2.1 Antenne a microstriscia
Nella sua forma più classica, una generica struttura a microstriscia è caratterizzata da uno strato di metallo di dimensioni finite e forma arbitraria, chiamato patch, sotto il quale è posto uno strato di materiale dielettrico e uno strato di metallo che ha la funzione di piano di massa. Tale struttura è mostrata nella figura seguente:
Figura 2.1 Antenna a microstriscia
Il patch ha la funzione di radiatore ed ha uno spessore t<<λ0, dove λ0 è la lunghezza d’onda nello
spazio libero; il substrato generalmente ha un’altezza h molto minore di λ0 ( di solito compresa
tra 0,003λ0 e 0,05λ0 ).
Antenne realizzate in questo modo hanno un massimo del diagramma di irradiazione in direzione ortogonale al patch (broadside).
Nel caso di patch rettangolare, la lunghezza L dell’elemento è solitamente compresa tra λ0/3 e
λ0/2 e la costante dielettrica del substrato è, di norma compresa tra 2 e 12; substrati con bassi
valori di costante dielettrica consentono di ottenere antenne con banda più larga e maggiore efficienza, mentre substrati sottili con alti valori di costante dielettrica sono da preferire quando le antenne devono essere integrate su schede circuitali.
In questo caso infatti, le dimensioni ridotte consentono un’agevole integrazione e l’alta costante dielettrica permette di confinare i campi nelle vicinanze dell’antenna, riducendo radiazioni e accoppiamenti indesiderati.
Purtroppo, a causa delle elevate perdite, le antenne realizzate su un substrato con un’alta costante dielettrica hanno una bassa efficienza e una banda relativamente stretta; tali esigenze contrastanti vincolano il progettista a trovare un giusto compromesso a seconda dell’applicazione per cui
Il patch radiante può assumere svariate forme tra le quali le più diffuse sono mostrate nella figura seguente e sono: quadrata, rettangolare, circolare, ellittica, triangolare e a forma di dipolo.
Figura 2.2 Principali configurazioni del patch radiante
Poiché sono semplici da analizzare e da realizzare, i patch di forma quadrata, rettangolare, a dipolo e circolare sono i più comuni; hanno inoltre buone caratteristiche radiative, come ad esempio bassi livelli delle componenti di crosspolarizzazione.
I dipoli a microstriscia sono delle antenne particolarmente interessanti in quanto hanno una banda larga ed occupano poco spazio, ciò li rende utilizzabili in configurazioni ad array, con cui è possibile ottenere degli elevati guadagni.
Tra i vari pregi delle antenne a microstriscia possiamo mettere in evidenza : • Conformità a superfici planari e non planari
• Basso profilo, dimensioni limitate, peso contenuto e una struttura robusta se installate su superfici rigide.
• Semplicità progettuale ed economicità realizzativa
• Versatilità in termini di frequenza di risonanza, polarizzazione, diagrammi di irradiazione e di impedenza di ingresso
Inevitabilmente, a fronte di tali vantaggi si hanno anche i seguenti svantaggi che ne limitano in alcuni casi l’utilizzo:
• Bassa efficienza
• Radiazione spuria della linea di alimentazione
Nonostante tali svantaggi, utilizzando opportune configurazioni è possibile aumentare la larghezza di banda e ridurre le radiazioni spurie.
2.2 TECNICHE DI ALIMENTAZIONE
Per realizzare la struttura di alimentazione di un’antenna a microstriscia esistono differenti tecniche; le più diffuse sono la linea a microstriscia, il cavo coassiale, l’accoppiamento tramite
slot e l’accoppiamento per prossimità.[1],[3].
Nelle figure seguenti sono mostrati i quattro tipi di alimentazione più utilizzati:
a) alimentazione con linea a microstriscia b) alimentazione con cavo coassiale
c) alimentazione attraverso accoppiamento a slot
d) alimentazione attraverso accoppiamento ad apertura
2.2.1 Alimentazione a microstriscia
L’alimentazione attraverso microstriscia è essenzialmente composta da una striscia conduttrice di larghezza molto inferiore a quella del patch e realizzata sullo stesso substrato dell’elemento radiante.
E’ una struttura particolarmente semplice da progettare e da realizzare, con cui, scegliendo opportunamente il posizionamento della linea rispetto al patch si riesce ad ottenere un buon adattamento con l’antenna.
Nella figura seguente è mostrato il suo tipico circuito equivalente:
Figura 2.4 Circuito equivalente della linea a microstriscia
Con questa tecnica, aumentando lo spessore del substrato si ottiene un notevole aumento delle radiazioni spurie e delle onde superficiali che contribuiscono a ridurre la larghezza di banda (tipicamente al 2-5 %).
2.2.2 Alimentazione a cavo coassiale
In questa tecnica di alimentazione si connette il conduttore centrale (anima) del cavo coassiale al patch radiante e la calza al piano di massa.
Questo metodo e il precedente, grazie alla loro semplicità realizzativa sono le tecniche più utilizzate.
Anche in questa tecnica, come accade nella precedente, scegliendo opportunamente il punto di inserimento della alimentazione si riesce a modificare l’impedenza di ingresso dell’antenna. Un vantaggio derivante dall’uso del cavo coassiale è costituito dal fatto che la calza esterna, comportandosi come uno schermo limita le radiazioni indesiderate.
Il principale svantaggio di questa tecnica è costituito dalla banda stretta e dal fatto che, quando il dielettrico diventa troppo spesso, (h>0,02λ0) la struttura risulta difficile da modellare.
Nella figura seguente è mostrato il relativo circuito equivalente:
Uno svantaggio comune alle due tecniche appena descritte è dato dal fatto che entrambe hanno una asimmetria intrinseca che genera modi di ordine superiore i quali producono alte componenti di cross-polarizzazione; per evitare tale effetto sono state introdotte le tecniche che andremo ad analizzare in seguito, in cui non si ha contatto tra il patch radiante e la linea di alimentazione.
2.2.3 Accoppiamento tramite slot
L’accoppiamento mediante slot, come mostrato in figura 2.3c avviene realizzando una fessura in un piano metallico che si trova tra due substrati dielettrici. Sulla base del substrato inferiore è stampata una linea a microstriscia che si accoppia con il patch stampato sul substrato superiore tramite lo slot realizzato nel piano metallico.
E’ una struttura semplice da progettare, che consente di ottimizzare separatamente la linea di alimentazione e il patch radiante; è però difficile da realizzare e soffre anche questa di una limitata banda ottenibile.
Di solito, il substrato inferiore è sottile ed ha un’alta costante dielettrica, mentre il substrato su cui è stampato il patch è più spesso ed ha una bassa costante dielettrica.
Il piano metallico tra i due substrati isola la linea a microstriscia dal patch, riducendo in questo modo le radiazioni spurie che deformano i diagrammi di irradiazione, innalzando il livello di cross-polarizzazione.
Nella figura 2.6 è mostrato il circuito equivalente di tale struttura:
Figura 2.6 Circuito equivalente alimentazione con accoppiamento a slot
I parametri elettrici dei substrati, la larghezza della linea a microstriscia, le dimensioni e la posizione dello slot possono essere modificati per agevolare l’ottimizzazione.
L’accoppiamento solitamente è regolato dalla larghezza della linea di alimentazione e dalla lunghezza dello slot; lo slot può essere rappresentato attraverso un dipolo elettrico equivalente che tiene conto delle componenti di campo elettrico ortogonali (allo slot) e un dipolo magnetico equivalente che tiene conto delle componenti di campo magnetico tangenti (allo slot).
Per massimizzare l’accoppiamento è opportuno centrare lo slot rispetto al patch, nella posizione in cui idealmente il campo elettrico è nullo e il campo magnetico è massimo (per il modo dominante).Teoricamente tale modifica annulla le componenti di cross-polarizzazione.
2.2.4 Accoppiamento per prossimità
Questo tipo di alimentazione è ottenuto avvicinando una linea a microstriscia al patch, generando quindi un accoppiamento di tipo capacitivo.
Tra le varie tecniche di alimentazione analizzate, è quella che consente di ottenere la più ampia banda (fino al 13%), la struttura inoltre, risulta relativamente semplice da progettare.
Così come accade per l’alimentazione attraverso slot, a fronte di una facile progettazione, la realizzazione risulta piuttosto complicata; in questo caso l’ottimizzazione avviene regolando il rapporto lunghezza/larghezza del patch e la lunghezza della linea a microstriscia.
Di seguito è mostrato il circuito equivalente della struttura:
Figura 2.7 Circuito equivalente di alimentazione attraverso accoppiamento in prossimità
2.3 Metodi di analisi delle antenne patch
Con il passare del tempo sono state sviluppate varie procedure di analisi delle antenne a microstriscia; i vari metodi che sono stati sviluppati sono[1],[3]:
• Linee di trasmissione • Cavità
• Full wave
2.3.1 Modello delle linee di trasmissione
Il metodo è basato sull’analogia con le linee di trasmissione, il patch rettangolare viene modellato come due aperture parallele radiative. E’ il più semplice di tutti, è fisicamente intuitivo ma poco accurato, inoltre è utile solo per analizzare patch di forma rettangolare.
Con tale metodo gli effetti di bordo devono essere valutati empiricamente, vengono trascurate le variazioni di campo lungo il bordo radiativo e non viene preso in considerazione l’effetto dell’inserimento dell’alimentazione.
2.3.2 Modello delle cavità
Usando questo modello vengono eliminati gli svantaggi derivanti dall’uso del metodo precedente. E’ un metodo più accurato rispetto a quello delle linee di trasmissione, è fisicamente intuitivo ma allo stesso tempo più complesso; adesso il patch rettangolare viene modellato come una sottile cavità di modi TMz con muri magnetici.
In questo caso, a discapito di un modesto incremento della complessità matematica, si ottiene una più accurata formulazione per l’impedenza d’ingresso e la frequenza di risonanza, sia per patch rettangolari che circolari.
2.3.3 Modello Full wave
Tra i vari metodi di analisi è il più accurato e versatile, può essere usato per analizzare singoli elementi oppure array di elementi impilati di forme differenti.
E’ il modello più complesso da comprendere poiché perde l’intuitività fisica dei due precedenti e fa affidamento su metodi numerici; viene utilizzato dai simulatori elettromagnetici, i quali principalmente utilizzano due tecniche, il metodo dei Momenti e quello degli elementi finiti.
Metodo dei Momenti
Nella tecnica sviluppata da Newman il metodo dei momenti viene usato congiuntamente con il metodo di reazione di Richmond per determinare le correnti di superficie sconosciute Js,Ms che
fluiscono sui muri formati dal patch, dal piano di massa e dai muri magnetici. Il metodo utilizza la seguente equazione integrale:
Dove (ET,HT) sono i campi generati da una sorgente elettrica di test posizionata all’interno della
regione e l’integrale di volume è eseguito in un volume che racchiude la sorgente. Nel caso di conduttori perfetti si ottiene che Ms=0.
Come avviene nel metodo di Galerkin, l’equazione integrale viene risolta usando il metodo dei momenti; adesso, sia le funzioni di espansione che quelle di test sono prese come modi di superficie al di sotto del patch.
La corrente sconosciuta Js, viene espansa in un set di N funzioni di espansione Jn ed è osservata
per N sorgenti elettriche di test piazzate all’interno della superficie S che racchiude l’antenna a microstriscia. Con tale procedura l’equazione integrale si riduce ad un sistema di N equazioni lineari con coefficienti forniti dalla matrice d’impedenza Zmn.
Sebbene l’applicazione di questo metodo appare semplice ci sono parecchi punti su cui porre attenzione, infatti la corrente di superficie Js che viene trovata è quella sulla parte interna del
patch e del piano di massa e non la corrente di superficie sul lato esterno del patch, quindi non può esser usata direttamente per trovare i campi all’esterno.
A causa della sua natura generale il metodo dei momenti può essere usato per analizzare dipoli stampati, patch rettangoli e qualsiasi altro tipo di antenna a microstriscia.
∫∫ ⋅ − ⋅ +∫∫∫ ⋅ − ⋅ = s s T s T v i T i T dv H J E J ds H M E J ) ( ) 0 (
Le perdite nel dielettrico possono essere facilmente incluse introducendo nella risoluzione dell’equazione di GREEN una permittività complessa. Il prezzo pagato per avere tale versatilità è in alcuni casi una soluzione assai complicata, dovuta principalmente alla complessa risoluzione dell’integrale di Sommerfeld presente nella funzione di GREEN.[7]
Metodo degli elementi finiti
L’analisi numerica dei campi all’interno della cavità dell’antenna a microstriscia può essere effettuata anche attraverso questo metodo, in cui, la regione all’interno dell’antenna è matematicamente disaccoppiata da quella esterna.
L’obbiettivo prefissato in questo metodo è quello di minimizzare la funzione I(v) per tutte le funzioni v(x, y) ammissibili. La particolare funzione v*(x, y) che minimizza I(v) è la migliore soluzione del problema.
Deve esser notato che il metodo dei momenti viene applicato all’equazione integrale mentre il metodo degli elementi finiti risponde all’equazione non omogenea delle onde; per questo motivo con il metodo dei momenti si ottiene una matrice densa di elementi diversi da zero, mentre con la tecnica degli elementi finiti si ottengono molti zeri.
2.4 Patch Rettangolare
Andiamo ora ad analizzare una struttura di particolare interesse nella realizzazione di antenne a microstriscia; in particolare analizzeremo il patch rettangolare sia con il modello delle linee di trasmissione sia con il modello delle cavità.
2.4.1 Analisi con il modello delle linee di trasmissione
Un’antenna patch rettangolare può essere rappresentata con un array di 2 strette aperture radiative (slot), ognuna delle quali di larghezza W ed altezza h, separate da una distanza pari ad L.
2.4.1.1 Effetti di bordo
Poiché le dimensioni del patch sono finite, i campi ai confini del patch subiscono degli effetti di bordo; tale effetto è mostrato nelle due figure della pagina successiva.
Figura 2.8 Effetti di bordo nell’antenna a microstriscia rettangolare
Nelle due figure sono mostrati solo gli effetti di bordo causati dalla lunghezza finita del patch, in realtà c’è da considerare anche gli effetti causati dalla larghezza finita.
La quantità degli effetti di bordo è funzione della dimensione del patch e dello spessore del substrato; nel piano principale XY gli effetti di bordo sono funzione del rapporto L/h e della costante dielettrica εr del substrato.
Se L/h>>1 l’effetto di bordo risulta ridotto, deve però essere preso lo stesso in considerazione perché influenza la frequenza di risonanza dell’antenna, se invece lo spessore del substrato viene aumentato, gli effetti di bordo aumentano a sua volta e la frequenza di risonanza diminuisce con una relazione approssimativamente di tipo lineare.
Nella figura 2.9 sono mostrate le linee di campo elettrico per un patch rettangolare posto all’interfaccia tra due mezzi diversi: aria sopra e substrato sotto.
Si può notare che la maggior parte delle linee si trovano nel substrato e solamente alcune fuoriescono in aria. Se W/h>>1 e εr>>1 le linee di campo sono principalmente concentrate nel
substrato.
Poiché alcune onde viaggiano sia in aria che nel substrato, per tenere conto degli effetti di bordo viene introdotta una costante dielettrica effettiva εreff, definita come la costante dielettrica di un
materiale dielettrico uniforme tale da far si che il patch abbia le stesse caratteristiche di funzionamento.
Per strutture in cui al di sopra del patch c’è l’aria, la costante dielettrica ha valori compresi tra εr<εreff<1; nel caso in cui εr>>1 ⇒ εreff assume valori prossimi a quelli di εr del substrato.
εr varia in funzione della frequenza, se la frequenza operativa aumenta, molte delle linee di
campo si concentrano nel substrato, in tal caso la struttura si comporta come se fosse presente un solo dielettrico e la εreff assume valori che si avvicinano maggiormente ad εr.
In figura 2.10 viene mostrata la tipica variazione in frequenza di εreff nel caso di tre strutture
realizzate con differenti substrati:
Figura 2.10 Andamento della costante dielettrica effettiva rispetto alla frequenza per dei tipici substrati
A basse frequenze si nota che εreff è essenzialmente costante e nel caso in cui W/h>1 vale:
A frequenze intermedie l’andamento di εreff inizia ad aumentare monotonamente tendendo ad εr
del substrato. 2 1 12 1 2 1 2 1 − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⋅ + ⋅ − + + = W h r r reff ε ε ε
2.4.1.2 Lunghezza effettiva e frequenza di risonanza
Come già detto, la causa degli effetti di bordo sono principalmente le dimensioni finite del patch. Come mostrato dalla figura successiva, le dimensioni del patch sono state estese ad ognuno dei due lati di un tratto ∆L, funzione di εreff e del rapporto W/h.
Figura 2.11 Lunghezza fisica ed effettiva di un patch a microstriscia rettangolare
La relazione approssimata che mostra l’estensione della lunghezza del patch è la seguente:
Così facendo, la lunghezza effettiva del patch diventa Leff= L+2∆L
Per quanto riguarda la frequenza di risonanza del modo TM010, come è ovvio dipende dalla
lunghezza del patch; senza considerare gli effetti di bordo vale:
Considerando invece anche gli effetti di bordo, si ottiene:
Se lo spessore del substrato aumenta gli effetti di bordo aumentano, si ha dunque che: se h sale ⇒ ∆L sale ⇒ Leff sale ⇒ freff010 diminuisce.
2.4.1.3 Resistenza d’ingresso risonante
Come è già stato detto in precedenza, un’antenna patch rettangolare analizzata attraverso l’analogia con le linee di trasmissione viene considerata come una struttura costituita da due slot posti a distanza L e larghi W. In tale condizione l’impedenza d’ingresso della struttura può
(
)
(
)
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ + ⋅ = ∆ 8 , 0 258 , 0 264 , 0 3 , 0 412 , 0 h W h W h L reff reff ε ε 0 0 010 2 1 ε µ ε ⋅ = r r L f 0 0 010 2 1 ε µ ε ⋅ = reff eff reff L fessere valutata usando l’equazione di trasformazione dell’impedenza valida per le linee di trasmissione.
Se il patch è di lunghezza L=λ/2 l’ammettenza totale risulta avere solo la componente reale (conduttanza), senza considerare gli effetti mutui tra i due slot si ottiene: Yin=2G1; se invece
vengono presi in considerazione si ha:
In cui: h/λ0<1/10
J0 è invece la funzione di Bessel del primo tipo di ordine 0.
Figura 2.12 Linea di alimentazione a microstriscia inserita all’interno
Generalmente, per tipiche antenne a microstriscia, il termine G1,2 risulta molto più piccolo di G1.
La resistenza di ingresso non è fortemente dipendente dallo spessore del substrato, si può notare inoltre che la Rin può essere diminuita se viene aumentato W (ciò è vero finché W/L<2).
L’impedenza d’ingresso, come mostrato nella figura 2.12 può variare anche attraverso l’inserimento di una linea di alimentazione connessa all’interno del patch, e di impedenza caratteristica pari a: W0/h ≤1 W0/h >1
(
1 1,2)
2 1 G G Rin = ±( )
⎥⎦⎤ ⎢⎣ ⎡ − ⋅ = 2 0 0 1 24 1 1 120 k h W G λ ( θ) θ θ θ θ π π d sin Lsin k J W k sin G 0 0 3 2 0 0 2 12 cos cos 2 120 1 ⋅ ⋅ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ = ∫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + ⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = 444 , 1 ln 667 , 0 393 , 1 120 4 8 ln 60 0 0 0 0 h W h W h W W h Z reff reff c ε π εSe il punto di inserimento dell’alimentazione si sposta dal bordo fin verso il centro del patch la Rin decresce monotonamente.
2.4.1.4 Flusso di Progetto
A questo punto non resta che analizzare una semplice metodologia con cui, una volta definito lo spessore del substrato, la frequenza di risonanza e la costante dielettrica del substrato è possibile definire la larghezza e la lunghezza di un patch rettangolare.
1) Per ottenere un’efficiente radiazione, la larghezza del patch rettangolare deve essere scelta attraverso la seguente formula:
2) Successivamente, attraverso l’equazione mostrata qualche pagina indietro deve essere valutata la costante dielettrica effettiva dell’antenna a microstriscia.
3) Una volta noto W ed εreff può essere definito il valore di ∆L attraverso l’equazione definita in
precedenza.
4) In ultimo, risulta semplice determinare la lunghezza del patch attraverso la formula seguente:
2.4.2 Analisi con il modello delle Cavità
L’antenna a microstriscia può essere considerata come una cavità riempita di dielettrico, i cui campi all’interno possono essere valutati considerando tale zona confinata tra due conduttori elettrici (muro superiore e inferiore) e da muri magnetici laterali.
Tentiamo adesso di fornire un’interpretazione fisica di come avviene la formazione dei campi all’interno della cavità e delle radiazioni attraverso i muri laterali.
Come mostrato nella figura 2.13, quando il patch viene alimentato si ottiene una distribuzione di carica sia sulla superficie superiore e inferiore del patch, sia sul piano di massa.
1 2 2 1 0 0 010 + ⋅ ⋅ = r r f W ε ε µ L f L reff r ∆ − ⋅ = 2 2 1 0 0 010 ε µ ε
Figura 2.13 Distribuzione di carica e creazione della densità di corrente su un patch a microstriscia
La distribuzione di carica è gestita da due meccanismi, quello attrattivo e quello repulsivo.
Il meccanismo attrattivo avviene tra cariche di segno opposto posizionate sul lato inferiore del patch e sul piano di massa, tale fenomeno cerca di mantenere costante la concentrazione di carica sul lato inferiore del patch. Il meccanismo repulsivo avviene invece tra cariche dello stesso segno poste sulla superficie inferiore del patch, tale meccanismo tende ad inviare cariche dalla parte inferiore del patch a quella superiore, passando dai bordi della struttura.
Il movimento di queste cariche provoca una densità di corrente Jb e Jt sulla superficie superiore e
inferiore del patch.
Nel caso in cui h/W è un valore molto piccolo, il meccanismo attrattivo è dominante e la maggior parte del flusso di corrente è confinato al di sotto del patch, perciò diminuendo il rapporto h/W un minore flusso di corrente scorre nella superficie superiore del patch.
Ciò consente di ipotizzare che i quattro muri laterali costituiscono una superficie magnetica perfetta che idealmente non disturba il campo magnetico e mantiene al di sotto del patch il campo elettrico.
Dato che lo spessore del substrato è molto sottile, h<<λ (dove λ è la lunghezza d’onda nel dielettrico) il campo elettrico in funzione di h può essere considerato costante, inoltre gli effetti di bordo dei campi lungo gli estremi del patch possono essere trascurati, dunque il campo elettrico può essere considerato normale alla superficie del patch.
Considerando l’approccio del vettore potenziale Ax e che la superficie al di sotto del patch può
essere considerata come una cavità rettangolare riempita di dielettrico di permittività εr, il vettore
Ax deve soddisfare la seguente equazione omogenea delle onde:
la cui soluzione, usando il metodo di separazione delle variabili è data da:
dove kx, ky, kz sono i tre numeri d’onda nelle tre direzioni e sono determinati attraverso le
condizioni al contorno. 0 2 2 + = ∇ Ax k Ax
( )
( )
[
A k x B k x]
[
A( )
k y B( )
k y]
[
A( )
k z B( )
k z]
I campi elettrici e magnetici all’interno della cavità sono legati al vettore potenziale dalle seguenti relazioni:
Le relative condizioni al contorno sono le seguenti:
Le coordinate x’,y’,z’ sono usate per rappresentare i campi all’interno della cavità. Applicando la prima condizione al contorno si ottiene B1=0, kx=mπ/h dove m=0,1,2….
Dalla seconda condizione si ricava B3=0, kz=pπ/W dove p=0,1,2…. Infine dall’ultima
condizione si ottiene B2=0, ky=nπ/W con n=0,1,2….
In base a ciò, la forma finale del vettore potenziale risulta essere:
In cui Amnp rappresenta l’ampiezza dei coefficienti di ogni modo m,n,p.
Dalla conoscenza di ciò è possibile ricavare la frequenza di risonanza della cavità, fornita dalla seguente relazione:
Si può dire che il modo con il più basso ordine di frequenza di risonanza risulta essere il Modo Dominante.
Nel caso di patch rettangolari in cui h<<L, h<<W, se L>W>h il modo con la più bassa frequenza è il TM010 la cui frequenza di risonanza vale:
⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂ ⋅ − = ∂ ∂ = = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂ ∂ ⋅ − = ∂ ∂ ∂ ⋅ − = ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ − = y A H z A H H y x A j E y x A J E A k x J E x z x y x x z x y x x µ µ ωµε ωµε ωµε 1 1 0 2 2 2 2 2
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≤ ≤ = ≤ ≤ = ≤ ≤ = ≤ ≤ = = ≤ ≤ ≤ ≤ = = ≤ ≤ ≤ ≤ = ≤ ≤ ≤ ≤ = = ≤ ≤ ≤ ≤ = 0 ' 0 , ' , ' 0 ' 0 , 0 ' , ' 0 0 ' , ' 0 , ' 0 0 ' , ' 0 , ' 0 0 ' 0 , ' 0 , ' ' 0 , ' 0 , 0 ' W z L y h x H W z y h x H W z L y h x H z L y h x H W z L y h x E W z L y x E z z y y y y(
)
( )
( )
[
A cosk x' cosk y' cos k z']
Ax = mnp x y z 2 2 2 , , , 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ = W p L n h m frmnp π π π µε π µε L fr 2 1 010 =
2.4.2.1 Densità di correnti equivalenti
Come già affermato in precedenza, usando il modello delle cavità l’antenna a microstriscia può essere modellata ragionevolmente bene con una cavità riempita di dielettrico con due muri conduttori elettricamente perfetti (quello superiore e inferiore) e da quattro muri laterali costituenti delle superfici magnetiche perfettamente conduttive, le quali sono rappresentate attraverso quattro aperture strette da cui hanno origine le radiazioni.
Usando il principio di Huygens, il patch può essere rappresentato attraverso una densità di corrente Jt sulla superficie superiore del patch e una densità di corrente Jb sulla superficie
inferiore ( non utilizzata in questo modello).
I quattro slot laterali possono invece essere rappresentati attraverso la densità di corrente elettrica equivalente Js e dalla densità di corrente magnetica equivalente Ms, fornite dalle seguenti
relazioni, e rappresentate nella figura 2.14.
In cui Ea ed Ha rappresentano il campo elettrico e magnetico nello slot.
Per le antenne in cui h/W è un valore molto piccolo, la Jt è trascurabile rispetto alla Jb, e poiché la
densità di corrente elettrica equivalente Js è molto piccola (è trascurabile), l’unica densità di
corrente diversa da 0 è la densità di corrente magnetica Ms che scorre lungo il perimetro della
cavità radiativa in presenza del piano di massa, come mostrato nella figura 2.14b.
La presenza del piano di massa può essere considerata usando la teoria dell’immagine, ciò fa si che la densità di corrente magnetica lungo il perimetro del patch venga raddoppiata rispetto a quella scritta qua sopra.
a s a s E M H J n n × − = × = ∧ ∧
Figura 2.14 Densità di corrente equivalente su quattro lati di un patch rettangolare a microstriscia
Usando il modello delle linee di trasmissione si è visto che l’antenna a microstriscia può essere rappresentata attraverso due slot radiativi (ognuno di larghezza W e altezza h); adesso invece, l’antenna viene rappresentata attraverso 4 slot di cui solamente due danno origine alla radiazione, gli altri due invece (quelli a distanza W uno dall’altro), causano dei campi che si cancellano uno con l’altro, perciò anche ora i due slot radiativi sono quelli separati dalla lunghezza L.
I due slot radiativi formano un array di due elementi posti a distanza λ/2 uno dall’altro.
In direzione perpendicolare al piano di massa le componenti di campo si sommano in fase causando una radiazione massima.
Assumendo che il modo dominante all’interno della cavità sia il TM010, le componenti di campo
elettrico e magnetico risultano:
Figura 2.15 Configurazione di campo (modo) TM010 per il patch a microstriscia rettangolare
Come mostrato nella figura 2.15 si nota che il campo elettrico subisce un’inversione di fase nella direzione della lunghezza del patch mentre rimane costante lungo la larghezza; l’inversione di fase risulta necessaria per garantire le caratteristiche radiative dell’antenna; si può allora dire che ogni slot irradia gli stessi campi che sarebbero generati da un dipolo magnetico con densità di corrente Ms. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − = = = = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 010 0 010 0 0 0 0 ' ' cos A L H A J E H H E E L y sin H H L y E E y x z y z x µ π ω π π
Come già detto, le uniche densità di correnti responsabili dell’irradiazione sono quelle magnetiche che causano nei piani E ed H i seguenti diagrammi di irradiazione:
Figura 2.16 Andamento tipico del diagramma di irradiazione nei piani E ed H di ogni slot del patch a microstriscia e dei due insieme
2.4.2.2 Slot radiativi
Ogni slot radiativo, nella zona di campo lontano da origine ai seguenti campi:
In cui:
Si ottiene perciò che il campo elettrico totale nella zona di campo lontano vale:
Confrontando l’andamento della radiazione ottenuto con un simulatore con quello calcolato attraverso le formule precedenti si può notare che l’andamento teorico qua sviluppato differisce da quello simulato principalmente nel piano E nella zona di separazione tra il patch e il substrato. La discrepanza è dovuta al fatto che nel calcolo teorico viene considerato che il substrato ha dimensioni limitate a quelle del patch mentre in quello simulato copre il piano di massa anche oltre i bordi del patch.
( )
( )
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⋅ ⋅ ⋅ = ≅ ≅ − z z sin x x sin sin r e hWE k J E E E r jk r θ π φ θ 2 0 0 0 0 θ φ θ cos 2 cos 2 0 0 W k z sin h k x = ⋅ =( )
( )
⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⋅ ⋅ ⋅ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⋅ ⋅ ⋅ = − θ θ φ π φ sin sin L k z z sin x x sin sin r E hWe Jk E e r jk tot 2 cos 0 0 0 0La differenza notata dipende anche dal fatto che il simulatore tiene in considerazione il punto in cui viene posizionata l’alimentazione dell’antenna, mentre il metodo delle cavità non lo considera.
2.4.2.3 Slot non radiativi
Analiticamente può essere dimostrato che gli altri due slot invece (quelli lunghi L), non danno origine ad alcuna irradiazione.
Ogni slot di lunghezza L ed altezza h, percorso dalla densità di corrente magnetica Ms, nella zona
di campo lontano da origine ai seguenti campi elettrici:
Dove si ha che:
I due slot formano un array di due elementi; ognuno dei quali genera un campo elettrico con stesso modulo e fase opposta rispetto all’altro, perciò, nella zona di campo lontano il campo elettrico totale risulta nullo.
2.4.2.4 Impedenza d’ingresso
Per quanto concerne la resistenza di risonanza dell’antenna si può dire che varia in funzione dello spessore del substrato e del punto di inserimento dell’alimentazione.
La resistenza di risonanza di un patch con alimentazione all’interno è data dalla seguente relazione:
( )
( )
( )
( )
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ ⋅ ⋅ − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ ⋅ ⋅ = − − 2 2 0 0 2 2 0 0 2 cos cos 4 2 cos cos 4 0 0 π φ θ π φ φ θ y y x x sin sin r e E hL Jk E y y x x sin r e E hL Jk E r jk e r jk e φ θ φ θ sin sin L k y sin h k x e ⋅ = ⋅ = 2 cos 2 0 0 ) / ( cos2 y0 b R Rrad= rade⋅ πIn cui non è altro che la resistenza di radiazione valutata con l’alimentazione posta sul bordo del patch.
Si può notare allora che l’inserimento dell’alimentazione all’interno del patch causa la diminuzione della resistenza, ciò inoltre può essere diminuita aumentando la lunghezza del bordo non radiativo.
Per quanto concerne la parte reattiva dell’impedenza di ingresso si può dire che dipende dallo spessore del substrato, dal diametro della sonda di alimentazione, (se alimentato con cavo coassiale) e dal punto di inserimento della alimentazione. La reattanza di tipo induttivo può essere semplicemente approssimata con la seguente formula:
2.4.2.5 Banda ed efficienza
Per valutare le performance di un’antenna in termini di efficienza e di banda bisogna in primo luogo considerare i vari meccanismi di perdita connessi con il funzionamento dell’antenna. Possono essere individuati 4 principali meccanismi di perdita:
• Perdite derivanti dalla radiazione del segnale.
• Perdite associate alla propagazione delle onde superficiali che si propagano nel dielettrico. • Perdite dovute al calore negli elementi di conduzione e nel piano di massa.
• Perdite dovute al calore all’interno del dielettrico. Sotto tali condizioni, il Q totale dell’antenna risulta:
Il fattore che determina in maggior misura il valore di Q è il termine derivante dalla radiazione che è inversamente proporzionale allo spessore del substrato.
La consueta definizione di banda Bw=Q/f0 in questo caso non è utile poiché bisogna considerare
la condizione di adattamento dell’impedenza d’ingresso; allora, una più utile definizione è quella per cui il VSWR è inferiore ad un certo valore specificato che di solito vale 2 (si assume che VSWR=1 sia ottenuto alla frequenza f0).
Analiticamente ciò può essere espresso come:
e rad R ) / 2 tan( π λ ε µ t X L ≅ cu di sw rad Q Q Q Q Q 1 1 1 1 1 = + + + VSWR Q VSWR Bw = −1
Nel caso di patch a microstriscia polarizzati circolarmente, la banda viene invece definita come quell’intervallo di frequenze in cui il rapporto assiale dell’energia irradiata è all’interno del limite a 3 dB. Questa banda in generale risulta assai inferiore rispetto a quella definita in precedenza (che faceva uso del VSWR).
L’efficienza dell’antenna, (definita dal rapporto tra la potenza radiata e la potenza all’ingresso) può essere espressa in termini del fattore di qualità come segue:
2.4.2.6 Polarizzazione
Per quanto concerne la polarizzazione delle antenne possiamo dire che per ottenere antenne a microstriscia polarizzate circolarmente devono esssere scelte opportunamente le dimensioni geometriche, facendo in modo che nella direzione di irradiazione siano eccitati due modi ortogonali con uguale ampiezza e fase in quadratura
Il primo approccio che viene in mente per ottenere ciò è l’utilizzo di due linee di alimentazione separate e spazialmente ortogonali, eccitate con uno sfasamento relativo di ± 90°; altrimenti può essere usata una sola alimentazione introducendo un divisore di potenza con due linee di trasmissione di lunghezze diverse, necessarie per ottenere lo sfasamento desiderato.
Oltre ai due metodi appena citati (che risultano assai complessi) sono state sviluppate anche altre tecniche in cui nel patch sono inserite delle asimmetrie nella geometria ed è presente un solo punto di alimentazione.[1] rad Q Q = η
