ANALISI MATEMATICA II (per fisica 9 CFU)
I PARTE: 6 CFU (mutuati dal corso di analisi secondo anno per matematica)
1- CALCOLO DIFFERENZIALE IN PIU’ VARIABILI
Richiami di topologia in R^n. Funzioni di piu' variabili. Limiti e continuita'. Grafico e insiemi di livello. Derivate parziali e direzionali, gradiente. Derivate di ordine superiore, matrice Hessiana.
Teorema di Schwarz. Derivazioni di campi vettoriali: divergenza, operatore di Laplace, rotore in 2- D e in 3-D e loro proprieta' formali. Sviluppo di Taylor con resto di Peano per funzioni di due e piu' variabili. Punti stazionari. Massimi e minimi locali, selle.
Il Teorema di Dini (solo in R^2). Massimi e minimi vincolati. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange (in R^2) e applicazioni.
2 - CALCOLO INTEGRALE IN PIU’ VARIABILI
Integrabilita’ secondo Riemann e cenni sulla misura di Peano-Jordan. Integrali doppio e triplo.
Formule di riduzione per l'integrale doppio e triplo. Teorema di Fubini Cambiamento di variabili.
Integrazione su domini normali. Coordinate polari, sferiche e cilindriche. Calcolo delle aree e dei volumi. Calcolo della massa e dei momenti di inerzia.
3 - INTEGRALI CURVILINEI, FORME DIFFERENZIALI, CAMPI VETTORIALI
Curve parametriche regolari in R^n. Versori tangenti, Lunghezza di una curva, Ascissa curvilinea.
Forme differenziali. Integrazione di forme su cammini regolari.
Campi vettoriali, conservativi e irrotazionali. Campo vettoriali associato a una 1-forma e lavoro compiuto su un cammino. Integrazione su cammini chiusi (circuitazione). Forme chiuse e forme esatte, esattezza implica chiusura. Rapporto con le nozioni di campo di forze irrotazionale e conservativo. Formule di Gauss-Green nel piano.
4 - SUPERFICI E INTEGRALI DI SUPERFICIE
Superfici in forma parametrica, vettori tangenti alle curve coordinate, piano tangente, versore normale, orientazione. Elemento di area (caso parametrico e cartesiano). Integrali di superficie.
Flusso di un campo vettoriale lungo una superficie. Teorema di Stokes e teorema della divergenza in R^3. Potenziale vettore.
II PARTE: 3 CFU (solo per i fisici)
5 - SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI
Convergenza puntuale e uniforme. Continuita’ del limite e scambio di limiti. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale e derivata. Serie di funzioni, serie di potenze e di Taylor.
6 - EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
Equazioni e sistemi in forma normale. Il problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicita’ locale (dim. di analisi reale basata sulla convergenza uniforma di successioni di funzioni). Teorema di esistenza globale, prolungamento e dipendenza continua. Studio qualitativo.
