Teorema di Schwarz

Analisi Mat. Ing. Civile (Canale A-K e L-Z) Silvia Marconi - 17 Dicembre 2012 -

 Teorema di Schwarz

Verificare la validit` a del teorema di Schwarz per la funzione:

f (x, y) =  yx ² sin _x ¹ x 6= 0

0 x = 0

 Formula di Taylor

Calcolare i seguenti limiti

lim

(x,y)→(0,0)

e ^x

^+y

− cos px ² + y ² − ³ ₂ (x ² + y ² ) (x ² + y ² ) ²

[Risp.: ¹¹ ₂₄ ].

lim

(x,y)→(0,0)

e ^x−x

− ln(1 + x) − 1 px ² + y ² − sin(px ² + y ² ) [Risp.: non esiste].

 Rotore di un campo vettoriale

Rotore di un campo vettoriale di R ³ . Campi irrotazionali.

• Dato il campo vettoriale

F = ~



2xy − 1 x ; x ²



calcolare la circuitazione di ~ F sulla frontiera γ di (x − 2) ² + y ² = 1 percorsa in verso antiorario e l’integrale R

+γ rot ~ F · ˆ τ ds.

[Risp.: 0].

 Volume di solidi di rotazione

Volume di solidi di rotazione del grafico di una funzione in una variabile intorno all’asse x o all’asse y.

• Calcolare il volume del solido di rotazione del grafico della funzione f (x) = x intorno all’asse x per x ∈ [0, 2].

[Risp.: ^8π ₃ ].

• Calcolare il volume del solido di rotazione del grafico della funzione f (x) = arcsin x con x ∈ [0, 1] intorno all’asse y.

[Risp.: ^π ₄

].

• Calcolare il volume del solido di rotazione dell’insieme

D = {(x, y) ∈ R ² : 0 ≤ y ≤    

x ² − 1 4    

, 0 ≤ x ≤ 1}

intorno all’asse x.

[Risp.: ^23π ₂₄₀ ].

 Cambio di coordinate negli integrali doppi

Matrice Jacobiana delle trasformazioni di coordinate e delle trasformazioni inverse.

Z Z

S

xy dxdy S = {(x, y) ∈ R ² : 0 < x ≤ y ≤ 3x, 1 ≤ xy ≤ 2}

[Risp.: ³ ₄ ln 3].