R (ii) Enunciare il Teorema del gradiente.

Analisi Matematica 1, Scritto 2-A. Durata della prova: 2 ore 24.2.10

Domanda 1 [3+2

punti]

(i) Dare la definizione di derivata direzionale per una funzione f : IR

^2---7

R (ii) Enunciare il Teorema del gradiente.

Risposta (V-1..,V0

~_ Il l....

Ci) dC.- P?-J=

V

E-1(L ~

lt v{l? a e (x....

^{t ~f»}

€--I!L L ~'\k.. ~~

.fCXIl +kv\ ) 'j 0+ bL v,-) ,... FtiiO

l

'jo)

.

~-Qo

~. 0v ~(Kl)t~J ç....; c1...~o--~ ~cL'v{n~~ cL:

-J ~

^{(~(t;}.fJ7 ~}

^{À~b'N. \/.}

(ii) .

~ C~L~a1 ~ ~ 'f~{o ~~o oLt.

^{~~'o ~'}

(Xo(CAoJ

_-,"-e_f è ~~n~'k ~ ^{~t-\~o CÙr~} J.,\(~,<j9

~

(J '.' f( ^Y

^Qt'j

o) ~ ~ ç ^C

^{~llj o}

l • ^V -= f)( Cl( ^/1/1 fl) ^{~VI ~} t-!3( x..II4D)~Vt.

_____ -+-( ~~Lof+..o ~ ~ ~).;;r

Domanda 2

[2+3 punti]

(i) Enunciare il teorema di derivabilità della funzione inversa.

(ii) Calcolare (J-l),(y) per

y =-l

ove f(x)

=2:1:3

+

x-L

Risposta

(i) ~ ç~CI\,bl-o(~t)) ~ ~~~)

tM XQE r .•.. (;&) ~ ~\(~')14 O I ~

è; rk-\rJ"L,. ~ ^'(}o~~ PC ~ ) ~

~y~~.e. ~0~

ç. ^{-J ~} r

^t.(

^{l) -i (,\}

^I

^fJ

(ii)_fth~~o ç\ l~) =- ^{6'l~· -+ 1- '>0}

^if)(

^{E:-- (fL .}

'j '"'" -1 ~ .f-c ^{o) e.. '{ ~ J..:.}

.l ~

_---\(f-' ) ^{t -~) ~ f} ~~Q)---._~---

Esercizio 1

[3 punti]

Sia

A ç

IR e sia f :IR---7 IR continua. Allora quale delle seguenti affermazioni é

falsa

~ se

A

é limitato, f(A) é limitato

[I]

^se

A

é un intervallo chiuso e limitato,

f(A)

é un intervallo chiuso e limitato

~ se

A

é un intervallo aperto,

f(A)

= (inff,Bupf)

JOl A A

[ill

^f(A)

ç

[i~ff, s~p

fl . .

Risoluzione

P~

^{~(k'() ~~}

-= ^{1.... Il}

^'J<-f-

^e ~h"--,-- ~ ~ I (-:>- J"'f f

':>.4.,.

~ "-- ç.{ tTl ~ t d.} :t l \) l) =- f· (o So.

^{So. 1.}

fA) ^{e ~ ~ ~ ~ .t~ )}

b) e ~

fV'y

(l ~",- ~,~, ~~, e..

~Yb. ,hA.

f'

^I

clJ_

è ~ ~~'

~....L.::~=-=""'. -+-) ---

Esercizio 2

[3 punti]

Sia

a

^{n rv}

e

ⁿper

n

^{---7 00} e lim bn

=

1. Allora per

n

^{---7 +00}

n--r+oo

[I]

lim (bntn =

1

n--r+oo

Risoluzione

o....Y' "- ~

^{lA ~.~}

b)

Esercizio 3

^{[3 punti]}

Dato E

= f{!!Y:

^{n=O,1,2,3, ... }, allora}

(i\

.~

,

~

inf E =O, sup E'

=

⁺⁰⁰

"'"

[I]

inf E =-00, sup E

= 2

1

Ibl inf E

=

O.maxE

= ~

~ , 2

~ inf

E =

O, sup

E

= 2

Risoluzione

-"'~ ~""- -+ \

Cl.."'"- fA ~"\=\ -.

lf\-l-L

V\+l

- ^{,>0 blV\~~t,t~ ..•}

",,'lo^{-t't "'\}

-+ i -

~'{4\

{"" '-t l ~( '+t~+'t. )

~l t!' ^-e)

^\01\

^{~'t-J e rk-~~\-t ~~P f'~}

^{~':. ~}

^{Ce: )}

Esercizio 4

[4 punti]

Calcolare

- -

Risoluzione

(job~~o .r.v::.lYfP~ r.:l~b_ ~() ~ ~

^fl~e...,

~\ J X ~

(7/ '{ \

~l) e -+"t. ~(1t - 'l ~ ^{gt± ;C±~ ~ ~} ± fì

^7~

^{+o( x )}

:: (11- {) ~ ~ ^X~~O(l('t)

Esercizio 5

[4 punti]

Provare

attraverso

il principio di

induzione che n

²

>

2n

+

^l

per ogni n

2: 3.

Risoluzione

2. -+('2..+'2.",,) / Lvttl /

~

>3. "' •..•..>,)

~J;: k rt..~"'-F~f<~\-t- ~ fY=~ f~~'M0.ol;. ~k'h'~

VV\.?r ^{'1 ~}

Esercizio 6

[5 punti]

o

!l(<.(;

TI

I

I

I