ANTIGRAVITA' GRAVITA' NEGATIVA. Autore : Matteo Ciampone.

ANTIGRAVITA' o

GRAVITA' NEGATIVA

Autore : Matteo Ciampone.

Simboli e notazioni :

• ⃗a : la lettera col simbolo di freccia indica un vettore ;

• ∣⃗a∣=a : il simbolo | | o più semplicemente la lettera senza freccia indicano il modulo del vettore ;

• ⃗a x ⃗b : il simbolo x indica il prodotto vettoriale ;

• ⃗a •⃗b : il simbolo • indica il prodotto scalare ;

• ∇^⃗ : operatore nabla ∇=^⃗ d dx+ d

dy+ d dz ;

• ∇² : operatore laplaciano ∇²= d² dx²+ d²

dy²+ d² dz² .

INTRODUZIONE :

La equazioni che descrivono l'antigravità derivano dalla Teoria ODG, scritta da me tra il 2013 e il 2015 e pubblicata sempre nel 2015 sul mio blog personale ( gliargonauti.altervista.org ) .

Negli anni a seguire ho pubblicato altri articoli che non sono altro che dei capitoli aggiuntivi alla Teoria.

In effetti tutta la Teoria ODG è divisa in capitoli nell'intero blog .

Oggi, nel 2019, scrivo l'articolo qui presente che descrive l'antigravità.

Per antigravità ci si aspetta un qualche genere di forza o energia capace di contrastare la gravità come ad esempio l'energia oscura considerata la principale responsabile dell'accelerazione dell'espansione dell'universo.

Come vedremo l'antigravità è originata si da una forza, ma non così sconosciuta come si potrebbe immaginare.

In realtà la forza antigravitazionale non è altro che una forza gravitazionale repulsiva originata da un campo di gravità negativa.

Il campo gravitazionale negativo è un campo gravitazionale repulsivo nel senso che invece di attrarre le altre masse le respinge e ovviamente sarà contrassegnato con “

“ .

In effetti esso è già presente in natura e non è altro che l'altra faccia della medaglia gravitazionale.

Al contrario del campo gravitazionale classico, cioè attrattivo, può essere generato e se ne può controllare l'intensità.

Come risulterà chiaro nella discussione è rispettato il princio di equivalenza forte di Einstein.

Ma come è possibile tutto questo ?

Sotto opportune condizioni è possibile come andrò a dimostrare.

CAPITOLO 1 : GRAVITA' NEGATIVA .

Le equazioni fondamentali della Teoria ODG (Ondulatoria Dell'interazione Gravitazionale) sono :

1. ∇ • ⃗g =−4 π Gρ^⃗ ; 2. ∇^⃗ x ⃗g= k

4 π G

 ⃗v

t ; 3. ∇^⃗ x ⃗g=η(⃗J− 1

4 π G

 ⃗g

t ) .

Queste tre equazioni descrivono il campo gravitazionale.

Nel vuoto, in assenza di sorgenti e correnti, esse diventano : 4. ∇ • ⃗g =0^⃗ ;

5. ∇^⃗ x ⃗g= k 4 π G

 ⃗v

t ; 6. ∇^⃗ x ⃗g=−( η

4 π G) ⃗g

t .

L'unica equazione che resta invariata è la 2 o 5.

Applichiamo l'operatore rotore ∇^⃗ x alla 5 :

− ⃗∇²⃗g + ⃗∇ ( ⃗∇ ⃗g )= k 4 π G 

t( ⃗∇x ⃗v) (7)

Utilizzando la 4 e ∇^⃗ x ⃗v=2 ⃗ω dove ω⃗ è la velocità angolare, la 7 diventa :

− ⃗∇²⃗g = k 2 π G  ⃗ω

t = k

2 π G⃗a (8)

dove ⃗a è l'accelerazione angolare orbitale.

Consideriamo una massa puntiforme che orbita attorno ad un centro con una

accelerazione angolare ⃗a . Se aggiungiamo altre masse puntiformi tutte collegate tra loro come in un corpo rigido e riempiamo tutto lo spazio tra il centro e la prima massa, allora avremo un insieme di masse che ruotano tutte con la stessa

accelerazione. In altre parole avremo un giroscopio.

Quindi possiamo considerare l'accelerazione ⃗a della 8 come l'accelerazione di un giroscopio.

L'elemento − ⃗∇²⃗g a primo membro della 8 ci da un'idea della curvatura del campo

⃗g , ed in termini di derivate non è altro che la derivata seconda rispetto alla posizione del campo ⃗g :

− ⃗∇²⃗g =−( ²

x²+ ²

y²+ ²

z²)(g_x+g_y+g_z) (9)

La forma scalare del campo ⃗g è −(Gm

r² ) dove il segno meno indica che il campo è attrattivo. Se consideriamo il raggio “ r “ diretto secondo l'asse delle x ( r , 0 , 0 ) , allora tutte le derivate rispetto ad “ y” e “ z “ saranno nulle.

Calcolando si ottiene :

f ' ( g)=2Gm

r³ (10)

f ' ' (g )=−(6Gm

r⁴ ) (11) da cui :

− ⃗∇²⃗g =−(−(6Gm

r⁴ ))=6Gm

r⁴ (12)

Il secondo membro della 12 può essere scritto come :

6Gm r⁴ =Gm

r² 6

r²=−⃗g 6

r² (13) dove −⃗g=Gm

r² è la gravità negativa e cioè la gravità normalmente attrattiva

⃗g=−(Gm

r² ) cambiata di segno.

Usando la 13 possiamo riscrivere la 12 come :

− ⃗∇²⃗g =−⃗g 6

r² (14)

e di conseguenza la 8 come :

−⃗g 6 r²= k

2 π G⃗a → −⃗g= k

12 πGr²⃗a (15)

dove −⃗g è la gravità negativa, r è la distanza tra il centro di massa della sorgente e il punto in cui andiamo a considerare il valore di −⃗g , mentre ⃗a è

l'accelerazione angolare sul proprio asse della sorgente.

La costante della 15 vale : ^k

12 π G=5,3688•10⁻¹⁰m⁻¹ .

La 15 ci dice che per avere gravità negativa bisogna avere un'accelerazione angolare e che il campo −⃗g ha la stessa direzione di ⃗a .

Infatti se usiamo la regola della mano destra e diciamo che l'asse di rotazione è

diretto lungo “z” avremo un valore positivo di ⃗a che sarà diretto lungo “z” e avrà verso positivo concorde con il verso positivo di “z”.

Perpendicolarmente all'accelerazione ⃗a non si avrà nessun effetto di gravità negativa in quanto il prodotto scalare r²⃗a tra due vettori perpendicolari è nullo.

Con queste considerazioni è facile notare che il campo −⃗g avrà la stessa direzione e di ⃗a .

In effetti la gravità ha una doppia faccia un po' come avviene per i campi elettrico e magnetico, ha sia una componente attrattiva che una repulsiva .

Nel caso gravitazionale, però, la componente repulsiva −⃗g compare se la sorgente del campo ruota su se stessa.

Primo Postulato :

tutti i corpi dotati di massa manifestano gravità positiva o attrattiva, e se dotati di un'accelerazione angolare propria allora manifestano anche gravità negativa o repulsiva.

Come è evidente dalla 15, fissata un'accelerazione angolare ⃗a , l'intensità di −⃗g

cresce all'aumentare della distanza, da cui segue che ad una certa distanza dalla sorgente, considerata come puntiforme, avremo sempre una condizione del tipo

∣−⃗g∣>∣+⃗g∣ , cioè gli effetti gravitazionali saranno in prevalenza repulsivi!

Questo effetto potrebbe spiegare bene le curve di rotazione galattiche mettendo in seria discussione l'esistenza della materia oscura, nonché dell'energia oscura che è considerata la responsabile

dell'accelerazione dell'espansione dell'universo!!!

La gravità negativa esclude l'esistenza di entrambi i fenomeni citati !!!

I sistemi rotanti interni di una galassia producono la gravità negativa necessaria a far aumentare la velocità dei sistemi esterni , mentre tutta la galassia si comporta come un enorme giroscopio che crea la gravità negativa necessaria a far allontanare le galassie tra loro. Lo stesso discorso vale per gli ammassi di galassie e via via i sistemi più grandi, fino a comprendere tutto l'universo.

Inoltre, ad una certa distanza dalla sorgente, sarà sempre possibile avere una condizione del tipo ∣−⃗g∣=∣+⃗g∣ , cioè gli effetti gravitazionali si annullano in tutti i punti che si trovano alla distanza per cui ∣−⃗g∣=∣+⃗g∣ :

vale il Principio di Equivalenza Forte di Einstein!!

CAPITOLO 2 : TEOREMA DI HELMHOLTZ .

Com'è noto in fisica esiste un teorema denominato Teorema di Helmholtz, secondo cui un campo vettoriale è completamente determinato quando sono noti la sua divergenza ed il suo rotore.

Per quanto riguarda la divergenza iniziamo con l'applicare l'operatore “ ∇^⃗ “ alla 15:

∇ (−⃗g )= ⃗⃗ ∇ ( k

12 π Gr²⃗a) (16)

applicando l'identità ∇ (^⃗ f ⃗A)=( ⃗∇ f )⃗A+ f ( ⃗∇ ⃗A) alla 16 si ottiene :

∇ (−⃗g )=⃗ k

12 πG( ⃗∇r²)⃗a+ k

12 π Gr²∇ ⃗a⃗ (17)

Come è evidente dalla 15 il vettore ⃗r non deve essere perpendicolare al vettore accelerazione angolare ⃗a , quindi se diciamo che sia il vettore ⃗r sia ⃗a sono diretti lungo l'asse “z” e cioè ⃗r=( 0,0 , r ) e ⃗a=(0,0 , a) avremo :

∇⃗ r²= ⃗∇ (⃗r⃗r )=( ⃗∇r)⃗r+⃗r( ⃗∇r )=2 ⃗r ⃗∇ ⃗r=2 ⃗r (17.1)

∇ ⃗a= ⃗⃗ ∇  ω

t = ⃗∇ 

t 2 π

T = ⃗∇ (−2 π

T² )=0 (17.2) Usando la 17.1 e la 17.2 si può riscrivere la 17 come :

∇ (−⃗g )=⃗ k

12 πG(2 ⃗r)⃗a= k

6 π G⃗r ⃗a (18)

La 18 è la divergenza del campo (−g)^⃗ da cui se ne deduce che esiste il monopolo gravitazionale, come era facile aspettarsi.

Stando alla 18 sembra che il campo (−g)^⃗ si presenti sottoforma di un vortice e per meglio dire un vortice spaziotemporale.

Il moto rotatorio della sorgente attorciglia lo spaziotempo intorno alla sorgente e l'attorcigliamento produce un vortice a forma di cono dove l'intensità aumenta all'aumentare della distanza dalla sorgente :

Invece se applichiamo il teorema di Gauss per il flusso alla 15 si ha :

Φ_S( ⃗−g )=

∫

S

−⃗g d ⃗S=

∫

S

( k

12 πG)r²⃗a d ⃗S=

∫

V

( k

12 π G) ⃗r ⃗a d V (0.01) E se applichiamo il teorema della divergenza sempre alla 15 si ha :

Φ_s( ⃗−g )=

∫

S

−⃗g d ⃗S=

∫

V

∇ ⃗⃗(−g )dV (0.02)

Uguagliando il teorema della divergenza a quello di Gauss :

∫

V

( k

12 π G⃗r ⃗a )dV =

∫

V

∇ ( ⃗⃗ −g )dV (0.03)

Da cui :

∇ (−⃗g )=⃗ k

12 πG⃗r ⃗a (0.04)

che differisce dalla 18 per un fattore 2, cioè la 18 è il doppio della 0.04 :

∇ (−⃗g )=2⃗ k

12 πG ⃗r ⃗a= k

6 π G⃗r ⃗a (18)

Da cui possiamo dedurre che in realtà ci sono due

vortici :

Invece per quanto riguarda il rotore del campo (−g)^⃗ applichiamo l'operatore rotore ∇^⃗ x alla 15 :

∇⃗ x (−⃗g)= ⃗∇x ( k

12 π Gr²⃗a) (19)

e applicando l'identità ∇^⃗ x ( f ⃗A)=( ⃗∇ f ) x ⃗A+ f ( ⃗∇x ⃗A) alla 19 si ottiene :

∇⃗ x (−⃗g)= k

12 π G( ⃗∇r²)x ⃗a+ k

12 πGr²∇⃗ x ⃗a (20)

dalla 17.1 si ha ∇^⃗ r²=2 ⃗r e il prodotto vettoriale ⃗r x ⃗a=0 in quanto prodotto vettoriale tra vettori paralleli , quindi :

∇⃗ x (−⃗g)= k

12 π Gr²( ⃗∇x ⃗a) (21) La 21 è il rotore del campo (−g)^⃗ .

Infatti se sviluppiamo il rotore ∇^⃗ x ⃗a con ⃗a=(0,0 , a) :

∇⃗ x ⃗a=i(a_z

y)+j(−(a_z

x)) (21.1)

e il rotore ∇^⃗ x ⃗(−g) con (−^⃗g)=(0,0 ,−g ) :

∇⃗ x ⃗(−g)=i((−g_z)

y )+j(−((−g_z)

x )) (21.2) si ottengono le due equazioni scalari :

(−g_z)

y = k

12 π Gr²a_z

y (21.3)

(−g_z)

x = k

12 π Gr²a_z

x (21.4) che integrate per quadratura :

−g_z= k

12 πGr²a_z (21.5)

−g_z= k

12 πGr²a_z (21.6) ci riconducono alla 15.

Se confrontiamo la 21 ∇^⃗ x (−⃗g)= k

12 π Gr²( ⃗∇x ⃗a) con il rotore del campo gravitomagnetico dato da ∇^⃗ x ⃗B_g=−(8 π G

c ) ⃗J +2 c

 ⃗E_g

t attraverso la relazione

⃗B=−z ⃗v= ⃗−g trovata nell'articolo sul confronto tra la teoria ODG e GEM, si trova l'equazione di continuità per la massa ∇ ⃗^⃗ J +ρ

t=0 .

Capitolo 3 : Densità di energia del campo

.

Cominciamo col considerare un sistema di masse rotanti puntiformi disposte in una configurazione fissa e nota, e calcoliamo l'energia di interazione gravitazionale negativa posseduta dal sistema.

Inizialmente le masse siano tutte all'infinito e calcoliamo il lavoro necessario per portarle nella configurazione scelta.

Il lavoro sarà effettuato da una forza esterna F^⃗e .

Il posizionamento della prima massa può essere effettuato considerando il lavoro nullo, visto che inizialmente nello spazio considerato non è presente nessun campo gravitazionale negativo .

Il posizionamento della seconda massa a partire dall'infinito fino ad arrivare a distanza r₁₂ dalla prima massa, viene effettuato muovendo la seconda massa all'interno del campo gravitazionale negativo della prima.

Il lavoro che serve per posizionare la seconda massa viene effettuato dalla forza esterna spingendo contro la mutua repulsione tra il campo −⃗g e la seconda massa, quindi la forza esterna sarà uguale a F^⃗e=m₂(−g₁) .

Il lavoro effettuato dalla forza esterna sarà dunque :

L₂=

∫

∞ r12

m₂(− ⃗g₁)d ⃗r=

∫

∞ r12

m₂( k

12 π Gr²a⃗₁)d ⃗r= k

12 π Gm₂a⃗₁(1 3r₁₂³−1

3∞³)= k

36 πG m₂a⃗₁r₁₂³ (23) dove si è assunto che −(1

3∞³) →0 .

Se ora portiamo una terza massa dall'infinito nella sua posizione, il lavoro che bisogna compiere contro i campi −⃗g delle prime due masse sarà :

L₃=

∫

∞ r₁₃

m₃(− ⃗g₁)d ⃗r−

∫

∞ r₂₃

m₃(− ⃗g₂)d ⃗r= k

36 π Gm₃a⃗₁r₁₃³ + k

36 π Gm₃a⃗₂r₂₃³ (24) Quindi l'energia U posseduta da un sistema di tre masse sarà :

U =L₂+L₃= k

36 πG(m₂a⃗₁r₁₂³ +m₃a⃗₁r₁₃³+m₃a⃗₂r₂₃³ )= k

36 π G

∑

(j=i+1)1 3

( ⃗a_im_jr_ij) (25) Nel caso più generale di un sistema di N masse rotanti puntiformi, l'energia gravitazionale posseduta dal sistema sarà :

U = k

36 π G

∑

(j=i+1)1 N

( ⃗a_im_jr_ij) (26)

Nel caso più generale di masse macroscopiche e non puntiformi conviene passare al caso continuo, e quindi la 26 diventa :

U =

∫

τ

( k

36 π Gρ ⃗a r³)d τ (27)

dove ρ è la densità di tutti i corpi distribuiti nel volume τ tranne il primo, infatti nella sommatoria 26 non consideriamo mai m₁ e di conseguenza ρ₁ rispettivamente massa e densità del primo corpo;

⃗a è la somma di tutte le accelerazioni;

r³ è il cubo di tutte le distanze tra i vari corpi della distribuzione;

mentre d τ è l'elemento di volume.

Dalla 18 ∇ (−⃗g )=^⃗ k

6 πG ⃗r ⃗a si ha :

6 πG

k ∇ (−⃗g )=⃗r ⃗a⃗ (28) che inserita nella 27 :

U =

∫

τ

(1

6)ρr²( ⃗∇ (−⃗g ))d τ (29)

dall'identità vettoriale ∇ (^⃗ f ⃗A)=( ⃗∇ f )⃗A+ f ( ⃗∇ ⃗A) si ricava

f ⃗∇ ( ⃗A)=( ⃗∇ f ⃗A)−( ⃗∇ f )⃗A che applicata alla 29 con f =ρ r² e ^⃗A=(−⃗g ) :

U =

∫

τ

(1

6)( ⃗∇ (−ρr²⃗g )−( ⃗∇ ρr²)(−⃗g ))d τ (30)

e per la stessa identità di cui sopra ma con f =ρ e A=r² si ha :

U =

∫

τ

(1

6)[ ⃗∇ (−ρr²⃗g )−[(−⃗g )(( ⃗∇ ρ)r²+ρ( ⃗∇r²))]]d τ (31)

Analizzando la 31 si nota che l'elemento ∇ ρ^⃗ indica la variazione della densità rispetto alla posizione che per una densità isotropa ^{∇ ρ=⃗} 0 ;

mentre ∇^⃗ r²=2 ⃗r per le stesse condizioni di cui sopra.

Quindi la 31 diventa :

U =

∫

τ

(1

6)[ ⃗∇ (−ρr²⃗g )−(−⃗g 2r ρ)] d τ (32)

da cui segue :

U =

∫

τ

(1

6) ⃗∇ (−ρr²⃗g)d τ+

∫

τ

(1

6)(⃗g 2 r ρ)d τ (33) Per il teorema della divergenza si ha che

∫

τ

∇ (⃗ f ⃗A)d τ=

∫

S

f ⃗A d ⃗S , che applicato al primo integrale della 33 :

U =

∫

S

(1

6)(−ρr²⃗g ) d ⃗S +

∫

τ

(1

3)(⃗g r ρ)d τ (34)

dove τ è un qualunque volume che comprende tutta la distribuzione di massa rotante al suo interno, e S è la superficie che racchiude τ .

Fissata la distribuzione di massa rotante, la sua energia gravitazionale negativa totale U è la somma dei due termini che compaiono a destra della 34 indipendentemente dal volume τ considerato per eseguire il calcolo.

Tuttavia l'integrale di volume della 34 all'aumentare del volume τ va aumentando, almeno fino a quando non contenga tutto il volume in cui −⃗g≠0 .

In altre parole : più volume consideriamo e più campo gravitazionale negativo consideriamo, almeno fino a quando −⃗g≠0 .

Di pari passo va diminuendo il primo termine e cioè l'integrale di superficie.

Se il volume che consideriamo diventa così grande da contenere tutto lo spazio in cui

−⃗g≠0 , allora il primo termine tenderà a zero

∫

S

(1

6)(−ρr²⃗g )d ⃗S → 0 ; e di conseguenza la 34 si ridurrà a :

U =

∫

tutto lo spazio

(⃗g r ρ

3 )d τ (35) Dalla 15 −⃗g= k

12 πGr²⃗a → ⃗g=−( k

12 π Gr²⃗a ) che inserita nella 35 :

U =

∫

tutto lo spazio

(r ρ

3 )( −k

12 π Gr²⃗a)d τ=

∫

tutto lo spazio

(−( k

36 π Gρr³⃗a)) d τ=

∫

tutto lo spazio

u_−gd τ (36)

La 36 non è altro che la 27 cambiata di segno e l'integrando u_−g=−( k

36 π Gρr³⃗a )

rappresenta la densità di energia del campo −⃗g presente in tutto il volume in cui

−⃗g≠0 e ovviamente le dimensioni sono :

Dim(−( k

36 π Gρr³⃗a))=m⁻¹kg

m³m³s⁻²= kg

m s²=kg m² m³s²= J

m³ .

Nella Teoria ODG avevo fatto lo stesso ragionamento per la gravità positiva, cioè quella normalmente attrattiva che tutti conosciamo, e il risultato ottenuto era :

u_g=−g²

8 πG (densità di energia per la gravità positiva) da confrontare con quello appena ottenuto :

u_−g=−( k

36 π Gρr³⃗a ) (densità di energia per la gravità negativa)

Se, ipoteticamente, consideriamo una regione di spaziotempo in cui siano presenti tutti e due i campi gravitazionali (positivo e negativo), ed abbiano la stessa intensità allora avremo una condizione del tipo :

u_g=u_−g → −( g²

8 π G)=−( k

36 π Gρr³⃗a) → ( g²

8 π G)−( k

36 π Gρr³⃗a)=0 (37)

La 37 mette in evidenza una relazione importantissima, infatti se le due quantità si equivalgono si avrà che la densità totale di energia risulti uguale a ZERO !!!

Questo vuol dire che :

GLI EFFETTI GRAVITAZIONALI SI POSSONO ANNULLARE !!!

In pratica il vortice spaziotemporale generato dalla gravità negativa tenta di appiattire nel suo intorno la curvatura spaziotemporale della gravità positiva!!

Secondo postulato :

se in un qualunque punto dello spaziotempo si ha una condizione del tipo

u_g=u_−g allora in quel punto non sarà presente nessun tipo di accelerazione gravitazionale, ne attrattiva ne repulsiva;

il che equivale ad avere, per quel punto, una condizione di sistema inerziale a meno di altre accelerazioni dovute ad effetti diversi dalla gravità.

In sostanza : BASTA UNA PICCOLA SPINTA PER MUOVERSI !!

Capitolo 4 : Vettore di Poynting.

Consideriamo una superficie chiusa S di forma costante al cui interno sia contenuto il campo −⃗g .

Allora l'energia totale U contenuta in S sarà data dalla 36 :

U =

∫

tutto lo spazio

(−( k

36 π Gρr³⃗a))d τ

dove d τ è l'elemento di volume contenuto in S.

Derivando rispetto al tempo la 36 si ottiene :

U

t =

∫

τ

( t( −k

36 π Gρr³⃗a ))d τ (38)

La derivata dell'integrando della 38 a parte la costante è :



t(ρ ⃗a r³)=ρ

t ⃗a r³+ρ 

t(⃗a r³) (39) da cui :



t(ρ ⃗a r³)=ρ

t ⃗a r³+ρ⃗a

t r³+ρr³

t ⃗a (40) segue che :

r³

t = 

t(⃗r r²)=⃗r

t r²+⃗r r²

t = ⃗r

t r²+⃗r (⃗r

t ⃗r +⃗r⃗r

t)=3 r²⃗r

t (40.1) E quindi :



t(ρ ⃗a r³)=r³⃗a ρ

t+3 ρ⃗a r²⃗r

t (41) dove ^⃗a

t=0 in quanto ⃗a è una costante del moto della sorgente.

Usando l'equazione di continuità la 38 diventa :

U

t =

∫

τ

(−( k

36 π G(r³⃗a(− ⃗∇ ⃗J )+3ρ r²⃗a ⃗v)))d τ (42)

dove ⃗v è la variazione della distanza fra le sorgenti, o velocità di allontanamento o avvicinamento tra le sorgenti.

Da cui :

U

t =

∫

τ

( k

36 π Gr³⃗a ( ⃗∇ ⃗J )− k

12 π Gρr²⃗a ⃗v)d τ (43) Dalla 15 risulta −⃗g= k

12 πGr²⃗a che inserita nella 43 ci da :

U

t =

∫

τ

(1

3( ⃗−g )⃗r( ⃗∇ ⃗J )−(( ⃗−g )ρ⃗v))d τ (43) e :

U

t =

∫

τ

(1

3( ⃗−g )⃗r( ⃗∇ ⃗J ))d τ−

∫

τ ( ⃗−g )ρ ⃗v d τ (44)

Applicando l'identità f ( ⃗∇ ⃗A)= ⃗∇ (f ⃗A)−( ⃗∇ f ) ⃗A all'integrando del primo integrale della 44 si ha :

1

3( ⃗−g )⃗r ⃗∇ ⃗J = ⃗∇ (1

3( ⃗−g )⃗r ⃗J)−( ⃗∇1

3( ⃗−g)⃗r) ⃗J (45) e :

( ⃗∇1

3( ⃗−g )⃗r)=1

3⃗r ⃗∇ ( ⃗−g )+1

3(−g) ⃗∇ ⃗r=1

3⃗r ⃗∇ ( ⃗−g )+1

3( ⃗−g) (46) inserendo la 18 ∇ (−⃗g )=^⃗ k

6 πG⃗r ⃗a e usando la 15 −⃗g= k

12 πG r²⃗a nella 46 :

( ⃗∇1

3( ⃗−g )⃗r)=1

3⃗r ⃗∇ ( ⃗−g )+1

3( ⃗−g)=1 3⃗r k

6 π G⃗r ⃗a+1

3( ⃗−g )=2

3( ⃗−g )+1

3( ⃗−g)=( ⃗−g ) (47) quindi :

U

t =

∫

τ

( ⃗∇ (1

3( ⃗−g)⃗r ⃗J )−( ⃗−g ) ⃗J−( ⃗−g ) ⃗J)d τ (48) dove nel secondo integrale della 44 è ρ⃗v=⃗J . Infine :

U

t =

∫

τ

∇ (⃗ 1

3( ⃗−g )⃗r ⃗J)d τ−

∫

τ

(2( ⃗−g )⃗J )d τ (49)

Applicando il teorema della divergenza al primo integrale della 49 :

U

t =

∫

S

(1

3( ⃗−g )⃗r ⃗J)d ⃗S−

∫

τ

(2( ⃗−g) ⃗J)d τ (50) e

−(U

t )=−

∫

S

(1

3( ⃗−g)⃗r ⃗J )d ⃗S+

∫

τ (2( ⃗−g )⃗J)d τ (51)

E' facile notare che l'integrale di volume della 51 da conto della dissipazione di energia nel volume τ in cui −⃗g≠0 per via del moto tra le sorgenti causato dalla gravità negativa, infatti l'integrando rappresenta una densità volumetrica di potenza

W /m³ ;

Mentre l'integrale di superficie da conto di un aumento di energia nella superficie S che racchiude il volume τ in cui −⃗g≠0 , quindi non c'è nessun flusso di energia attraverso la superficie S che racchiude il volume τ in cui −⃗g≠0 . Vale a dire : non esiste il vettore di Poynting per la gravità negativa.

Quindi, riassumendo, possiamo dire che la 51 ci dice che l'energia associata al campo −⃗g resta confinata nella regione di spazio in cui −⃗g≠0 e la dissipazione è dovuta esclusivamente al moto delle sorgenti dei campi, ovvero avviene solo una trasformazione di energia e cioè si passa dall'energia di gravità negativa a quella meccanica delle sorgenti.

Terzo postulato:

tutti i corpi dotati di massa che si muovono attraverso lo spaziotempo emettono onde gravitazionali trasferendo gravità positiva o attrattiva ad altri corpi attraverso il vettore di Poynting ^̄I = r a g

4 π G w√2 dato dalla 216 ODG;

se ruotano su se stessi allora sono anche sorgenti di gravità negativa, ma il

trasferimento di energia di gravità negativa o repulsiva ad altri corpi avviene solo nella regione di spazio in cui il campo −⃗g≠0 .

Il terzo postulato implica che sia ∇ ( ⃗^⃗ −g )=0 in apparente disaccordo con la 18

∇ (−⃗g )=⃗ k

6 πG ⃗r ⃗a . La spiegazione è che la 18 considera il flusso attraverso la

superficie della sorgente, mentre ∇ ( ⃗^⃗ −g )=0 vale solo per la superficie che racchiude il volume in cui −⃗g≠0 e cioè la superficie che racchiude i vortici che

rappresentano il campo −⃗g .