradi di libertà che ne consentono il movimento, è necessario prima di tutto fornire un quadro esaustivo delle caratteristiche della scia per un cilindro stazionario investito da una corrente uniforme. Le numerose ricerche sperimentali e numeriche, che negli anni hanno interessato questa geometria, permettono di conoscere in modo puntuale le caratteristiche del flusso e di poter distinguere tra le varie fasi dell'evoluzione della scia in funzione del numero di Reynolds, Re, definito come UD/ν, dove U è una velocità caratteristica del flusso, D il diametro del cilindro e ν la viscosità cinematica del fluido.
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Per valori del numero di Re dell'ordine dell'unità, si forma una soluzione molto simile a quella potenziale: il flusso riesce a girare attorno al corpo senza problemi di separazione, se non per una zona molto ristretta sulla base del cilindro, come mostrato in Figura 2.1.a. L’incremento del numero di Re porta alla formazione di una soluzione stazionaria, come mostrato in Figura 2.1.b: il flusso separa sul cilindro e si formano due zone di ricircolo, la cui estensione cresce proporzionalmente al numero di Re. Tuttavia questa configurazione, al raggiungimento di un numero di Re critico, Recr, (in ambito scientifico c’è un sostanziale accordo nel fissare questo valore del Re a 47), è sottoposta a un'instabilità, detta instabilità primaria: uno dei due vortici tende a crescere più dell'altro, fino a che non si stacca dal cilindro, dando così inizio a una scia alternata, detta scia di von Kármán. Fu infatti Theodore von Kármán a dimostrare che, affinché due file di vortici affacciati si organizzino in una scia stabile, è necessario che si dispongano in una particolare configurazione asimmetrica con un rapporto dimensionale l/h pari a 0,2806 (Kármán, 1912), dove l e h sono le grandezze riportate in Figura 2.2. Il passaggio da una condizione di flusso stabile stazionario a questa condizione ancora stabile, ma periodica, è indicato nello studio dei sistemi dinamici come biforcazione di Hopf. La comprensione della fisica associata a questo cambiamento nella configurazione del flusso è stata oggetto di numerosi studi che hanno consentito di determinare le caratteristiche di stabilità delle varie regioni della scia. In particolare è
Figura 2.1 – Evoluzione della scia di un cilindro circolare per bassi Re: (a) 𝑅𝑒 ≅ 1,2; (b) 𝑅𝑒 ≅ 25
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stato dimostrato (Provansal et al., 1987) tramite analisi di stabilità locali che, in prossimità del Recr, la regione di scia vicina al corpo è una regione assolutamente instabile1, mentre più a valle diviene convettivamente instabile2. Questa condizione porta a un’oscillazione di ciclo limite autoeccitata della scia, caratterizzata da una ben selezionata frequenza di distacco dei vortici, fv, funzione del numero di Re (Buresti, 1998). Tale frequenza è solitamente espressa mediante il gruppo adimensionale 𝑓! ∙ 𝐷 𝑈, detto numero di Strouhal. Per l’importanza che questo parametro ha nello studio del fenomeno del vortex shedding, è bene approfondirne le caratteristiche. Per prima cosa il numero di Strouhal, fornendo un’indicazione sulla frequenza di distacco dei vortici, è legato indirettamente alla dimensione trasversale della scia. Infatti, fissata una geometria, se il numero di St tende ad aumentare è probabile che la scia presenti dimensioni trasversali via via inferiori e viceversa3. Inoltre lo St, come già sottolineato, è sicuramente funzione del numero di Re e nel tempo sono state fornite numerose espressioni per rappresentare tale dipendenza. Per quel che riguarda il cilindro circolare, la relazione classica è dovuta a Roshko (Roshko, 1954):
1 Un profilo di velocità si dice assolutamente instabile quando un disturdo localizzato tende a
diffondersi sia a monte che a valle (Buresti 1998).
2 Un profilo di velocità si dice convettivamente instabile quando un disturdo localizzato
tende a diffondersi solo a valle (Buresti, 1998).
3 La frequenza di distacco di vortici è fortemente collegata al tempo che i vortici impiegano
per formarsi, che a sua volta dipende dal tempo che il punto singolare degenere sul bordo del corpo impiega per percorrere tutto l’afterbody (Gerard, 1966).
Figura 2.2 – Indicazioni delle dimensioni caratteristiche della scia di von Karman h
7 𝑆𝑡 = 𝐴 − 𝐵
𝑅𝑒
dove 𝐴 = 0.2175 e 𝐵 = 5.106. Tuttavia, negli anni sono state presentate altre formulazioni, come ad esempio quella fornita da Williamson e Brown (Williamson e Brown, 1998), che stabilisce4:
𝑆𝑡 = 𝐶 − 𝐷 𝑅𝑒
dove 𝐶 = 0.2665 e 𝐷 = 1.018, detta 𝑅𝑒 − 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎. In Figura 2.3 sono riportati gli andamenti di queste due espressioni, per valori del Re inferiori ai 200. Si può notare la migliore aderenza ai dati sperimentali (in Figura 2.3 indicati con il simbolo ∘) del modello di Williamson e Brown rispetto a quello di Roshko, soprattutto per bassi valori del numero di Re. Infatti, considerare il Re con potenza 0.5 invece che 1, permette di tenere in maggiore considerazione le caratteristiche dello shear layer in relazione al fenomeno del distacco dei vortici5, soprattutto nella zona di scia subito a valle del corpo.
4 I coefficienti C e D valgono per Re < 200, oltre devono essere sostituiti con C=0.2234 e
D=0.3490.
5 In queste relazioni il primo termine è collegato con la forma del sezione trasversale del
corpo, mentre il termine che moltiplica 1/Re è collegato con lo spessore dello shear layer
(Williamson e Brown, 1998).
Figura 2.3 – Confronto tra le relazioni St-Re presentate nel paragrafo: la linea tratteggiata secondo la relazione dovuta a Roshko (Roshko, 1954) e linea continua secondo la relazione di
Williamson e Brown (Williamson e Brown, 1998). Con gli indicatori discreti sono riportati i dati sperimentali. (Williamson e Brown, 1998)
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L’instabilità primaria non è l'unica biforcazione cui è soggetta la scia di un cilindro circolare. Infatti, per numeri di Re attorno a 190, inizia quella che è definita l'instabilità secondaria, nella quale è persa la caratteristica di bidimensionalità e sono introdotti dei disturbi tridimensionali. Per questi valori del numero di Re il vortex-shedding è modulato in fase lungo l'apertura del cilindro, con una lunghezza d'onda dell'ordine di 4D, detta mode A e mostrato in Figura 2.4.a. Inoltre la scia subisce un nuovo cambiamento di configurazione per valori del Re di circa 240, per il quale la lunghezza d'onda in apertura si riduce a un valore di circa 1D, detta mode B e mostrata in Figura 2.4.b
Aumentando il numero di Re intervengono poi molti altri fenomeni, come ad esempio quello del drag-crisis, che in questa breve
review non sono volutamente trattati, dato che il presente studio riguarda
solamente flussi puramente bidimensionali, quindi al di sotto dell’instabilità secondaria. Tuttavia, per eventuali approfondimenti sull’argomento, si rimanda all'ampia trattazione dovuta a Zdravkovich
(Zdravkovich, 1997 e 2004).
Figura 2.4 - Visualizzazioni del distacco dei vortici da un cilindro circolare con fenomeni di instabilità secondaria della scia: (a) MODE A, con fluttuazioni in direzione longitudinale con lunghezze d’ona di 4D; (b) MODE B, con fluttuazioni
in direzione longitudinale con lunghezze d’ona di 1D (Williamson, 1992).
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2.2. Cilindro circolare libero di ruotare
Di studi in merito al caso del flusso attorno a un cilindro circolare libero di ruotare la letteratura non presenta molti riferimenti. Uno dei più interessanti è sicuramente quello dovuto a Bagheri et al. (Bagheri et
al., 1998) dove, con un metodo agli elementi finiti, è simulato il caso un
cilindro circolare libero di ruotare posto in un canale in un flusso di
poiseuille. Nei problemi in cui il corpo è dotato di gradi di libertà, un altro
parametro fondamentale da considerare è il rapporto tra la densità del corpo e quella del fluido, indicato nel seguito con 𝛼. La variazione di questo parametro modifica l’inerzia del corpo e quindi la risposta dinamica che lo stesso ha nei confronti dell’azione del flusso. In tale studio le simulazioni si riferiscono a un range di numeri di Re tra 20 e 400 (riferiti alla velocità asintotica in mezzeria e al diametro del cilindro), con un rapporto tra le densità 𝛼 unitario. Le prove sono fatte ponendo il cilindro a varie distanze dalle pareti e quindi, la possibilità di un posizionamento non simmetrico rispetto all’asse del canale, fa sì che la scia del cilindro presenti dei pattern di vorticità molto diversi rispetto alla classica scia di von Kármán. Lo studio dimostra come, per una disposizione simmetrica, il cilindro acquisti una velocità di rotazione alternata a media nulla, con una frequenza che sostanzialmente coincide con quella di vortex shedding e valori di resistenza e portanza che corrispondono a quelli del cilindro fermo. Nel caso in cui il cilindro si trovi in posizione asimmetrica rispetto al canale, invece, la velocità di rotazione assume una componente media non nulla e in valore assoluto molto più grande rispetto al caso precedente. L’effetto dell’eccentricità del cilindro rispetto all’asse del canale sui coefficienti di forza media è mostrato in Figura 2.5.
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Dai risultati di questo studio si può notare come, per il caso del cilindro posto in posizione simmetrica, le coppie generate dalla azioni viscose sul corpo abbiano piccola entità e quindi anche la velocità di rotazione indotta risulta poco elevata (la velocità periferica sulla superficie del cilindro raggiunge valori dell’ordine del 2% rispetto alla velocità asintotica). Tale comportamento, come sarà confermato anche dal presente lavoro, fa intuire che la dinamica rotatoria del cilindro non influenzi significativamente il campo di moto del fluido. Queste considerazioni vengono anche avvalorate dagli studi riguardanti cilindri circolari con rotazione imposta (si veda (Mittal e Kumar 2002)), nei quali una vera influenza sul flusso si ha solo per velocità di rotazione sufficientemente elevate, fino ad arrivare addirittura a un’inibizione del fenomeno del vortex shedding per velocità periferiche del cilindro di circa 2-3 volte quella del flusso incidente.
2.3. Cilindro circolare non vincolato
Benché lo studio della dinamica dei corpi che cadono o galleggiano all'interno di un fluido in quiete abbia risvolti in molti abiti scientifici e desti interesse da anni, soltanto nell'ultimo ventennio è stata data una reale attenzione a questo problema. Per una completa review su quanto
Figura 2.5 - Andamento dei coefficienti di forza media del cilindro per il cilindro circolare in funzione della posizione rispetto al centro del canale (eccentricità = 0 => posizione simmetrica; eccentricità = 1 => corpo attacato al bordo). La linea tratteggiata si riferisce al caso del cilindro fisso mentre la linea continua al caso
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noto, soprattutto in merito ai corpi tridimensionali, si rimanda a
(Magnaudet et al. 2011). Per trattare del caso di geometrie bidimensionali
è utile fare riferimento allo studio di Namkoong et al. (Namkoong et al.,
2008), che si occupa di cilindri circolari liberi di muoversi all'interno del
fluido sotto l’azione della forza di gravità. In specifico sono considerati valori di 𝛼 tra 0,5 e 4 e valori del numero di Re da 65 a 180. Per quel che riguarda la metodologia numerica, in questo caso è stata utilizzata una variante del metodo ALE (arbitrary lagrangian-eulerian method), dovuto a Glowinski et al. (Glowinsk et al., 2001), nel quale è accoppiato il problema fluidodinamico con quello di dinamica del corpo in un'unica espressione vettoriale. Lo studio dimostra come il distacco dei vortici che s’instaura nella scia del cilindro, che cade o galleggia a seconda del rapporto delle densità 𝛼, induca un moto periodico, sia rotazionale che in traslazione.
Figura 2.6 - Andamento delle componenti di velocità del cilindro non vincolato posto in un fluido in quiete: con Up è indicate la velocità in direzione del moto di avanzamento del cilindro, con Vp la velocità trasversale e con
𝜔! la velocità di rotazione. UT e D sono la velocità e la dimensione di riferimento utilizzate per l’adimensionalizzazione delle variabili.(Namkoong et al., 2008)
In Figura 2.6 è possibile osservare l’andamento delle componenti di velocità nel tempo (tutto espresso in forma adimensionale): la componente
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in direzione della gravità, che indichiamo come in-line, ha un andamento costante unitario a cui è sovrapposta una oscillazione, di ampiezza molto ridotta, con una frequenza doppia rispetto a quella vortex shedding6; le componenti di velocità trasversale (crossflow) e di rotazione, che sono riportate in basso alla figura, presentano valor medio nullo e frequenza esattamente pari alla frequenza di distacco dei vortici fv.
La prima informazione che si ricava da tale studio è che il moto oscillatorio in crossflow, sebbene presenti ampiezze contenute, tende ad aumentare la dimensione trasversale della scia, portando a una riduzione del numero di Strouhal dell'ordine del 10 -:- 15% rispetto al caso stazionario. Per il dato sulla rotazione invece, a conferma di quanto detto nel precedente paragrafo, è dimostrata la sostanziale ininfluenza di questa componente di velocità sull’evoluzione della scia. Il risultato più interessanti del lavoro di Namkoong et al. è sicuramente l’aver estrapolato una legge di variazione dello St in funzione del valore del Re e del rapporto tra le densità, riportata in Figura 2.7.
6 In un ciclo completo di V.S., la componente fluttuante della risultante in direzione in-line
delle pressioni sul cilindro compie due cicli completi, per cui la fluttuazione delle velocità corrispondente deve avere frequenza doppia rispetto a quella del distacco dei vortici.
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Minore è il rapporto di massa tra corpo e fluido e maggiore sarà, a pari Re, la riduzione del numero di Strouhal rispetto al caso del cilindro stazionario, con un progressivo aumento della dimensione trasversale della scia.
Infine l’articolo riporta l’andamento delle caratteristiche di resistenza e forza trasversale sul corpo e dimostra come, l’aumentare della dimensione trasversale della scia, sia in realtà associata a una riduzione della resistenza. Questo comportamento, esattamente in antitesi con la regola per la quale a un aumento di dimensione della scia corrisponde, almeno indicativamente, un aumento della resistenza7, è conseguenza di un ridimensionamento delle aspirazioni sulla base del cilindro, come mostrato in Figura 2.8.
7 Questa correlazione tra la forza aerodinamica e la dimensione trasversale della scia può essere spiegata con la teoria generalizzata di Wu che, applicata al caso del vortex shedding di un cilindro circolare, stabilisce che la resistenza è pari all’opposto della coppia della vorticità trasversale, data dal prodotto tra l’entità di vorticità per la dimensione della scia. Quindi, a pari vorticità, è vero che l’aumento della dimensione della scia porta a maggiore resistenza, ma nel caso qui presentato, l’aumento della dimensione della scia è accompagnato da una riduzione della vorticità (in termini di concentrazione), portando a una riduzione di resistenza.
Figura 2.8 - Andamento del Cp per il cilindro circolare libero di muoversi in un fluido in quiete (linea con tratto sottile) rispetto al caso del cilindro stazionario (linea con tratto marcato). (Namkoong et al., 2008)
