0 2) Risolvere il problema di Cauchy, e indicare l’intervallo I in cui `e definita la soluzione

Complementi di Matematica cdl in Informatica

Prima verifica 7 novembre 2007 Tema A

Cognome Nome matr.

1) Risolvere il problema di Cauchy, e indicare l’intervallo I in cui `e definita

la soluzione (

y⁰ = 1

3 − xy + sin x y(0) = 0

2) Risolvere il problema di Cauchy, e indicare l’intervallo I in cui `e definita

la soluzione 





y⁰ = y²− 4 x²− 4 y(0) = 1

3) Determinate tutte le soluzioni dell’equazione differenziale y⁰⁰+ 2y⁰+ 4y = 0

4) Calcolare, se esistono, i limiti

a) lim

(x,y)→(0,0)

x³y − xy³

(x²+ y²)² ; b) lim

(x,y)→(0,0)

x sin(y²) x²+ y²

5) Data la funzione f (x, y) =p

y − 4x²+ 5 + 3 arctan(xy²) a) determinarne il dominio e disegnarlo;

b) calcolare la derivata direzionale nel punto P = (0, −1), nei versori indivi- duati dalla direzione della retta r di equazione 4x + y + 5 = 0;

c) scrivere l’equazione del piano tangente nel punto Q = (0, −1, f (0, −1)).

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Complementi di Matematica cdl in Informatica

Prima verifica 7 novembre 2007 Tema B

Cognome Nome matr.

1) Risolvere il problema di Cauchy, e indicare l’intervallo I in cui`e definita

la soluzione (

y⁰ = 1

2 − xy + cos x y(0) = 0

2) Risolvere il problema di Cauchy, e indicare l’intervallo I in cui `e definita

la soluzione 





y⁰ = y²− 9 x²− 9 y(0) = 2

3) Determinate tutte le soluzioni dell’equazione differenziale y⁰⁰− 2y⁰+ 4y = 0

4) Calcolare, se esistono, i limiti

a) lim

(x,y)→(0,0)

xy³− yx³

(x²+ y²)² ; b) lim

(x,y)→(0,0)

y log(1 + x²) x²+ y²

5) Data la funzione f (x, y) =p

3 − 2x²− y + 2 arctan(xy²) a) determinarne il dominio e disegnarlo;

b) calcolare la derivata direzionale nel punto P = (0, −1), nei versori indivi- duati dalla direzione della retta r di equazione 2y − 8x + 1 = 0;

c) scrivere l’equazione del piano tangente nel punto Q = (0, −1, f (0, −1)).

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