Funzioni continue
Def.
Una funzione f(x) è continua in x
0, se:
Funzioni continue
: 0
0
ossia
) ( ) ( lim )
( lim )
(
lim
2 01
0 0 0
x f x f x
f x
f
x x x xx x
Discontinuità
0 0
) ) (
( x x
x x x
x f
f
a) Discontinuità eliminabile )
1( lim
0
f x
x
x
lim ( )
20
f x
x
x
1
2 f ( x
0)
f(x) è stata prolungata per continuità – ridefinita per continuità attraverso f(x)
Esempio di discontinuità eliminabile
0 1
0 ) ( )
(
x x x
x sen x
f
x x x sen
f ( )
)
( x 0
Funzioni continue
Discontinuità
b) Discontinuità di prima specie (salto) )
1( lim
0
f x
x
x
lim ( )
20
f x
x
x
1
2Funzioni continue
Esempio di discontinuità di prima specie
x y |x|
| 1 lim |
| 1 lim |
0
0
x
x x
x
x x
: 0
:
.E xR x C
Discontinuità
c) Discontinuità di seconda specie
) ( lim , ) ( lim
0 0
x f x
f
x x x
x
Se uno dei due limiti non esiste oppure è
12
1
y x
Funzioni continue Esercizio
Dire se è continua in x=0 la funzione così definita
0 0 0
) 1 (
|
| ln 2
x e x
x f
x x
Esercizio
Dire per quali valori di k è continua la funzione così definita
0 0 2
) 1 (
2
x x k x x x
f
Esercizio
Dire per quali valori di k la funzione f(x)è continua in x=1
1 1 1
ln 2 )
(
x x k
x x x
f
Funzioni continue
Continuità della funzione composta
Siano:
g definita almeno in un intorno di x0 e continua in x0 , f definita almeno in un intorno di y0 =g(x0) e continua in y0, allora la funzione f(g(x)) è definita almeno in un intorno di x0 ed è continua in x0 :
)) ( ( )) ( (
lim
00
x g f x g
x
f
x
Funzioni continue
• Le funzioni elementari sono continue nel loro campo di definizione,
• Somma, prodotto, quoziente (con denominatore diverso da zero) di funzioni continue danno funzioni continue,
• La composizione di funzioni continue è una funzione continua
Il limite si calcola sostituendo x0 nell’espressione analitica della funzione.
Esercizio
Calcolare il limite
4 lim 2 3
3
1
x x x x
x
Teorema della permanenza del segno
Sia f(x) definita almeno in un intorno di x0 e continua in x0.
Se f(x0) > 0 allora ∃𝛿 > 0 :
Dimostrazione.
Funzioni continue: Teoremi
,
.0 )
(x x x0 x0 f
In particolare
. 2 0
) ( 2
) ) (
( )
( 0 f x0 f x0 x
f x f
Se =f(x0)=0, non si hanno informazioni sul segno di f(x).
NOTA:
Il teorema della permanenza del segno vale anche per funzioni che non sono continue in x0,in questo caso anziché f(x0) si considera .
Teorema degli zeri
Sia f(x) continua in [a,b] . f(a)∙f(b) <0 allora
Se f è anche strettamente monotona, lo zero è unico.
Funzioni continue: Teoremi
, : ( 0) 0.0
x a b f x
Teorema dell’esistenza dei valori intermedi (conseguenza del teorema degli zeri)
Una funzione f(x) continua in [a,b] assume tutti i valori compresi tra f(a) ed f(b).
Teorema di Wierstrass (sul max e min)
Sia f(x) continua in [a,b]. Allora f(x) assume massimo e minimo assoluto in [a,b], cioè
Funzioni continue: Teoremi
) ( ) ( ) ( : ] , [
,
2 1 21 x a b f x f x f x
x
Una funzione f(x) continua in [a,b] assume tutti i valori compresi tra il minimo(m) e il massimo (M)
Funzioni continue: Teoremi
Es.
y= ex-1 𝑥𝜖 0,1
e e e
x x
min 1
1 max
1 ] 1 , 0 [
1 1
, 0
Es. Il teorema di Weierstrass
non è applicabile: l’intervallo non è chiuso.
f(x) non è limitata superiormente
] 1 , 0 ( 1 ,
x
y x
Funzioni continue: Teoremi
Es. Il teorema di Weierstrass
non è applicabile: l’intervallo non è limitato.
f(x) è limitata ma non ammette minimo,
) , 1 [ 1 ,
x
y x
1 0 inf
, ) 1[
x
Criterio di invertibilità
Una funzione continua e strettamente monotona in [a,b]
è invertibile in tale intervallo.
Dimostrazione.
Supponiamo che f(x) sia strettamente crescente in [a,b], si ha ,
f(a)=minimo, f(b)=max.
Per il teorema dei valori intermedi:
e tale x è unico.
) ( ) ( )
(
a f x f bf
y x f b a x b
f a f
y
[ ( ), ( )], [ , ] : ( )
Funzioni continue: Teoremi
Infatti se
) ( ) ( y :
:
,
2 1 2 1 21 x x x f x f x
x
si ottiene un assurdo perché per ipotesi
) ( )
(
1 22
1 x f x f x
x
Quindi f(x) è iniettiva e perciò invertibile.
Inoltre la funzione inversa di una funzione continua è
