Meccanica Quantistica I - Compito Parziale 06/12/2006 Problema 1
L’interazione di una particella di spin 1/ 2 con un campo magnetico è descritta dall’Hamiltoniana ˆH= B S (ˆ costante reale positiva), ovvero ˆH= (B Sx xˆ +B Sy yˆ +B Sz zˆ ). Si sa che il campo magnetico applicato alla particella è spazialmente uniforme ed è dato da:
( ) ( x y)
y
B ˆ ˆ 0 t T
2 t
ˆ
B t T
= +
>
e e B
e
in cui la costante B è positiva e T= / B. Questo vuol dire che il campo magnetico all’istante t T= cambia istantaneamente di direzione. La particella si trova al tempo t 0= in uno stato tale che, su di esso, una misura della componente ˆS dello spin da con certezza il valore z + / 2.
a) Determinare l’evoluzione temporale dello stato dello spin nell’intervallo di tempo 0 t T ed esplicitare la dipendenza dal tempo degli angoli polari ( )t e ( )t che individuano, all’istante t, la direzione di polarizzazione dello spin (direzione lungo la quale una misura della proiezione dello spin da con certezza il valore + / 2).
b) Considerando la dinamica per t T> dimostrare, senza effettuare calcoli, che esiste un istante t >T in cui lo stato dello spin coincide con quello che esso aveva a t 0= . Mostrare inoltre, senza effettuare calcoli che
t =2T.
c) Determinare l’evoluzione temporale dello stato dello spin per t T> , ritrovando, come caso particolare, il risultato del punto b).
Problema 2
Una particella è soggetta ad un potenziale centrale e ad un campo magnetico diretto lungo l’asse z. L’Hamiltoniana del sistema è Hˆ 2 2 V r( ) BLˆz
= 2m + µ in cui m è la massa della particella, µ e B sono costanti reali e ˆL è la z proiezione del momento angolare orbitale lungo l’asse z. Siano note le autofunzioni e gli autovalori dell’Hamiltoniana in assenza di campo magnetico dati da ( )0 ( )0
nlm nl nlm
ˆH =E dove ˆH0 2 2 V r( )
= 2m + e
( ) nl( ) m( )
nlm u r l
r, , Y ,
= r . Qui le Ylm( ), sono le armoniche sferiche e le autofunzioni sono normalizzate con la condizione *nl( ) n 'l( ) nn '
0
dr u r u r +
= .
a) Dimostrare che le nlm sono anche autofunzioni dell’Hamiltoniana ˆH e determinare gli autovalori Enlm. b) Si consideri lo stato al tempo t 0= , (r, , , t 0= )=Au11r( )r (e cosi +sin sin ) in cui è una costante
reale. Determinare la costante di normalizzazione A e la probabilità che, in una misura di ˆL si ottenga z l’autovalore m con m= 1,0,1.
c) Determinare l’evoluzione temporale dello stato (r, , , t nonché il valor medio di ) ˆL all’istante t .x
Armoniche sferiche: Y11( ), 3 sin e i Y10( ), 3 cos Y11( ), 3 sin ei
8 4 8
= = =
Problema 1
Nell’intevallo 0 t T , il campo magnetico è:
( x y)
B ˆ ˆ 0 t T
= 2 +
B e e
così che l’Hamiltoniana è:
( x y)
ˆ B ˆ ˆ
ˆH S S
= B S= 2 +
L’evoluzione temporale del sistema è dunque, per 0 t T :
( )t =e iHtˆ ( )0 =e i( B Sˆ)t ( )0 =e i( Bt)( )n Sˆ ˆ ( )0
in cui ˆx ˆy
ˆ 2
=e +e
n è il versore del campo magnetico (versore nel primo quadrante del piano xy a 45° con l’asse x).
Dall’espressione per l’evoluzione temporale si capisce che lo spin ruota attorno al versore ˆn con velocità angolare costante nel senso orario (negativo) . Nella rappresentazione in cui
ˆS è diagonale si ha: z
( )( )
( )
i4
i4 ˆ
0 e
i Bt 0 1 i
i Bt 2 i Bt
1 i 0 e 0
2 2 2
t 1 1 1
e e e
t 0 0 0
+
+ = = = n
Ora:
i4
ˆ 2ˆ
i4
0 e 1 0
0 1
e 0
= =
n n
e dunque:
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
ˆ
Bt 2k 2k 1
i 2 2k 2k 2k 1 2k 1
ˆ ˆ
k 0 k 0
k 2k k 2k 1
ˆ
k 0 k 0
t 1 1 Bt 1 Bt 1
e i i
t 0 2k ! 2 2k 1 ! 2 0
1 0 1 Bt 1 Bt 1
0 1 2k ! 2 i 2k 1 ! 2 0
+ +
+ +
= =
+
= =
! "
# $
= = + =
+
# $
% &
! "
# $
= +
+
# $
% &
' '
' '
n
n n
n ˆ i3
4 cos Bt
1 0 Bt Bt 1 2
cos i sin
0 1 2 2 0 Bt
e sin
2
! "
=# + $ =
% n &
Lo stato al tempo t T< è dunque:
( )t =cos Bt2 + +z ei34 sin Bt2 z
Allo stesso risultato si arriva risolvendo direttamente l’equazione di Schrodinger:
i i4 4
i i
4 4
d B
i e
0 e
d ˆ d B dt 2
i H i
dt dt 2
d B
e 0 i e
dt 2
+
+ + + +
+
= ) = ) =
=
da cui:
( ) ( )
( ) ( )
Bt Bt
i i
2 2
2 i 2
4 Bt Bt 3
2 i4 i 2 i 2 i4
t cos Bt
t ae be 2
d i Be d B
2 dt 2
dt t e ae be t e sin Bt
2 + +
+ +
= + =
= = ) )
= =
Scrivendo lo stato dello spin nella forma:
( )t cos Bt z ei34 sin Bt z cos z sin ei z
2 2 2 2
= + + = + +
si capisce allora che:
( ) ( )
t Bt
t 3 4
=
=
Al tempo t T
= = B si ha per lo stato e per gli angoli:
( ) ( )
( ) ( )
i3
4 z z
T e T
T T 3
4
= ) =
=
=
L’evoluzione temporale per t T> è data risolvendo l’equazione di Schrodinger:
( ) y ( ) i B(t T S)ˆy z
z
i BSˆ
t t e
T
* =
* ) =
=
Nella rappresentazione standard:
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) (( )) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
y
2n 2n 1
i2B t T y 2n y 2n 1
n 0 n 0
n 2n n 2n 1
0 y 0
n 0 n 0
B B
i t T i t T
t e 0 2 2 0
t 1 2n ! 2n 1 ! 1
1 B t T i 1 B t T 0 co
2n ! 2 2n 1 ! 2 1
+ + +
= =
+
= =
! " ! " +
# $ # $
% & % &
= = + + , =
-
! " ! " +
= #% $& + + #% $& ,- =
' '
' ' s!#%2B(t T)"$&+i ysin!#%2B(t T)"$&-+, 01 =
( ) ( ) ( )
( )
sin B t T
0 cos B t T 1 sin B t T 2
1 2 0 2 cos B t T
2
! "
# $
% &
! " ! "
= #% $&+ #% $&= ! "
# $
% &
Lo stato è dunque:
( )t =sin!#% 2B(t T)"$&+ +z cos!#% 2B(t T)"$& z
E’ ovvio che
( )2T sin BT z cos BT z sin z cos z z
2 2 2 2
! " ! "
= #% $&+ + #% $& = + + = +
Problema 2
Per vedere che le autofunzioni nlm(r, , ) del sistema in assenza di campo magnetico sono pure autofunzioni del sistema in presenza di campo magnetico è sufficiente applicare l’operatore Hamiltoniano:
( ) ( ) ( )
2 2 0 0
nlm z nlm 0 z nlm nl nlm z nlm nl nlm nlm nlm
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
H V r BL H BL E BL E Bm E
2m
! "
! "
=##% + µ $$& =% µ & = µ = µ =
ed i nuovi autovalori sono ( )0
nlm nl
E =E µ Bm. Ricordando l’espressione per le armoniche sferiche:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
1 i 0
1 1
10
0 i 1
1 1
1 1
1 1
1 i i 1
1 1
3 4
Y , sin e cos Y ,
8 3 cos 4 Y ,
3
3 4
Y , cos sin e 2Y ,
4 3 4 1 1
sin sin i Y , Y ,
3
3 4 2 2
Y , sin e sin e 2Y ,
8 3
= =
=
= ) = )
! "
= #% + $&
= =
Dunque, lo stato iniziale:
(r, , , t 0= )=Au11r( )r (e cosi +sin sin )
può essere scritto come:
(r, , , t 0) A 4 u11( )r i Y11( ), e Yi 10( ), i Y11( ),
3 r 2 2
! " ! "
= = #% $ #&% + + $&
In virtù della normalizzazione delle parti radiali:
( ) ( )
*nl n 'l nn '
0
dr u r u r
+
= si ha che deve accadere:
24 1 1 3
A 1 1 A
3 2 2 8
! + + "= ) =
# $
% &
così che lo stato normalizzato è:
( ) u11( )r i 11( ) ei 10( ) i 11( ) u11( ) ( )r
r, , , t 0 Y , Y , Y , ,
r 2 2 2 r
! "
= = # + + $=
# $
% &
Calcoliamo ora il valor medio di ˆLx su questo stato:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
112
2 * 2
x x 2 x x
0 0
1 i 0 1
1 1 1
i *
1 0 1 i 1 0
1 1 1 1 1
u r 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
L dr r d L dr r d L d L d L L
r 2
1 d Lˆ Lˆ iY , e Y , iY ,
2 2 2 2
i e i 2i
d Y , Y , Y , e Y , Y , e
2 2 2 2 2
+ +
+
+
= . = . . . = . . . = . . + . =
! "
= . . + # + + $=
# $
% &
! "
= .# + + $ + +
# $
% & ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
i 1
1
i *
1 0 1 i 1 0 i 1
1 1 1 1 1 1
i i i
i i
Y ,
i e i 2i
d Y , Y , Y , e Y , Y , e Y ,
2 2 2 2 2
i e 2i i e e
e e sin
2 2 2 2 2 2i
=
! "
= .# + + $ + + =
# $
% &
= + = =
L’evoluzione temporale dello stato è presto determinata:
( ) 11( ) 11( ) i 10( ) 11( ) 11( ) ( )11 i 11( ) ( )10 11( ) 11( )
i
111 110 11 1
u r i e i i u r e u r i u r
r, , , t 0 Y , Y , Y , Y , Y , Y ,
r 2 2 2 2 r 2 r 2 r
i e i
2 2 2
! " ! " ! " ! "
= = # + + $= # $+ # $+ # $=
# $ % & % & % &
% &
= + +
Dunque:
( ) i iE t111 111 ei iE t110 110 i iE11 1t 11 1 iE t( )110 i i Bt 111 ei 110 i i Bt 11 1
r, , ,t e e e e e e
2 2 2 2 2 2
µ µ
! "
= + + = # + + $
# $
% &
Calcoliamo il valor medio di ˆL all’istante t . Allo scopo scrivo: x
( ) i i Bt 111 ei 110 i i Bt 11 1 u11( )r iei Bt 11( ) ei 10( ) ie i Bt 11( ) u11( ) ( )r
r, , ,t e e Y , Y , Y , , t
2 2 2 r 2 2 2 r
µ µ
µ µ ! "
= + + = # + + $= .
# $
% &
Dunque:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
i Bt i i Bt
1 0 1
x x 1 1 1
i Bt i i Bt i i
1 0 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1
1 1 ie e ie
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
L d ,t L ,t d , t L L , t d L L Y , Y , Y ,
2 2 2 2 2
2 ie e ie e e
d Y , Y , Y , Y , icos Bt Y , Y ,
2 2 2 2 2 2
µ µ
+ +
µ µ
! "
= . . . = . . + . = . . + # + + $=
# $
% &
! "
= .# + + $ + µ +
# $
% &
( ) ( )
i Bt i i i Bt i
2 ie e e ie e
icos Bt sin cos Bt
2 2 2 2 2 2
µ µ
! "
=
# $
# $
% &
! "
= # + µ + $= µ
# $
% &
E’ interessante scrivere le equazioni di evoluzione temporale dei valori medi delle componenti del momento angolare.
2 ( )
x x x 2 z x z y
x y y z x
d Lˆ 1 L ,Hˆ ˆ 1 L ,ˆ V r BLˆ B1 L ,Lˆ ˆ B L
dt i i 2m i
d Lˆ 1 L ,Hˆ ˆ B1 L ,Lˆ ˆ B Lˆ
dt i i
! "
! " ! "
= % & = ##% + µ $$& = µ % & = µ
! " ! "
= % & = µ % & = µ
ovvero:
( ) ( )
( ) ( )
x y x t x 0 y 0
y t x y
x x 0 0
d ˆL B L Lˆ Lˆ cos Bt Lˆ sin Bt
dt
d Lˆ B Lˆ L Lˆ sin Bt Lˆ cos Bt
dt
= µ = µ + µ
) = µ + µ
= µ
ovvero:
( ) ( )
( ) ( )
x t x 0
y t y 0
ˆ ˆ
L cos Bt sin Bt L
sin Bt cos Bt
L L
µ µ
= µ µ
Dunque il valor medio della proiezione del momento angolare sul piano xy ruota uniformemente con velocità angolare µB. Visto che il momento angolare è una osservabile vettoriale (il cui valor medio sullo stato ruotato è pari al ruotato del valor medio) si capisce che l’evoluzione temporale dello stato in questione equivale ad una rotazione in blocco dello stato di un angolo µBt. Esplicitamente
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 z
0 0
11 z 11
0 11
iHtˆ iH tˆ i Bt Lˆ 11 i
iE t 11 i Bt Lˆ i iE t 11 Bt i
iE t 11 i
u r
r, , , t e r, , , t 0 e e 3 e cos sin sin
8 r
u r u r
3 3
e e e cos sin sin e e e cos sin sin
8 r 8 r
u r
e 3 e cos sin sin Bt
8 r
µ
µ *
µ *
= = = + =
= + = + =
! "
= % + + µ &
Ovvero lo stato al tempo t è pari allo stato iniziale ruotato attorno all’asse z di un angolo pari a µBt (a parte il fattore di fase dovuto all’energia). Giusto.
