Le condizioni ai limiti per le lastre elastiche piane.

(1)

Le condizioni ai limiti per le lastre elastiche piane.

M e m o r i a di GIULIO SUt'INO (a Bologna).

Sunio. - L ' A . s t u d i a le condizioni ai t i m i t i per Ie lastre pia+~e caricate soItanto sul contorno e completa i r i s u t t a t i del K]:I~CHHOFF e quetli p i ~ ~'ecenti di A L l , ANSI.

1. Si consideri u n a lastra elastica caricata soltanto sul eontorno. P e r d e t e r m i n a r e e s a t t a m e n t e la sollecitazione sarebbe necessario assegnare su ogni generatrice del eontorno e per ogni punto di questa la forza esterna agente (o lo spostamento impresso). Ma nei solidi t h e hanno u n a dimensione piecola rispetto alle altre due, non ha interesse la distribuzione precisa delle forze al contorno bastando conoscere, su ogni generatriee, i valori delle risultanti e ritenendo (in applicazione al principio del DE S A I ~ ¥:~.~AN~) ehe due distribuzioni diverse di forze esterne, eorrispondenti, su ogni generatrice, alle stesse risultanti, diano luogo, a piecola distanza dal contorno, a differenze di tensione trascurabili.

In queste eondizioni, assunto come piano x, y il piano medic della lastra, basra assegnare su ogni generatrice del eontorno

a) le risultanti P x e Pv agenti sul piano m e d i c ; b) la risultante P , ;

c) i momenti M , e Mt ehe hanno per asse la normale n a l contorno s della lastra in corrispondenza del suo piano medic e la tangente t allo stesso eontorno.

Queste cinque condizioni sono state amlnesse dal POlSSON.

I1 K I R e ~ O ~ F invece assegna quattro sole eondizioni ai limiti e cio~, oltre alle due indicate in a) e ehe per l a sovrapposizione degti effetti pos- sono essere considerate separatamente, anehe

d) Mt e P . ~s"

U n a spiegazione, a carattere intuitivo, di questa discordanza si deve a TItOMSON e TAIT (nel ~ Treatise on Natural P h y l o s o p h y >>) e al B O U S S I N E S Q ;

gli Autori successivi la riprodueono tutti senza modificazioni. In nna Nota

(2)

308

G.

Su~I~o: L e c o n d i z i o n i ai l i m i t i p e r le l a s t r e elastiche p i a n e

del 1932

(J)

{alia q u a l e r i m a n d o p e r le c i t a z i o n i p r e c e d e n t i ) o s s e r v a v o su u n e s e m p i o e h e l a s p i e g a z i o n e del T K o M s o ~ e TAIT n o n 6 s e m p r e esatta, p e r e h b , m e n t r e e s s a a f f e r m a e h e in u n a l a s t r a e a r i e a t a s o l t a n t o sut e o n t o r n o d a forze c o r r i s p o n d e n t i a

~.M, __ O, Mt --- O, (P~' = Pv = 0),

(1) P z ~s

le s o l l e e i t a z i o n i sono t r a s c u r a b i l i a p i c e o l a d i s t a n z a dal e o n t o r n o stesso, si o s s e r v a i n v e c e c h e l a d e f o r m a z i o n e deI p i a n o m e d i o ~ n u l l a in o g n i p u n t o del c a m p o (per le l a s t r e sottili) m a n o n si p u b a f f e r m a x e c h e le t e n s i o n i t a n g e n z i a l i d i v e n g a n o p r e s t o t r a s c u r a b i l i .

S u c c e s s i v a m e n t e I ' A L ~ ± ~ s I , in u n a s e r i e di N o t e p u b b l i c a t e nel 1933 (~) i m p o s t a v a di n u o v o la t e o r i a d e l l e l a s t r e g r o s s e e d i m o s t r a v a c h e u n u solle- e i t a z i o n e c o r r i s p o n d e n t e alle (1) si p u b c o s t r n i r e c o n u n a c o m b i n a z i o n e l i n e a r e di t r e f u n z i o n i u t s o d d i s f a c e n t i a l l a e q u a z i o n e 5 ' u - - - - t u (~} co~ t c o s t a n t e m a d i v e r s o d a u n a f u n z i o n e a l l ' a l t r a } e a f [ e r m a v a c h e le f u n z i o n i stesse d a v a n o l u o g o a c o m p o n e u t i di t e n s i o n e t r a s c u r a b i l i a p i c c o l a d i s t a n z a dal contor~m ( s o l u z i o n i << e v a n e s c e n t i >>).

I n q u e s t a M e m o r i a io r i p r e n d o la q u e s t i o n e e~ s e g u e n d o in p a r t e il pro- c e d i m e n t o , d e l l ' A L ~ A X S L d i m o s t r o c h e n o n solo le s o h z i o n i c o r r i s p o n d e n t i alle ( 1 ) d ~ n n o l u o g o a d e f o r m a z i o n i n u l l e del p i a n o m e d i o m a a n c h e t u t t e q u e l l e a l t r e c h e c o r r i s p o n d o n o a u n a d e l l e s e g u e n t i c o n d i z i o n i :

(2) _~i,=o, : t L = o , P,4=o,

(3) 3It=O. M,,~O, P , = O ,

(4) M t 4 = O , M , , = O , P,~---O.

D i m o s t r o p u r e c h e n o n s e m p r e q u e s t e s o l u z i o n i d'Anno l u o g o a c o m p o n e n t i di t e n s i o n e r a p i d a m e n t e < e v a n e s c e n t i >> c o n f e r m a n d o in cib q u a n t o a v e v o a f f e r m a t o n e l l a mia, N o r a det 1932.

P e r c h i a r e z z a r i p r e n d e r b d a l l ' i n i z i o il p r o b l e m a d e l i e l a s t r e g r o s s e i n f l e s s e r i f e r e n d o a n c h e la s o l u z i o n e di LOVE-MIOm~LL; e s p o r r b poi le s o l u z i o n i di

0) @. SvPINO~ Le equazioni ai limiti nella teoria delle last,re so#ill. ¢ Bollettino della Unione Matematica Italiana % Giugno 1932.

('~) Suite deformazio+~i delle piastre eta.stiche. Mote I e [I, <, Rend. Lincei ,,~ 2 ° sere. 1932;

Note I I I a ~II~ ibid.~ 1 ° sere. 1933; ~rote V I I I e IX~ ibid, 2 ° sem. 1933.

+ Quando si sappia gih che una funzione indipendente 4a z scrivo ~ in luogo di 5'.

(3)

(L SvPI~o: Le condizioni ai limiti per le lastre elastiche plane 309

ALMANSI e t r a t t e r b delte loro c a r a t t e r i s t i e h e . I n f i n e e s t e n d e r b il r i s u l t a t o alle tas~re sottili. E d a r i l e v a r e ehe u n n u o v o p r o b l e m a a n a l i t i c o (riducibile ad u n a e q u a z i o n e i n t e g r o - d i f f e r e n z i a l e ) r i s u l t a dalle condizioni ai l i m i t i stu- d i a t e al § 3.

§ t. N o t a z i o n i . E q u a z i o n i g e n e r a l i .

2. A s s u m i a m o come p i a n o (x, y) il p i a n o medio d e l l a l a s t r a ; l ' a s s e z sia n o r m a l e a q u e s t o p i a n o e positivo verso l ' a l t o ; il triedro x, y, z sia o r i e n t a t o in modo che u n o s s e r v a t o r e diretto secondo z e rivolto al verso positive d e l l ' a s s e y a b b i a x alla s u a d e s t r a (triedro destrorso, u s u a l e della meecaniea).

S i a a l a d i s t a n z a delle d u e basi d e l l a I a s t r a del p i a n o x, y e s la l i n e a che il c o n t o r n o sega sullo stesso piano. I n u n p u n t o d i s s i a t la t a n g e n t e ed n la n o r m a l e n e l piano x, y. I1 c o n t o r n o s a r h destrorso, t si a s s u m e posi- tiva nel verso di p e r c o r r e n z a del c o n t o r n o e n p o s i t i v a verso l ' e s t e r n o ; cosi il t r i e d r o n, t, z 0 o r i e n t a t o come il triedro x, y, z (~).

3. S u ogni g e n e r a t r i c e del c o n t o r n o la r i s u l t a n t e delle forze e s t e r n e si pub d e c o m p o r r e :

a) helle e o m p o n e n t i seeondo gli assi x e y g i a e e n t i nel piano m e d i o d e l l a l a s t r a ;

b) n e l l a e o m p o n e n t e P z e nei m o m e n t i My e M,~ ; la P~ ~ p o s i t i v a verso l ' a l t o , i m o m e n t i b a n n o p e r asse r i s p e t t i v a m e n t e y e x e sono positivi se u n o s s e r v a t o r e o r i e n t a t o come 1 ~ a.sse li vede ruo~are come le l a n c e t t e delF orologio.

I n v e c e di M y e .M~ si possono e o n s i d e r a r e i m o m e n t i M,, e M t {per i q u a l i v a l g o n o le stesse eonvenzioni).

P e r la s o v r a p p o s i z i o n e degli e f f e t t i si pub t e n e t conto s e p a r a t a m e n t e delle condi~ioni ai l i m i t i a) e b). Nel seguito ei o c c u p e r e m o solo delte con- dizioni b) perch~ il caso a) ~ gi~ e o m p t e t a m e u t e risolto (con la soluzione del p r o b l e m a di CLE:BSCH) (~}.

4. S e r i v i a m o o r a le e q u a z i o n i g e n e r a l i d e l l ' e q u i l i b r i o elastico (in a s s e n z a di forze di massa).

(1) Sarebbe ovviamente lo stesso riferirsi alla normale interna e assumere s sinistrorso.

(.2) A proposito del quale si pub confrontare la mia ~:ota: Sul problema di Clebsch~

~ Rendic. Lincei ~ 1 ° sere. 1932.

(4)

310 G. S c H ~ o : L e condizioni ai l i m i t i p e r Ie lastre elastiche p i a n e

L e e q u a z i o n i i n d e f i n i t e s o n o :

(5)

a - - - - 7 - + ~ - + a ~ - - = o ,

8%~ 3%, 3% = O.

L e c o n d i z i o n i ai l i m i t i h a n n o la. f o r m a :

(6)

:~ cos (n, x) + ~ v cos (n, y) + ~ cos (n, z) ---p~,

~ v cos (n, x) + % cos (n, y) + ~ w cos (n, z) = 1 % ,

~ , cos (n, x) + ~ w cos (n, y) + ~ cos (n, z) = p~.

Ma, c o m e si sa, le (5) e (6) n o n d e t e r m i n a n o a n e o r a l s s o l u z i o n e . 0 c c o r r e t e n e r e o n t o d e l l e c o n d i z i o n i di c o n g r u e n z a del D~ S A I ~ T - V E N A ~ . E s p r i m e n d o q u e s t e in f u n z i o n e d e l l e t e n s i o n i si r i c a v a n o {dope q u a l c h e t r a s f o r m a z i o n e ) le e q u a z i o n i di BELTtiAiVtL P o s t o H :=-v~ + % + v~, m c o e f f i c i e n t e di POlSSO~

m 3 : H m 3~H

5 % . + - - 0 , A % ~ - + - - 0 ,

m d - 1 3x ~ m + 1 "3x3z m ~c~H-=o A~:v ~ - m 3 " H _ o , Acs v +

m + l 8y~ ' m + . 1 3 y 3 z

m ~ " H m 3 ~ H

A % 4- - - 0 , Az~. v + - - 0 .

m + l 3z" ~n + 1 ~cx?y

si h a :

{7)

C e r c h e r e m o di d e t e r m i n a r e le s o l u z i o n i p o s s i b i t i in u n a l a s t r a p a r t e n d o d a p o s i z i o n i p a r t i c o l a r i e f o n d a n d o s i s u l l e (5), (6) e (71.

§ 2. S o l u z i o n e L o v e - M i e h e l l (*).

5. S u p p o n i a m o c h e sia n u l l a in ogni p u n t o d e l l a l a s t r a la % . e s s e n d o d i v e r s e da, zero le ~ l t r e c i n q u e c o m p o n e n t &

S e % --~ 0 si r i c a w d a l l a t e r z a d e l l e e q n a z i o n i di BELTn_a~I e h e s , -)- % ---- H d e v e e s s e r e t i n e a r e in z :

H = K~(x, Vl + ~K,(~, y), (A~o = AK, = 0).

(t) J. K. ~ I C H E L L , ~ Londou ~.[a.th. Soe. Proe. ,~ vol. 31 (1900), p. 100..4. E. K. LOVE, A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity. Londra 1906, (2 ~ ed.) e ediz. successive,

(5)

G. Str~,IXO: Le co¢~dizioni ai limiti per le lastre elastiche piane 311

Lo state di sollecitazione e o r r i s p o n d e n t e a K~ ~ gih state studiato a proposito del p r o b l e m a di CLEBSCH e non ha interesse p e r le condizioni ai li- miti b); testa da d e t e r m i n a t e la solleeitazione piil generale c o r r i s p o n d e n t e a K~.

P e r le equazioni di BEL~I~A)*I

m 8K~ m 3K,

A ' c z x ~ - - A'~y z - - -

m + l ~x ' m + l ~ y '

e da queste (rieordando ehe AK~ = 0 e che % . , Zv~ sono nulle sulle basi) segue come soluzione possibile (~)

(8t

i m ~K~

v~x - - 2 ( m + 1) (z2 - - a~) 3 x '

_ m ~ K ,

,) = + 1} - av

Le p r i m e clue equa, zioni indefinite divengono allora

~ea~ 3"%u m 3K~ a% ave, v m OK,

3-7 + 3y - - m + - l Z 3-x ' 3y + 3x - - m + l Z 3y ' m e n t r e la terza ~ a u t o m a t i e a m e n t e soddisfatta.

Segue di qui ~tenendo conto che la soluzione del sistema p r e c e d e n t e q u a n d o i seeondi m e m b r i siano eguali a zero ~ u n a funzione di AIRY):

i a 2 ( 2 m - - 1 ,, ) mz

a ~ 2 m - - 1 z.2K ' + K ~ ,

i

% = Z a x ~ ~ + 6 ( m + 1) m + 1 / **v axay 6(m + 1) "

Deve essere hh~b-~-0 ed inoltre A + - ^{m -} ¹ m + 1 K , .

(i) V o l e n d o la soluzione pitt g e n e r a l e d o v r e m m o a g g i u n g e r e alia p r i m a della (8) u n a funzione a r m o n i c o ~ arb'itraria 9t~ a lla seconda una funzione a r m o n i c a ~e. D a l l e e q u a z i o n i i n d e f i n i t e si r i c a v e r e b b e poi ~ ~--x . . . ~@2 ~y~; e s u c c e s s i v a m e n t e si o t t e r e b b e r e le e s p r e s s i o n i p e r ax~ vy~ % y . I n d e f i n i t i v a si p o t r e b b e v e r i f i e a r e che tall espressioni coincidono con ]e s o h z i o n i di ALM&NSI che saranno esposte al § 3. C o n c l u d i a m o percib a f f e r m a n d o c h e l a soluzione LOVE-MICHELL pi~ la sohlzione 'A-LMANSI danno la soluzione elastica pitl g e n e r a | e corrisloondente a % ~ 0.

(6)

312

G . S u P i n e : L e co~dizioni ai ~imiti per le lastre elastiche p i a n e

6. Le condizioni ai limiti si esprimono faeilmente. ]~ ehiaro ehe ~, P~ ~ P y - ~ 0. Rieerehiamo P~, M~, e M~. Su ogni ~eneratrice del eontorno si ha (in base alle (6) essendo cos (n, z ) ~ 0)

110) 1

~= c os (n, x) + ~ cos (n, y) = p=,

~=v c o s (n, x) + % cos (n, y) - - P v , I ~.= c o s (~, ~) + ~ oos (n, y) = p ~ ,

ed inoltre (date l'orientamento scelto per gli assi eoordinati e per i momenti)

(11) f p , d, = P,, /zp.dz-- -- M,, fzpydz t n a l o g a m e n t e 6

Dalle (8}, (9}, (10},

OOS (n~

M= = 3 3x3t 2~ + 5 ( m q ] i ) a~K' a ' 3~ ( 2 m - - l a = K ~ )

2a 3 m 3K, P ~ = 3 m - t - 1 3n

= .M~,.

q--a + a

(11) si deduce, tenendo presente ehe nel nostro ease

x) = c o s (t, y), c o s (+~, y) = - - c o s if, ~c),

2a 3 m dx

3 m + l K~ dr' 2a :~ m K~ dy

3 m-4-1 d r '

od anche, tenendo conto che

Mt = M,+ cos (t, y) + M~ cos ~t, ~c),

M,~ = 21/~ c o s (n, y) + M ~ c o s (n, z),

a3 3~.( 2 m - - 1 ) 2a.3 m K~

M r = 3 ~2 2 , ~ + 5 ( m + l ) a~K~ 3 m + l '

i a 3 3 ~

2 m - -

1

(12, I M " - 2a ~3 3t3n(2'5'-+-5(m+l)a~KO'm 3K, Pz-- 3 mA-1 3n"

m -4- 1

Essendo K ~ - A~ e ~ armoniea del 2 ° ordine non ~, possibile;

m - - 1 '

in generale soddisfare a tutte e tre le condizioni poste, ma si pub soddisfare

a due di esse, ottenendo una soluzione che differisea dalla effettiva per eondi-

(7)

G. SueI~o: L e condizioni . i limgti per le lastre ehtstiche plane 313

zioni al contorno tipo (1} o (2} o (3} o (4). U s u a h n e n t e si assegnano .M t e c~--8-- - - P~ ;

( 2cV 2 m ... 1 2a :~ 2 ( , ~ m - - 1 )

eiob post,) X : ~ - + + i 5 ( ; i : ~ : ~ - l ) a~K,. A X : ~ A , ~ - 3 m + l K ~ si soddisfa alle eondizioni

M ~ - - ~t ~ 7 . + - - AT~ - - - - P ~ : ~ - - X - t

m - - 1 ' ~ s ~ t " ~ n m - 1 ~ n '

m a si possono assegnare, indifferentemente, anche eondizioni diverse come

abbiamo gih aecennato e come mostreremo in seguito.

§ 3. L e s o l u z i o n i d i A l m a n s i .

7. Se si vogliono soddisfare, per u n a lastra inflessa, tutte b ire le condizioni imposte su una generatrice (e clog P , , Mr, M . essendo P x - - ~ P y = 0 ) oecorre considerare oltre alla soluzione ora esposta anche u n ' a l t r a soluzione dovuta ad A5~_A_~SI.

(13)

Si ponga :

, % =

% = 0 ,

" ~ x y - - " ~ z : v - - =

~, ~y~ ~x ~ ' ~y~z' r'v* ~x~z'

essendo ~ una funzione armonica di x~ y, z. La derivata ~ deve annullarsi per z-=--::t:: a se si vuole che le basi siano scariche.

Tenendo eonto ehe si ha i d e n t i e a m e a t e

---- ~y~--- -- A'~¢ = -- 2 ~ + A',¢,

si pub verifieare che sono soddisfatte le equazioni indefinite d e l l ' e q u i l i b r i o e le equazioni di BELTn~_MI (2).

Gli spostamenti sono dati dalle formule (helle quali E indica il Inodulo di elastieith) :

2(m + 1) ~ 2(m + 1) ~

(14) u = E m - ~ x ~ v - - E m ~ y ' w = O . Se ~ ~ dispari in z si ha sul piano medio u - - v = w = O.

,4~nc~li d i M v ~ t e o t c ~ t i c a , S e r ~ e I V , T o m o X V I I . :i0

(8)

314 G-. Sugi.No: L e condizioni ai limiti per le lastre etastiche p l a n e

8. U n tipo di f u n z i o n e ~ t h e utilizzeremo in seguito 6 il s e g u e n t e : krcz

= ua(x, y) sen 2a- ~

con k intero e dispari ~perch6 sia LS ~ j ~ = = - - - O . Dalla. e o n d i z i o n e A~ = 0 r i s u l t a

(k 7

A'Ul, = k~u~, Xk = 12a] "

P o n i a m o ora

q-a + a

l~,, --jz~,x&, 3l,~--=fz~xyda,

D a t a la seelta di ~ si ha

Ma,

M 2 2 = j z % d z .

a" uh " k u z

= 2 ~ j ~ s~n =--za

&"

z sen ~ dz = ± 2 \ k ~ ] - - ~ x--h

- - 0 ;

(segno + se k = 4 m + t, - - se k = 4 m + 3 ~ e q u i n d i possiamo s c r i v e r e

M ~ i = _ + - ~,- - - , M ~ ° = ± M ~ : = +___

- . ax ay " ~,. am a y ' ~,,, \ ay ~ ax =/"

]~ poi

p e r c h 6

? f -

P~ = ~ . d z = +- 2 ~7] , P~- = ":u~dz= - - + 2 3uk~x

- - ~ - - C a

kgZ]q -a

I s e n ~ - - ! ---__-+2 [ z a j_,~

( + s e k = 4 m + l , - - s e k = 4 m + 3 } .

C o n v i e n e s c r i v e r e le condizioni ai limiti r i f e r e n d o s i alia f u n z i o n e u,, Si ha allora

(15)

i

- - 2 a - U + ~-kUh =- .M,~

~uk

I a~,hUk : p , . at

~Uk

(9)

G. SvPI~¢O:

Le condizioni ai limiti per le lastre elastich, e piane

315

9. C o n s i d e r i a m o ora tre n u m e r i positivi k~, ~ , k~ (k~ > ) , ~ > ~,,) e tre funzioni u~, u ~ u~ s o d d i s f a c e n t i alle condizioni

V e d i a m o se ~ p o s s i b i l e s o d d i s f a r e con esse a condizioni del ~ipo s e g u e n t e v a l i d e sul c o n t o r n o del c a m p o ) :

i u t + % + u~ = A (17) ~ - - (u~ + uo + u3) -~ B 3

I 3 n

, ),tU~ + ),~U~ + )~U~ = C.

C o n s i d e r i a m o p e r c i b l'in~egrule esteso at con~orno s :

L t d-n (u~ + u~ + u~) + 3n + d-n

8

nel q u a l e ~, ~, -( sono funzioni p e r ora i n d e t e r m i n a t e e t r a s f o r m i a m o l o in in i n t e g r a l e esteso al c a m p o z (per mezzo del l e m m a di GI~EE~¢). S c r i v i a m o p e r brevit/~

P o n i a m o ora

e s s e n d o

U - - u ~ + u 2 + u ~

(onde

A U - ~ ),~u~ + ~.~u.2 + ).3u3)

= f f ' l 3 ~ 3 U 3 ~ 3 U + ~ . A U + L A ~ . U d 3 ~ 3 x q ~ y 3 y

d 3 ~ 3 U 3 ~ 3 U 3~,3AU

373AUtd~.

= A A U - - k A U + k~U

~ ( A A u - - k , A u ) 7 : A U

k 1

ed o s s e r v i a m o t h e

AA U = ),~u~ + X;u.. 2 +

A A A U - klAk U + k=kU= ~,LflaU.

Allora l ' i n t e g r a l e L si riduee a

o"

t i c 6 a u n a s o m m a di soli q u a d r a t i . Ora q u a n d o L si e s p r i m e c o m e inte.

3 u

grale di c o n t o r n o esso ~ nullo se sono nulli

u , d - u ~ + u 3 , ~ ( , + u o + u a ) ,

(10)

316 G. SupI~o: Le condizioni ai l~miti per le la, stre elastiche plane

),,u, + ~.~u~-4-X3u 3, se L si e s p r i m e come i n t e g r a l e di c a m p o a l l o r a si a n n u l l a s o l t a n t o se ~ zero u i + u : + u ~ = U. C o n c l u d i a m o c h e s e esiste u n a so]uzione p e r te (17) taie soluzione b u n i c a in q u a n t o se nelle (17 f s~esse si p o n g o n o i s e c o n d i m e m b r i u g u a l i a zero, a l l o r a b L u g u a l e a zero e q u i n d i lper l ' i n t e - g r a l e di campo) u t + u: + u~ ~= 0, ),~u~ + ),2u~ + ),~u 3 ~- 0 in t u t t o il eampo.

P e r d i m o s t r a r e l ' e s i s t e n z a d e l l a soluzione c o m i n c i a m o c o l r i c o r d a r e che dati i valori che u n a f u n z i o n e u a s s u m e sul contorno~ la soluzione per u esiste ed ~ unica,.

Se d u n q u e n o n fosse possibile s o d d i s f a r e alle (17) con A, B, C a r b i t r a r i eib s i g n i f i e h e r e b b e soltanto che con i v a l o r i scelti di ~ , ),~. ~3 si t r o v a n o tre f u n z i o n i (del tipo (16)) che n o n sono t r a loro c o m p l e t a m e n t e i n d i p e n d e n t i sicch~ fissati, p e r esempio, A e C r e s t a d e t e r m i n a t o il v a l o r e di B sul contorno o, se cib n o n b, r e s t a c o m u n q u e cireoseritto il c a m p o di v a r i a b i l i t h di B (clog pub essere a s s e g n a t o u n i n s i e m e di v a l o r i di B c h e r e n d a impos- sibile l a soluzione).

0 r a n e l l a p r i m a ipotesi (B detcrmina~o dai valori a s s u n t i da A e C) con le tre f u n z i o n i u~, u ~ u 3 p o s s i a m o s o d d i s f a r e in i n f i n i t i m o d i alle d u e condizioni r e l a t i v e ad A e C sicchb s e i l v a l o r e di B fosse quello c o m p a t i b i l e con i v a l o r i a s s e g n a t i da A e C a v r e m m o n o n u n a soluzione sola, m a infi- n i t e soluzioni del p r o b l e m a c o n t r a r i a m e n t e a q u a n t o si ~ d i m o s t r a t o prece- den~emente. N o n posso i n v e c e e s c l u d e r e che i valori B (per A e C assegnatit possano essere in q u a l c h e modo c o n d i z i o n a t i in d i p e n d e n z a di A e di C ; solo osservo ehe nel c e r c h i o e nel r e t t a n g o l o si verifica, e o s t r u e n d o la soluzione, che q u e s t a esiste p u r a s s e g n a n d o a r b i t r a r i a m e n ~ e i valori di A, B e C (~).

§ 4. L e c o n d i z i o n i a i l i m l t i p e r l e l a s t r e .

10. Sin qui, ci siamo r i f e r i t i a I'isultati in g r a n p a r t e noti. A m m e t t i a m o ora l ' e s i s t e n z a di tre f u n z i o n i u~, u~, u:~ c o n le q u a l i p o s s i a m o s o d d i s f a r e alle c o n d i z i o n i ai l i m i t i (17) q u a n d o A, B, C sono dati sul c o n t o r n o come f u n z i o n i a u n sol v a l o r e dei p u n t i del c o n t o r n o stesso.

Cib v u o t d i r e e h e ~ possibile s o d d i s f a r e con tre f u n z i o n i u alle condizioni ai l i m i t i d a t e sul c o n t o r n o di u n a l a s t r a e l a s t i c a p i a n a q u a n d o dalle (15) si possa r i s a l i r e alle (17} o t t e n e n d o v a l o r i di A. B~ C c o n t i n u i .

(~) Osserviamo che il problema di deterrainare tre funzioni u~, u 2, us {con ~.~, ~,s, )~3 prefissati) in funzione di A, B. C non si riconduee ad un' eqnazione di ~Fm~D~OL~ ma ad una equazione integro-differenziale~ che non so se si sappia finora l~isolvere.

(11)

G, Strl.i~¢o:

Le condiziong (r,i timili per le lastre elastiche plane

317

Consideriamo ora alcuni casi forma e q u i v a l e n t e

- - 2 I181

S e g u e

419}

particolari notevoli. Scriviamo lc (15) nella

}-iv

aB -bT = M~

aC

-aT = F . .

$

=lP~ds -I- qo (qo

cost. arbitraria) C

0

e C ~ continuo su s perch6

fP, ds = 0

per 1' equilibrio secondo la z.

,J $

aM,,

S u p p o n i a m o ora t h e sia

Mt=O, as ---~ P~"

Allora per la seconda delle (1S) si

pub

porre B----0 m e n t r e risulta dalla prima t h e ~TFt a3A a = 0 e quindi anche A

aM,, p~. M t = O

la pub essere posto uguale a zero. Si conclude t h e se as

soluzione b esprimibile con tre funzioni u. Si pub quindi risolvere comple- tamente il problema al contorno per I~t lastra servendosi di una soluzione LOVE-MIC~IELL per soddisfare alle due condizioni aM,,

as Pz

ed

Mr;

servendosi di tre soluzioni u tipo ALMA~SI per soddisfare alla solleeitazione residua.

Questa ultima sollecitazione dg luogo a spostamenti nulli del piano medic mentre le caratteristiche delle componenti di tensione saranno studiate pi~t particolaxmente in seguito (v. n. ° 12). C o m u n q u e t e s t a rigorosamente dimostrato~ che per la deformazion'e del piano medic di una lastra grossa sono equivalenti due sollecitazioni che differiscono tra loro per valori di M . e P~

tall che sia

aM,,

_as P.----~-0 {come aveva affermato il KIRCm=[OFF riferendosi alle lastre sottili).

11. Resta ancora da chiarire un dubbio notevole. ~1 proprio nccessario soddisfare al contorno alle due condizioni

a_v

as P~ e Mt

oppure 6 sufficiente soddisfare a due q u a l u n q u e delle tre condizioni ai li-

(12)

318 G, SvPrI~o: Le condizioni ai limiti per Ie lustre eIastiche piane

m i t i M , , Mt e Pz, r i m a n e n d o la t e r z a s o d d i s f a t t a c o n tre f u n z i o n i u cio~

c o n u n a s o l u z i o n e a d e f o r m a z i o n e n u l l a del p i a n o m e d i o ?

P e r r i s p o n d e r e a q u e s t a d o m a n d a n o n vi ~ c h e p r o v a r e a c o s t r u i r e t r e f u n z i o n i A, B, C c o n t i n u e sul c o n t o r n o e c o r r i s p o n d e n t i a d u e ( q u a h n q u e ) c o n d i z i o n i ai l i m i t i n u l l e e a l l a t e r z a a r b i t r a r i a (pnrch~ e q u i l i b r a t a ) .

P a r t i a m o d u n q u e d a l l e (18) e s u p p o n i a m o d a p p r i m a M , ~---Mt=O, Pz=t = O.

D a l l a (i9) r i s u l t a c h e C ~ c o n t i n u o su s, m e n t r e d a l t a s e c o n d a d e l l e (18) si r i c a v a B ~---cost. e d a l l a p r i m a r i s u l t a

S i a o r a

S e g u e

2 -~y~t~ = C = f u n z i o n e c o n t i n u a . ~:A

s

$

2 ~t ds + q,,s + q,

0

e p o s s i a m o d i s p o r r e d e l l a c o s t a n t e q0 in m o d o s e n d o ~(s) c o n t i n u a su s. I n o l t r e s e g u c

8

0

c h e sia j ~ d s + qos

0

= q 4 s l e s -

s

2 ~A --~Mils

~t

0

+ qis + qe

e p o s s i a m o d i s p o r r e di q~ in m o d o c h e sia

l*

- / M . d s + q~s

0

= ~ds) con q)ds) c o n t i n u a su s.

2 ~A__ = _ 3//. + q~

~t ~

e p o s s i a m o a n c o r a d i s p o r r e di q~ in m o d o t h e A r i s u l t i c o n t i n u o su s. A b b i a m o d u n q u e , in q u e s t o easo t h e A, B, C sono c o n t i n u i su s s i c c h b il p r o b l e m a p o s t o a m m e t t e u n a s o l u z i o n e U(-= u t + u~ + ua).

S u p p o n i a m o o r a Mt -=- P~ = 0, M , =~: 0. Si pub p o r r e C ---~ q, e B = q0 e q u i n d i d a l l a p r i m a d e l l e (18) s e g u e

(13)

G. SuFI~o: Le condizioni ai limiti per le lastre elastiche piane 319

Si ha allora

8

2A + + q3

0

e si pub disporre di q~ in modo che A s i a continuo su s. Anche in questo caso il p r o b | e m a posto ammette una soluzione tipo A_LMA~SL

U n poco diverso 6 il caso in eui sia M,~----P~ = O, Mt =~=0.

Dalla prima e dalla terza delle (18) si rieava al solito, che si pub porre C = 0, A ~---0 m a per poter scrivere, in base alla seconda delle (18) stesse,

B

0 s

Senonchb una soluzione tipo L o v E - M I C ~ I m che soddisfi a condizioni Pz e M . assegnate eonsente di soddisfare anche a un f M t d s = K essendo K fissata

8

a priori.

I n f a t t i in aria soluzione LOVE-MIC~ELL si ha nel contorno

3 m + 1 8n

~_~ (3a ~ 2 m - - 1 ) 2a 3 m

~t ~\3 q~ + 5 ( r e + l ) a~K' + 3 m + l K ' = M t

( m + l A + ; A A ~ = 0 ) K~ - - m -- 1

Dalla prima di queste equazioni si ottiene K , a meno di u:na costanle; questa costante si pub d e t e r m i n a r e ponendo

~ds= 3 m + i., fls,

8 8

dopo di ehe si ottiene la ~ in base ai valori dati di M,,. La soluzione LOVE- }IIcI{ELL eOSi trovata corrisponde esattamente ai valori assegnati sul contorno per P , e M,,, non soddisfa ai valori di Mr, ma la differenza tra i va- lori assegnati per Mt e quelli di Mr' risultanti dalla soluzione LOVE 6 tale che [ i M t - - M t ' ) d s - - O . Si pub d u n q u e comptetare la soluzione con una fun-

S

zione U.

(14)

320 G. SueI~o: Le co,~dizioni ai timit.i per te lastre elastiche piane

Queste considerazioni mostrano che le condizioni al contorno possono essere soddis[atte oltre che nel modo indicato al n. ° precedente, anche in altri modi bastando sempre assegnare due sole condizioni perch~ la terza sin soddisfatta con tre funzioni u eio~ con u n a sollecitazione che lascia inva.

riato il piano medio.

1~ a p p e n a necessario osservare che questi varl modi sono sostanzialmente equivalenti in quanto due soluzioni LOVE-~II(;I~ELL corrispondenti alle stesse tre c o n d i z i o n i ' al contorno M,,, Mt e P~, ma ottenute soddisfacendo a due diverse di esse, differiscono tra loro soltanto per delle soluzioni U e quindi dhnno luogo a deformazioni che nei limiti di approssimazione ammessi sono p r a t i c a m e n t e eguali.

P r e c i s a n d o meglio, supponiamo di aver ottenuto la soluzione L~ soddisfacendo alle condizioni ai limiti Mr, Pz 3s e la soluzione L 2 con le eondizioni Mt e ~/i,,. Si osserva subito che con u n a soluzione L~ + U si soddisfa alle tre condizioni Mr, M,,, P z ; atle stesse condizioni si soddisfa con u n a soluzione L 2 + / J \ D u n q u e L t e L~ differiscono tra loro per le deformazioni provocate da U e U (che lasciano invariato il piano medio); inoltre esse possono differire per il fatto che L~-+-U e L 2 4 - U soddisfano sul contorno alle stesse risuItanti su ogni generatrice le non alle stesse forze): m a questa differenza ~ traseurabile per il prineipio del DE S A ~ - V E N A ~ T .

§ 5. O a r a t t e r i s t i e h e d e I l e f u n z i o n i u .

12. Si ~ gih osservato in base alle (14} che u n a soluzione dipendente da u n a funzione u dh sempre h o g o ad u n a deformazione n u l l a del piano medio.

)In per poter precisare il comportamento delle componenti di tensione (espresse in funzione delle u per mezzo delle (13)) occorre considerate pifi da vieino l ' a n d a m e n t o delle u stesse. I n proposito notevoli limitazioni sono state rile- r a t e da AL~A~SI.

I n d i c a n d o con U il massimo modulo di u n a u sul eontorno si ha in un punto interno alla m i n i m a distanza r dal contorno stesso

I u l < 6 Ue--I'36~

m e n t r e per la~ derivata normale si ha (secondo ALMANSI e sulla maggior parte del contorno)

(15)

G. Sut~iNo: L e condizioni ai limiti pe~r Ie h~stre ela.stiche p i a n e 321

Q u e s t ' u l t i m a assoeiata ai valori noti di ~u Ss permet~te di rieavare dalla preee-

~u ~u

dente una limitazione per ~c' ~y' valida h e l l ' i n t e r n e del eampo.

Queste limitazioni mostrano ehe i massimi della solleeitazione sono eerto sal contorno (cib che deI resto 8 immediate da propriet~ etementari della

_ a _

7 +y

/ / / S

/" ] . - . - - < / _ b _

4

funzione ,e) e, dM punto di vista delle applicazioni teeniehe ~ale nozione pub essere suffieiente per far eonoscere un limite massimo per la sollecitazione (~).

Ma sarebbe errato il ritenere ehe a piceola distanza dal contorno Ia so lle- eitazione fosse traseurabile. Che eib non sempre aeeada si dimostra in p i i modi. U n primo esempio di earattere intuitive he gi~ indicate altra vol~a (~).

(') Infatt~, d e t e r m i n a t a u n a s o l l e c i t a z i o n e ripe IJOYE-MICHELL, si e o n s i d e r i n o le diffe- r e n z e m a s s i m e t r a ]e s o l l e c i i a z i o n i a d essa do-cute e q u e l l e a,Jsegnate sul c o n t o r n o . L a s o l l e c i t a z i o n e i n u n four'to i n t e r n e n o n p e t r k saloerare il v a l o r e ehe si o t t i e n e a g g i u n g e n d o a l l a s o l l e c i t a z i o n e L o v E , i n q u e l p u n t % iI v a ] o r e m a s s i m o d e l l a d i f f e r e n z a r i l e v a t a sul e o n t o r n o .

(~) • B o l l e t t i n o dell' U n i o n e 5 { a t e m a i i c a I t a l i a n a ~, t932. lec. cir..

An~w~gi di Mc~tematiccb, Serie IV, Tome XVII. gl

(16)

322 4~. S u P I ~ o : L e c o n d i z i o n i a i l i m i t i p e r le last.re e l a s t i c h e p i a n o

Si c o n s i d e r i u n a l a s t r a r e ~ t a n g o l a r e i n c a s t r a t a d a u n l a t e e s o g g e t t a sul lato o p p o r t o a f o r z e n o r m a l i al suo p i a n o m e d i c e d i s t r i b u i t e u n i f o r m e m e n t e c o n intensit'h p p e r unit'~ di l n n g h e z z a del c o n t o r n o (v. fig. a). P o s t o p ~ - - - ~ - dq~

e a s s u n t a l ' o r i g i n e d e l e o n t o r n o nel p u n t o A (v. fig. b)~ (la s c e l t a 6 e v i d e n - t e m e n t e o p p o r t u n a p e r r a g i o n i di s i m m e t r i a ) la q~ pub e s s e r e r a p p r e s e n t a t a ( s c e g l i e n d o c o n v e n i e n t e m e n t e la scala.} d a l l a l i n e a a t r a t t o e p u n t o d e l l a fi- g a r a : la d i s t r i b u z i o n e di f o r z e p u b d u n q u e e s s e r e s o s t i t u i t a con l a d i s t r i b u - z i o n e di m o m e n t i M,, r a p p r e s e n t a t a d a l l a ~ o r a d e s c r i t t a o c o n u n a distri- b u z i o n e i n t e r m e d i a di f o r z e e di m o m e n t i (~). Ma o r a s e g h i a m o ta l a s t r a c o n u n p i a n o ~ p e r p e n d i c o l a r e al p i a n o m e d i c d e l l a ] a s t r a : se si h a la d i s t r i b u - z i o n e p = P z f i s s a t a n e l p r i m o caso a l l o r a su :¢ si h a n n o t e n s i o n i t a n g e n z i a l i la c u i r i s u t t a n t e v a l e T = ] p d ~ ; se i n v e c e si h a la d i s t r i b u z i o n e di soli mo-

J

m e n t i ~ a l l o r a 6 T = 0. D u n q u e p e r q u a n t o r i g u a r d a le t e n s i o n i t a n g e n z i a l i le d u e d i s t r i b u z i o n i di f o r z e esterffe n o n sono a f f a t t o e q u i v a l e n t i . E la d i f f e r e n z a t r a i tagli p r o v o c a t i d a l l e d u e d i s t r i b u z i o n i r e s t a c o s t a n t e q u a n d o si sposti il p i a n o o: p a r a l l e l a m e n t e a s6 stesso.

L o stesso f a t t o p o t r e b b e e s s e r e p r e c i s a t o p e r v i a a n a l i t i c a e, del resto, n o n 6 a f f a t t o in c o n t r a d d i z i o n e c o n le l i m i t a z i o n i r i e o r d a t e p r e c e d e n t e m e n t e . 13. C o m p t e t i a m o o r a i r i s u l t a t i o t t e n u t i i n d i c a n d o la s o l u z i o n e g e n e r a l e p e r la u nel caso del c e r c h i o .

R i f e r i a m o c i p e r c i b a c o o r d i n a t e p o l a r i . Si h a

3~u 1 ~u 1 3u

~r ~ + r } 7 + ,'~ ~0 ~ ^-^- ku.

P o n i a m o

S e g u e

s e n mO i

u = , ~,(,'~.

cos mO

- ( "'k,

~,_~ t a_v ~ + = o 3r = "+ r a r r ~ ]

(9 La soluzione elastica effetti~,a (unica) nel campo delle lastre sottili 6 appunto una distribu~ione intermedia tra le due. Assffnti gli assi come in fig. b e indicando con w lo spostamento verticals si frova~

p M ~ ( ~ _ x'~) p m 2Emma 3

~v N(m -- 1) ~ - - q- 2 N ( m - - 1) "z y2( 1 -- x) - - N - - 3(m~ __ 1)' essendo 2a lo spessore della lastra. Con le notazioni del LOvE si ha poi

p M ~ ( l - - x ) + P ( l - - x ) ; G 2 = 0 : H ~ = P t y ; p___m__

~ - - ( m - - I)~ ( m - - I)~ " m A T e = m - - I ; AT2 -- O.

(17)

(~. SvP:INo: Le condizio+d (d timiti per le tastre elastiche piane 323

e questa equazione ~ soddisfatta ponendo

v :=- - ~ ,~,~(ir Y k) ~ I,~(r V ~) (~). 1

Si ha d u n q u e in generale

u ~ aolo(r V~) + a~ cos 0I~(r ¥~) -~- b~ sen Ol~(r V J() + ...

e ci6 consente di d e t e r m i n a r e la u in, base ai valori assunti da essa sul contorno. I n f a t t i si sviluppano i valori assegnati per la u sul eontorno in serie di FOURIER; se il cerchio ha raggio R la u vale allora

a I0(r V~) I d r Vk)

Unv ) L(RV )

Se la serie di FOr:RIER converge, converge anehe la espressione data per u pereh~

I ~ ( r V ~ )

certo minore di uno~ per r ~ R , in quanto i termini della serie di 1,, sono tutti dello stesso segno per r positivo e di modulo crescente con il creseere di r.

Combinando tre valori diversi di k si ha l~ soluzione completa nella lastra circotare, in quanto si verifiea che sviluppando in serie di FO~JI~IER i valori di A, B, C (condizione 17)) si ha per ogni m due sistemi di tre equazioni con tre ineognite {uno relativo a senm0~ F altro a costa0} con d e t e r m i u a n t e diverso da zero.

§ 6. P a s s a g g i o a l l e l a s t r e s o t t i l i .

14. Le considerazioni finora esposte r i g u a r d a n o le lastre grosse. )Ia esse possono essere estese a,lle lastre sottili ricordando che in u n a ~ o t a pubblicata ai <~ L i n e e i >> nel 1 ° semestre 1932 ho dimostrato come a u n a soluzione tipo LOVE-•ICHELL nella tastra gross a corrisponda u n a soluzione tipo KIRCI-IaOFF nella lastra sottile. P e r t a n t o a soluzioni, valide nella lastra grossa e appros.

s i m a t a m e n t e equivalenti, corrispondono a e t l a lastra sottile soluzioni pure a p p r o s s i m a t a m e n t e equivalenfi.

(~) Importa appena di osservare che v ~ reale. Infatti ( ix ~ "2n

S e x ~ immaginario z iy altora l~n b puramente immaginaria sem ~ dispari (e quindi nella v deve essere introdotta dopo uverla dlvisa per i) ~ reale senz'altro se m 8 pull.

(18)

324 G. SuPI~O:

Le condizio~ti ai limiti l)er le lash'e elastiche piane

M a perch~ il KIRCHHOFJ~ ~ indica come condizioni at contorno soltanto

Mt

e P ~ - - - ~ - e non a c c e n n a alle altre condizioni che abbiamo visto essere sostanAalmente equivalenti alle p r e c e d e n t i ?

Si ha la risposta a questa d o m a n d a riferendosi alla dimostrazione (]el KIRCHHOFY che qui riassumo b r e v e m e n t e (~). Egli, premesse le ipotesi:

che ogni segmento perpendicolare al piano medio della lastra sia, a deformazione a v v e n u t a ancora rettilineo e perpendicotare alla superficie de- formata del piano m e d i o ;

e che tutti gti elementi del piano mcdio subiscano dilatazioni trascn- rabili in confronto alle inflessioni n, ;

osserva come, in consegaenza della prima di queste, una dilatazione principale risulta p e r p e n d i c o l a r e al piano medio; le nitre due giaceiono quindi nel piano medio stesso. Se z indica la distanza primitiva di un etemento dal piano medio, z~ la distanza dopo la deformazione dalla superficie el~stiea allora, posto

Z ~ Z ~ l x

~-~ u n a dilatazione principale. Poieh~ ques~a deve essere infinitesima e ~ si a n n u l l a insieme con z cosi ~ ~ infinitesimo in eonfronto a z. Le altre due dilatazioni prineipali valgono teome si vede faeilmente) z~ - - e - - , z~ o~, ~ , raggi

P, P2

principali di curvatura.

Scriviamo ora il principio dei lavori virtuali. Deve essere

~L = i i X ~ u + Y S v - t - Z~w)'d~q-jiPx?)u +

Pv ~v -I-

P z ~ ) d s -~

U

--2(m-I-1) ~.~ (e~, 2-t-%"+e.')~-m-- ) - - (e~+e

v

f f

ed in questa espressione si possono sostituire i ~alori ora ottenuti per le ditatazioni principali (indicate qui g e n e r i c a m e n t e con s~, %, ~,). Ma si osservi

3~ (z~ 5 t senza ehe sia

che ~ si pub esprimere in funzione delle altre due . ~ ' ~2/

n e c e s s a r i a la conoscenza delle forze esterne. Si pub infatti scrivere in base alle ipotesi fatte

~u = ~u0 -I- z~ cos (z~, x)

~v = ~vo -t- z~ cos (z~, Yt

~w = ~w0 + z~ cos(z,, ~)

(i) KI]aOH~IOPF, ¢ J o u r n a l fiir die r e l n e u n d a n g e w a n d t e Math: (crelle) ~,, ]3ol 40, pagg. 51-.88.

(19)

(~. ^~ITpINO;

Le condizioni ai limiti per le tastre etastiche pia,te

325

in funzione delle sole -- z

ipotesi fatta) e ponendo

dove u0~ %,

w,,

sono quantitk relative al piano medio. Sostituendo queste nella espressione di ~L rela,tiva alle forze esterne si osserva ehe essa risuita indipendente da ~t, percib lo stesso ~L espresso per mezzo delle deformazioni deve essere indipendente, deve p u r e essere indipen~i[ente da ~. Cib im- plica la condizione

{20}

m - - t S~ 1 ( ~ , ]

__ __ &/

Questa re]azione p e r m e t t e al KIRCHKOFF di assumere il lavoro i n t e r n e

; traseurando poi 8uo, 8v0 (in base alia seeonda

eos(z, x)--

_{, •}

~wo

?xo, eos(z,

y ) = - - ~ y - ~ , 8w0

cos(z~,

z)--~l

{Findice zero indica quantitg relative al piano medio) egli giunge a trasfor- mare l ' i n t e g r M e relative al lavoro interne nel mode seguente

2a~

E'm ( 1 ~R)

5L := 3 2(m +

1) ~Q d- m ~ essendo

ed

. . . , _ - + , - + = + ]

(si omettono per brevitg gli indiei zero).

Di qui tenendo eonto della espressione di 8L relativa al]e forze esterne e ~rasforlnando secondo i prineipt det ea,teolo delle variazioni si ottengono tre equa~ioni; una valida i n tutto il campo ( h A w = 0 se X =

Y==Z~---Oj

le altre, va]ide sul eontorno, equivalgono ad a ssegnare su di esso M~ e P ~ - - - 3 s .

15. Fin qui la dimostrazione del KIRcm~o~F. Ma risulta e h i a r a m e n t e da essa ehe le tre eondizioni ai limi~i sono ridotte a due in virtfi deI]a rela- zione (20) che 6 soddisfatta in base alle ipotesi iniziali: e se la stessa rela.

zione fosse sfruttata inveee che per eliminare ~Z-' per e l i m i n a t e u n a delle altre due dilatazioni prineipali si otterrebbe u n a nuova espressione d e l l a . voro di deformazione ehe, per le ipotesi iniziali sarebbe eguale alla precedente, nm in realth sarebbe solo approssimativamente eguale pereh~ le ipotesi

(20)

326 G. Sv~INO: Le condizioni ai limiti per le last,re elastiche piane

stesse sono solo approssimativamente soddisfatte. Si otterrebbe allora una combinazione diversa delle condizioni ai limiti~ combinazione che pel" altro diffieile serivere m a t e r i a l m e n t e pereh~ non sappiamo scrivere ~ in funzione di w.

Ma, si pub obiettare~ non si ~ dimostrato che ie fur~zioni u tasciano invariato il piano medio ? I n tale condizione non basra osservare che nelle lastre sottili si studia soltanto la deformazione del piano medio e quindi non si pub t e n e r conto di quelle sollecitazioni che laseiano invariato il piano stesso ? U n a tale spiegazione non giustifica il risultato del K I R c ~ o r g (perch~ non spiega la ragione della particolare scelta detle condizioni ai limiti) ma rap.

p r e s e n t a eerto la spiegazione pifi spontanea del risultato ottenuto~ quando si vogiia svolgere la teoria delle lastre sottili dopo a~er riferito sui fondameuti della teoria della lastra grossa.

Bologna~ Giugno 1938.