DipartimentodiIngegneria
CorsodiLaurea TriennaleinIngegneria dell'Informazione
tesi dilaurea
Modellizzazione e Controllo
del Sistema Me ani o SEA
Relatore: Prof. MariaElena Val her
1 Introduzione
1.1 Utilizzonel ampo prati o . . . .
1.2 S opoe Organizzazione della Tesi . . . .
2 Des rizione del Modello Dinami o
2.1 Introduzionealmodello . . . .
2.2 Linearizzazione delModello . . . .
3 Stabilità del Sistema Linearizzato
4 Funzionedi trasferimento
5 Controllore Stabilizzante
6 Soddisfa imentodelle ulteriori spe i he
Introduzione
Figura1.1: Rappresentazione del omponenteSEA
1.1 Utilizzo nel ampo prati o
Il omponente SEA(series elasti a tuator)è unattuatore, ioèun omponente
ingradoditrasformareun segnalediinputinmovimento etrovalargospazio di
appli azione nel ampo della roboti a. Un robot he deve operare in qualsiasi
tipo disituazione,ne essita diun'adeguata pre isione e velo ità,masopratutto
diuna urato ontrollo: leforze heagis onotraisuoi omponentiel'ambiente
Il SEA permette di soddisfare queste spe i he, grazie ad una molla elasti a
messa in serie tra un motore (di solito di tipo elettri o) e il ari o da pilotare,
fa ilitando il ontrollo inretroazione ditutto il sistema. Inoltre omporta altri
bene i, tra ui bassa impedenza, basso attrito e buona larghezza di banda
operativa. Esso usa un elemento edevole per ridurre intenzionalmente la sua
rigidezza, in modo da avere una maggiore tolleranza agli urti intrinse hi. Un
sensore misura la deformazione della molla e grazie ad un anello di ontrollo
l'attuatore è in grado di al olare on pre isione la forza dius ita da appli are
mediante lalegge diHooke (
F = Kx
). Queste aratteristi he sonodesiderabili inmolteappli azioni,tra uirobotbipedi, esos heletriperl'ampli azionedelleprestazioni umane, bra i roboti iesospensioniattive.
1.2 S opo e Organizzazione della Tesi
Lo s opo di questa tesi è quello di progettare un ontrollore he ries a a
sod-disfare tutti i requisiti di progetto per il SEA, mediante una serie di metodi e
a orgimenti vistinel orso deitreannia ademi i,partendo dallostudio diun
modellomatemati o hedes rive il prin ipale funzionamento dell'attuatore.
La tesi è strutturata omesegue.
Nel apitolo 2 si introdu e il modello del SEA, e se ne ri er a una forma più
agevoleperlostudio.
Nel apitolo 3 siveri a lastabilità delsistemaneisuoi punti diequilibrio.
Nel apitolo 4 si ri er a la funzione di trasferimento del sistema, he servirà
ome basediappoggioperlaprogettazione diun ontrollore relativo.
soddi-Des rizione del Modello
Dinami o
2.1 Introduzione al modello
Dopo aver vistol'utilizzo in ampo prati o del SEA,possiamo rappresentare il
suofunzionamento, inmodo approssimato, attraverso il seguentes hema:
Figura2.1: Modello delSEA
Si può notare dalla gura he l'attuatore è omposto da un motore il ui
alberoè onnesso attraverso un elemento elasti o (molla torsionale) ad unlink,
doveessoagis everti almente. Ilmodellorisultades rittodalleseguentiequazioni
dierenziali:
I ¨
q = −T ˙q − K(q − θ) − M gl cos (q)
B ¨
θ = −D ˙θ − K(θ − q) + τ
dove
I
rappresental'inerziadellink,T
il oe ientediattritovis osodellink,τ
è la oppia motri e he agis esull'alberodel motore e rappresenta l'ingresso di ontrollo al sistema.M
,g
el
sono rispettivamente la massa e la lunghezza del link el'a elerazione digravità. Sisuppone di onos ereinognimomento lamisura della de essione
σ = θ − q
.2.2 Linearizzazione del Modello
Sipuònotare heilmodelloderivatoperilSEAènonlineareenonsiamoquindi
in grado di studiarne la stabilità on il metodo degli autovalori e on quello
dell'equazione diLyapunov. Pertanto sidevedeterminare unarappresentazione
lineareapprossimatadelmodelloattornoaisuoipuntidiequilibrioperappli are
imetodielen atiinpre edenza. Comeprimo passoperlari er adiquestipunti
si porta il modello in forma di stato non lineare, assumendo ome ingresso
τ
e ome vettore di stato quadridimensionalex(t) = [x
1
, x
2
, x
3
, x
4
]
T
= [q, θ, ˙q, ˙θ]
T
.
Con questeindi azionisi ris rive ilsistema ome:
˙
x
1
= x
3
˙
x
2
= x
4
˙
x
3
= −
T
I
x
3
−
K
I
(x
1
− x
2
) −
M gl
I
cos (x
1
)
˙
x
4
= −
D
B
x
4
−
K
B
(x
2
− x
1
) +
B
1
τ.
Dalla de nizionedipunto diequilibrio adingresso ostante,
x(0)
= x
e
τ (t) = ¯
τ =
ostante, ∀ t ≥ 0,
→
x(t) = x
e
,
∀ t ≥ 0.
si dedu e he un un punto di equilibrio orrisponde ad una soluzione ostante
e quindi la sua derivata è nulla. Pertanto i punti di equilibrio ad ingresso
ostante si trovano studiando le soluzioni dell'equazione algebri a asso iata al
modello di stato, ottenuta imponendo nulle le derivate delle variabili di stato,
ioè
[ ˙
x
1
, ˙
x
2
, ˙
x
3
, ˙
x
4
]
T
= [0, 0, 0, 0]
T
,e assumendo perl'ingresso il valore ostante
desiderato. In tal modo si può notare la notevole sempli azione del sistema,
dal momento he
x
˙
1
= x
3
= 0
ex
˙
2
= x
4
= 0
. Le rimanenti due equazioni da risolvere sono:
0 = −
K
I
(x
1
− x
2
) −
M gl
I
cos (x
1
)
0 = −
K
B
(x
2
− x
1
) +
B
1
¯
τ .
Dalla se onda equazione si ri ava he
x
¯
2
= ¯
x
1
+
¯
τ
K
, he sostituita nella prima equazione porta a¯
τ = M gl cos(x
1
).
Questaequazionehain nitesoluzioni
x
¯
1
= arccos (
¯
τ
assumevaloriin
[0, π]
,prendiamoleduedeterminazioni perk = 0
eperk = −1
, intalmodo avremoun valore positivo in[0, π]
ed unvalorenegativoin(−π, 0)
. Tali soluzioni, sostituite nella pre edente, portano alla determinazione dei duepunti diequilibrio
x
eq
=
arccos (
τ
¯
M gl
) + kπ, arccos (
¯
τ
M gl
) + kπ +
¯
τ
K
, 0, 0
,
k ∈ {−1, 0}.
(2.1)Sinoti helapresenzadi
arccos (·)
,il uiargomentonondeveesseremaimaggiore diuno, introdu e un vin olo sull'ingresso perl'esistenza dei punti diequilibrio:|¯
τ | ≤ M gl
. Fin hè questa ondizione è soddisfatta, il sistema presenta i due punti diequilibrio appena ri avati.Ora si può determinare il sistema linearizzato attorno a ias uno dei punti di
equilibrio,partendo dalseguente sviluppo arrestato aitermini delprim'ordine:
˙
x
i
= f
i
(x) ≃ f
i
(x
eq
) +
∂
∂x
1
f
i
(x
eq
)(x
1
− ¯
x
1
) + . . . +
∂
∂x
4
f
i
(x
eq
)(x
4
− ¯
x
4
)
˙
x
i
rappresenta laderivata di una variabile di stato del sistema, mentref
i
rap-presenta lasuaespressionerelativa. Il terminef
i
(x
eq
)
è nullo perde nizione di punto diequilibrio,sempli andodimoltolaformula. Grazieaquestopossiamos rivereilsistemainforma matri iale:
˙
x
1
˙
x
2
˙
x
3
˙
x
4
=
∂f
1
∂x
1
∂f
1
∂x
2
∂f
1
∂x
3
∂f
1
∂x
4
∂f
2
∂x
1
∂f
2
∂x
2
∂f
2
∂x
3
∂f
2
∂x
4
∂f
3
∂x
1
∂f
3
∂x
2
∂f
3
∂x
3
∂f
3
∂x
4
∂f
4
∂x
1
∂f
4
∂x
2
∂f
4
∂x
3
∂f
4
∂x
4
(x=x
eq
)
(x
1
− ¯
x
1
)
(x
2
− ¯
x
2
)
(x
3
− ¯
x
3
)
(x
4
− ¯
x
4
)
+
0
0
0
1
B
(τ − ¯
τ )
Attraverso leseguentisostituzioni
z
i
= x
i
− ¯
x
i
,u = τ − ¯
τ
ne onseguez
˙
i
= ˙
x
i
,e siottiene unsistemalinearizzato deltipo:˙z = F z + Nu
ovvero, sostituendo leespressioni, sigiungea:
dove
x
¯
1
valearccos (
¯
τ
M gl
)
oppurearccos (
¯
τ
M gl
) − π
.Nelseguitoassumeremolade essione
σ = θ − q
,introdottanell'introduzione del apitolo, ome l'us ita del sistema linearizzato. In forma matri ialel'equa-zione relativarisulta:
Stabilità del Sistema
Linearizzato
Lo studio della stabilità i permette divalutare se lo stato del sistema rimane
an orato ad un suo punto di equilibrio, on iò intendendo he l'eetto di
pi oleperturbazioniattorno ad essovieneannullatoper
t
tendente all'in nito, e quindi lo stato del sistema ritorna asintoti amente nel punto di equilibrio,oppure no. Esistono vari metodi per apire il tipo di stabilità di un punto di
equilibrio,diseguitoverràappli atoilmetododiri er aestudiodegliautovalori
delsistemalinearizzato. Questo riterio fornis euna risposta indue asi:
asintoti a stabilità del puntodi equilibrio setuttigliautovalori
della matri e ia obiana
F
,valutata attorno al punto di equili-brio, risultano a parte reale negativa. In questa situazione, lostatodelsistema onvergeperfettamentealpunto diequilibrio.
instabilità selamatri e
F
haan heunsoloautovaloreapartereale positiva. Lostatodelsistemaasintoti amentedivergedalpuntodiequilibrio.
Nel aso ifosselapresenzadiunoopiùautovaloriaparterealenulla,manessun
autovalore aparte reale positiva,nulla sipotrebbe dire sullastabilitàdelpunto
diequilibrio peril sistemanon lineare.
Diseguitovienepresain onsiderazioneperprima lastabilitàdelsistema
linea-rizzatoattorno alpunto diequilibrio datoin(2.1 ) e orrispondente a
k = 0
. Per sempli arelostudio, vengono introdotti ivalorinumeri i diprogetto per ivariparametriintrodotti inpre edenza. Ivalori sonoiseguenti:
B = 0.0575
Kg m2
/rad;D = 2.5185
Kg m2
/(rad s);M = 0.15
Kg;l = 0.5
m;g = 9.81
m/s2
;I = 0.2156
Kgm2
/rad;T = 1.2
Kgm2
/(rad s);K = 200
Nm/rad;τ = 0.2
Nm. In parti olare si nota he l'ingressoτ (t) = ¯
τ = 0.2
soddisfa la ondizionesistemaasintoti amente stabile.
Diseguitovieneriportatoilsistemalinearizzatoattornoalprimo punto di
equi-librioin uitutti iparametri,tranne
K
,sonostatisostituiti onilorovalori nu-meri i. Sapendo heilvaloredella prima oordinatadelpuntodiequilibrio(l'u-ni a he ompare espli itamente nella matri eIa obiana) è
x
¯
1
= arccos (
u
M gl
) =
1.2955
, sitrova:
˙
z
1
˙
z
2
˙
z
3
˙
z
4
=
0
0
1
0
0
0
0
1
3.28 − 4.64K
4.64K
−5.56
0
17.39K
−17.39K
0
−43.8
|
{z
}
F
z
1
z
2
z
3
z
4
+
0
0
0
17.39
|
{z
}
N
u
Perdedurreil omportamentodelsistemasiri er anogliautovaloridellamatri e
F
, ovvero gli zeri del polinomio aratteristi o det(λI
4
− F ) = 0
, doveI
4
è la matri e d'identità didimensione4
:det
s
0
−1
0
0
s
0
−1
−3.28 + 4.64K
−4.64K
s + 5.56
0
−17.39K
+17.39K
0
s + 43.8
=
= s
4
+ 49.36s
3
+ (240.248 + 22.03K)s
2
+ (−143.684 + 299.92K)s
−57.039K.
Il al oloespli itodeglizeri(informaparametri a)diunpolinomiodiquestotipo
è un'operazione alquanto osti a, tuttavia si può appli are il riterio di Routh:
esso i permette di determinare il numero delle radi i a parte reale positiva di
un generi opolinomio di grado
n
,in modo da trarre una on lusione sullasua stabilità. Siparte dalla ostruzione diunatabella. Essendon = 4
equindipari, nellaprima rigavannoi oe ientideiterminidigradoparidelpolinomioinor-dinedes res ente,nellase ondarigaquellidisparisemprenellostessoordine. Le
righe vengononumerateinordine de res ente, partendo dall'altoverso ilbasso.
Ogni elemento delle righe su essive orrisponde al determinante della matri e
ompostadaivaloridelleduerighe superiori,piúpre isamentelaprima olonna
e la olonnasu essivaaquella dell'elemento da al olare,divisoilprimo
oe - iente( ambiatodisegno)dellarigaimmediatamentesopral'elemento hesista
reale positiva. Seinve elatabella nongiungea ompimento, sièinpresenza di
radi iimmaginarie oapartereale positiva. Diseguitovieneappli atoil riterio
diRouth alpre edente polinomio aratteristi o:
4
1
240.248 + 22.03K
−57.039K
3
49.36
−143.684 + 299.92K
0
2
243.17 + 15.95K
−57.039K
0
1
4783.72(−0.4617 + K)(15.817 + K)
243.17 + 15.95K
0
0
0
−57.039K
0
0
Viene messa la prima olonna sotto forma di sistema, per trovare i valoridi K
he permettano di avere i oe ienti della prima olonna tutti del medesimo
segno:
1 > 0
49.36 > 0
243.17 + 15.95K
> 0
4783.72(−0.4617 + K)(15.817 + K)
243.17 + 15.95K
> 0
−57.039K
> 0
Sempli ando siottiene:
K > −15.2458
K
∈ (−15.817, −15.2458) ∪ (0.4617, ∞)
K < 0
Sipuò notare he non esiste nessun valore diK he soddis tutte e tre le
dise-quazioni. Ne onsegue he il polinomio aratteristi o non può mai avere radi i
tutte negative e quindiil sistemalinearizzato attorno alpunto diequilibrio
po-sitivo risultaessere instabileperqualunque valoreassunto dalla ostanteK.
Sivuole orastudiare dinuovo la stabilitàdelsistema, mastavolta fo alizzando
l'attenzioneattornoalpuntodiequilibrio(2.1) orrispondentea
k = −1
, las ian-dosemprevariarela ostanteelasti aK
. Ri al olandoilpuntousandosempregli stessi parametri progettuali, sitrova ilvalorex
¯
1
= arccos (
u
nuovopunto lamatri e Ia obiana
F
diventa:
0
0
1
0
0
0
0
1
−3.28 − 4.64K
4.64K
−5.56
0
17.39K
−17.39K
0
−43.8
|
{z
}
F
Il suopolinomio aratteristi oè:
det
(λI
4
− F ) = s
4
+ 49.36s
3
+ (246.81 + 22.03K)s
2
+ (143.66 + 299.92K)s + 57.04K
Appli ando il riterio diRouth an he inquesto asosi trova:
4
1
246.81 + 22.03K
+57.04K
3
49.36
+143.66 + 299.92K
0
2
243.9 + 15.95K
+57.04K
0
1
4783.72(0.5+K)(14.68+K)
243.9+15.95K
0
0
0
+57.04K
0
0
da uideriva ilsistema:
1 > 0
49.36 > 0
243.9 + 15.95K
> 0
4783.72(0.5+K)(14.68+K)
243.9+15.95K
> 0
57.04K
> 0
Sempli ando si ottiene:
K > −15.29
K
∈ (−15.29, −14.68) ∪ (−0.5, ∞)
K > 0
può onsiderare ilparametro diprogetto
K = 200
valido perentrambe le on -gurazionidelsistemalinearizzato,siaperquella on puntodiequilibrionegativohe perquella positivo,essendo quest'ultimo instabile per qualsiasi valore della
onstanteelasti a. Proprioperquestomotivo,lostudiosu essivosi on entrerà
sulsistemalinearizzato instabile, er andouna soluzione perrisolvereil
proble-ma. Prima diproseguire,sivuolevalutare ilnumero diautovalori instabilidella
matri e ia obiana del punto di equilibrio instabile per
K = 200
, guardando il ambio disegni nella prima olonna della tabelladi Routh. La olonna risulta:4
1
3
49.36
2
3433.2
1
60004
0 −11419
Funzione di trasferimento
Sebbene sisia onstatato he, onivalori diprogetto dati, l'equilibrio del
siste-ma linearizzato attorno al punto di equilibrio s elto risulti instabile, si può lo
stesso er are di stabilizzarlo mediante un ontrollore stabilizzante. Per prima
osa,bisognari avarelafunzioneditrasferimento: essaèunafunzionerazionale
a oe ienti realidivariabile omplessa he des rive ompletamente il
ompor-tamento delsistema,mettendone inrelazione l'ingressoe l'us ita.
Sipuò ri avaremediantelaseguente formula:
G(s) = H(sI − F )
−1
N
.
Il al olodella matri e inversa
(sI − F )
−1
=
adj(sI − F )
det(sI − F )
di dimensione
4 × 4
risulta un'operazione di oltosa da eseguire. Tuttavia si può trovare solo le omponenti signi ative he ontribuis ono alla funzione ditrasferimento, inbase alla formadi
H
edN
. Detto iò, si sviluppa il al olo diG(s)
:1 −1 0 0
+
det(A
1,1
) −
det(A
2,1
) +
det(A
3,1
) −
det(A
4,1
)
−
det(A
1,2
) +
det(A
2,2
) −
det(A
3,2
) +
det(A
4,2
)
+
det(A
1,3
) −
det(A
2,3
) +
det(A
3,3
) −
det(A
4,3
)
−
det(A
1,4
) +
det(A
2,4
) −
det(A
3,4
) +
det(A
4,4
)
0
0
0
17.39
det(sI − F )
dove
A
i,j
rappresenta il determinante della sottomatri e diF
ottenuta elimi-nando la rigai
e olonnaj
. Risolvendo il prodotto tra matri i al numeratore risulta:Intal asobasta solo al olareitredeterminanti. Sostituendo a
K
ilvalore200
lamatri eF
risulta:
s
0
−1
0
0
s
0
−1
924.72
−928
s + 5.56
0
−3478 +3478
0
s + 43.8
e il primo determinante èdatodalla sottomatri e:
det
(A
4,1
) =
det
0
−1
0
s
0
−1
−928 s + 5.56
0
= −928
mentreil se ondoè: det(A
4,2
) =
det
s
−1
0
0
0
−1
924.72 s + 5.56
0
= s
2
+ 5.56s + 924.72
e on una seriedisempli i al oli sipossonotrovare lesueradi i:
s
1
= 0.538,
s
2
= −6.097
. Il polinomio aratteristi o risulta:det(sI − F ) = s
4
+ 49.36s
3
+ 4646.248s
2
+ 59840.316s − 11407.8
e lesueradi i sono:
s
1
= −17.449 + 61.966i, s
2
= −17.449 − 61.966i, s
3
= −14.65, s
4
= 0.188
. Si onos e tutto quello he serve pers riverelafunzione ditrasferimento:G(s) =
−17.39(s + 6.097)(s − 0.538)
(s + 17.449 − 61.966i)(s + 17.449 + 61.966i)(s + 14.65)(s − 0.188)
=
=
−17.39(s + 6.097)(s − 0.538)
(s
2
+ 34.898s + 4144.253)(s + 14.65)(s − 0.188)
he presenta un poloa parte reale positiva
(+0.188)
, il he omporta, ome già dettoinpre edenza, heilsistemanonsiaBIBOstabile. Diseguitovieneinseritalarisposta algradino assegnato
u(t) = δ
0
50
100
150
200
250
300
350
−2
0
2
4
6
8
10
12
14
x 10
25
Step Response
Time (seconds)
Amplitude
Figura4.1: Rispostaal Gradino
u(t) = δ
Controllore Stabilizzante
Per risolvere il problema della stabilità di
G(s)
, ome primo passo si pro ede onilprogettodiunprimo ontrolloreC
1
(s)
onl'obiettivodirendereilsistema retroazionatoBIBOstabile.La retroazione di un sistema, o ontrollo ad anello hiuso, è di fondamentale
importanza per un sistema dinami o: essa permette di tenere onto dei valori
dellavariabileinus ita, hevengonoriportatiiningressoal ontrollore heagis e
modi andol'ingressodelsistema. Laretroazione puòesseresiaditipopositivo
heditiponegativo,einquesto asovieneusataquest'ultima,per hèpermetteai
risultatidelsistemadi orreggereledeviazionidelsistemastessostabilizzandolo.
Il nuovo sistemainretroazione avrà laseguentefunzioneditrasferimento:
W
1
(s) =
C
1
(s)G(s)
1 + C
1
(s)G(s)
mentre peril ontrollore assumiamolastruttura:
C
1
(s) = k ·
(s + z
1
) . . . (s + z
m
)
(s + p
1
) . . . (s + p
n
)
dove
k
rappresenta ilsuoguadagno diEvans. Dalleequivalenzeappenatrovate, sipuò dedurre he,a menodi an ellazioni, ilsistemaretroazionatodifunzioneditrasferimento
W
1
(s)
ha unnumero dipolipari algradodi:d(s) =
den(C
1
)
den(G) + k ·
num(C
1
)
num(G)
dove num
(·)
e den(·)
sono rispettivamente il numeratore e denominatore del-la funzione tra parentesi. Conseguentemente,W
1
avrà nel denominatore un parametro in ognito, ilguadagno del ontrollorek
. Quindi impostando a pia i-mento ipolie gli zeri del ontrollore,si potrà trovareunvalore (o unintervalloappli atoilLuogodelleradi i, hepermetteunostudiodelsistemaretroazionato
inbaseallaformadel ontrollore: inquesto asovengono onsiderati ontrollori
on due strutture. Prima un ontrollore di tipo puramenteproporzionale e poi
uno proprio, avente uno zeroe unpolo(
n = m = 1
).Il Luogo delle radi i è il luogogeometri o deipoli della funzione omplessa
W
1
des ritto su un piano di Gauss al variare del parametro (reale)k
. Di norma si assume he numeratore e denominatore della funzione di trasferimento sianopolinomi moni i ein tal aso siparla diluogo delle radi i positivo per ilLuogo
orrispondente a valori positivi del parametro
k
e di luogo negativo per quello orrispondente a valori negativi dik
. Nel aso spe i o la rappresentazione a nostradisposizioneperlafunzioneG(s)
hadenominatoremoni omanumeratore nonmoni oe on oe iente onduttorenegativo. Di onseguenza,lostudiodeipoli di
W
1
(s) = kG(s)/[1 + kG(s)]
al variare dik
tra i numeri reali positivi orrisponde (a menodiuna ritaratura)alluogonegativoasso iato allafamigliadi poli e zeri della
G(s)
. Analogo dis orso vale perogni s elta diC
1
(s)
on la struttura pre edentemente indi ata.Il Luogo risulta omposto da rami: essi rappresentano i punti del luogo e
de-s rivononelpianouna urva ontinuaaventeunasuadirezionespe i a. Partono
sempredaunasorgente(unpolodi
G
,rappresentato onuna ro enelgra o)e possonoterminareoinunpuntoterminale(unozerodiG
,rappresentato onun er hionelgra o),oppureinunozeroall'in nito, dettoan hepuntoasintoti o.In parti olare l'ultimo aso si veri a se la funzione in questione presenta più
poli hezeri. Piùpre isamente,unramorappresenta unaradi edi
d(s) + kn(s)
, la quale varia on ontinuità alvariare delparametro realek
: intal modo, per un dato valore dik
, si possono determinare i valori relativi delle varie radi i, ompresa la posizione dei loro punti nel Luogo. Intuitivamente si apis e hepunti appartenenti alluogo e ollo ati vi ino aipoli orrispondono a valori del
parametro
k
prossimia zero, mentrepuntidelluogo ollo ati vi inoagli zeri(o al punto improprio) orrispondono a valori dik
molto elevati. In de nitiva, la BIBOstabilità delsistemaretroazionatosiottiene in orrispondenzaaquell'in-tervallodivaloridi
k
periqualitutti ipuntidelLuogositrovano nelsemipiano negativo,asse immaginario es luso.Prima di inziare il progetto del ontrollore, bisogna notare he la funzione
C
1
deve esserepropria o strettamentepropria, ioè il numerom
dizeri deve essere nonsuperiorealnumeron
dipoli. inquestomodoilnumerodiradi isi onserva, e oin idono sempre on ilnumerodisorgentidel Luogo.−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
−60
−40
−20
0
20
40
60
Root Locus
Real Axis (seconds
−1
)
Imaginary Axis (seconds
−1
)
Figura5.1: Luogo delle radi idi
G(s)
(C
1
(s) = k
)−10
−5
0
5
10
15
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
Root Locus
Real Axis (seconds
−1
)
Imaginary Axis (seconds
−1
)
Figura 5.2: Ingrandimento del Luogo delle radi idi
G(s)
(C
1
(s) = k
)punto del semiasse reale positivo, hiamato punto doppio. Questi due rami
godonodisimmetria oniugata rispettoall'assereale. Pervaloridi
k
piùgrandi, uno deiduerami terminainunozeropositivo(+0.538,ramo blu)mentrel'altrotendea
∞
(ramoverde). Sempresull'assereale,sinota unramo hepartedaun polonegativo(-14.65)evaa−∞
(ramorosso),edunramo hepartedaunpolo positivo (+0.188) e si dirige verso uno zero negativo (-6.097) ( ramo eleste).Per veri are l'intervallo di valori di
k > 0
per ui si ha stabilità BIBO del sistema retroazionato, è ne essariodeterminare i valori dik
he orrispondono alle intersezioni trai rami delLuogo e l'asse immaginario: trovando il valoredik
orrispondentea ias unodiquestipuntiesapendo il omportamento deivari rami, si ries e a determinare l'intervallo di stabilità. In questo aso, sebbene irami he attraversano l'asse immaginario siano tre, ivalori di
k
da onsiderare sono solo due, essendo i due punti di attraversamento omplessi oniugati heorrispondonoalmedesimo valoredi
k
,perviadella simmetriatrailramoverde e blu. Sipossono onsiderarealloraiduevalorik
1
ek
2
,doveil primoè ilvalore dik
nel punto diattraversamento da parte del ramo eleste, mentre il se ondo è quello peril ramo blu. Il ramo blu, ome vistoin pre edenza, è orientato dalsemipiano negativo al positivo, mentre per quello eleste è orientato in verso
opposto. Quindisi può on ludere he esistono valori di
k
in orrispondenza a ui il sistemaretroazionato è BIBO stabile se e solo sek
1
< k
2
e in tal aso il sistemaèBIBOstabileperk
1
< k < k
2
. Nonresta hetrovareivaloriperquesti due parametri. Perdeterminarek
1
ek
2
,si riprendel'equazione delLuogo delle radi idelsistemaretroazionatod(s) =
den(C
1
)
den(G)+k·
num(C
1
)
num(G)
,ela si eguagliaazero, ponendos = iω
,essendo lapartereale dis
nulla,visto he si er ano radi i he appartengono all'asse immaginario. In de nitiva l'equazioneda studiareè laseguente:
d(iω) =
den(G) + k
num(G) = 0
he siris rive ome:
(iω + 14.65)(iω − 0.188)((iω)
2
+ 34.898iω + 4144.253)
−17.39k(iω + 6.097)(iω − 0.538) = 0.
Sempli andola siottiene:
ω
4
+ (17.39k − 4646.194)ω
2
− 11414.1 + 57.04
+i(−49.36ω
3
+ (59838.07 − 96.67k)ω) = 0.
Separando la parte reale e quella immaginaria si ottiene un sistema in due
equazioni e due in ognite:
ω
4
+ (17.39k − 4646.194)ω
2
− 11414.1 + 57.04 = 0
ilquale ha leseguentisoluzioni:
(ω = 0, k = 200.1)
,(ω = ±27.86, k = 222.42)
,(ω = 1.97i, k = 620.984)
. Tuttavia lesoluzioni valide sonoquelle he hannok > 0
eω ∈ ℜ
,quindi l'ultima soluzione può esseres artata. Notando ilvalore diω
, si può onstatare he il valore dik
1
è rappresentato da200.1
, mentre il valoredik
2
da222.42
e iòportaadavereunintervallodistabilitàperilsistema retroazionatopari a200, 1 < k < 222.42
.Tuttavia essorisultamoltopi olo,epertantopuòrenderepiùdi oltosiipassi
su essivi di progetto, permettendo una s arsa libertà di s elta nel guadagno.
Avendo ompletalibertànellas eltadel ontrollore
C
1
(s)
,sipuò er aredi pro-gettarne uno ingradodiaumentare l'intervallo distabilità.Comeprimo passo,si potrebbe er are dieliminare il per orsopositivo deidue
poli omplessi oniugati,efareinmodo heilororamiesistanosolonel
semipia-nonegativo. Inserendounpolonegativonelramo eleste,esattamentetralasua
sorgenteeilsuoterminale,siassisteadunamodi anettadelluogodelleradi i:
il ambiamento piùvistososiha perirami deiduepoli omplessi oniugati, he
oraesistono solonelsemipiano negativo,favorendo osìunintervallodistabilità
più ampio. Tuttavia esistono an ora rami de niti nel semipiano positivo: uno
ollegailpoloappenainserito onlozeroinstabile(+0.538)delpre edenteramo
blumedianteunpuntodoppionegativo,formatosiassiemeall'altroramopositivo
heha omesorgenteilpoloinstabile(+0.188). Questose ondoramoraggiunge
ilsuddetto punto doppioesu essivamenteritornanelsemipiano positivoverso
uno zeroimproprio.
Si s eglie quindi ome valore del polo del ontrollore
p
1
= −5
, se ondo le on-siderazioni fatte. Volendo rendere il ontrollore una funzione propria andiamoadinserire an he unozero, er ando unpunto he non ompromettail risultato
appena ottenuto. Perfare iò, basterà impostare uno zero negativo più grande
in modulo della sorgente della ramo rosso (-14.65), in modo da attirare i due
−40
−30
−20
−10
0
10
−60
−40
−20
0
20
40
60
Root Locus
Real Axis (seconds
−1
)
Imaginary Axis (seconds
−1
)
Figura5.3: Luogo delle radi idi
C
1
G(s)(C
1
= k
(s+20)
(s+5)
)
−6
−4
−2
0
2
4
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Root Locus
Real Axis (seconds
−1
)
Imaginary Axis (seconds
−1
)
Figura5.4: Ingrandimento delLuogo delle radi idi
C
1
G(s)(C
1
= k
(s+20)
(s+5)
)
si può notare he l'intervallo di stabilità orrisponde ai valori di
k
per ui sia i punti del ramo viola he quelli del ramo eleste appartengono al semipianoreale negativo. An he inquesto aso, i sono trepunti diattraversamento, ma
ne vengono onsiderati solo due, pervia della simmetria oniugata tra il ramo
viola e quello eleste. Quindi si possono tenere in onsiderazione solo i due
punti di attraversamento del ramo viola, uno all'origine e uno omplesso, ai
quali orrisponde ilvalore
k
1
ek
2
rispettivamente, ri ordando hedeve risultarek
1
< k
2
e hel'intervallo distabilitàvienede nito omek
1
< k < k
2
. In questo asol'equazione delLuogo delle radi irisulta:(iω + 5)(iω + 14.65)(iω − 0.188)((iω)
2
+ 34.898iω + 4144.253)
−17.39k(iω + 20)(iω + 6.097)(iω − 0.538) = 0
hesempli ata diventa:
54.36ω
4
+ (444.47k − 83069.04)ω
2
+ 1140.8k − 57070.5
+i(ω
5
+ (17.39k − 4892.994)ω
3
+ (287776.25 − 1876.36k)ω) = 0
Risolvendoil sistemadelle equazioni relativealla partereale e aquella
immagi-naria, ome fatto inpre edenza, si ottengono le seguenti soluzioni:
(ω = 0, k =
50.03)
,(ω = ±2.47, k = 145.75)
,(ω = ±7.79i, k = 200.69)
,(ω = ±34.6i, k =
333.96)
, delle qualisolole primeduesonovalide. Stavolta siottienel'intervallo distabilità50.03 < k < 145.75
.Si può notare he questo intervallo è molto più grande del pre edente, quindi,
ome detto inpre edenza, modi are il ontrollore in modo saggio permette di
avereuna essibilitàmaggiore. Il ontrollore alloraassumelaseguente forma:
C
1
= k
(
20
s
+ 1)
(
s
5
+ 1)
on il valore di
k
s elto in modo tale da garantire non solo la stabilità BIBO ma an he un buon transitorio per la risposta al gradino. Di seguito vengonoriportate varie risposte algradino per il sistemaretroazionato
W
1
al variare di0
5
10
15
20
25
30
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
Step Response
Time (seconds)
Amplitude
k=60
k=75
k=90
Figura 5.5: RispostaalGradino
u(t) = δ
−1
(t)
Step Response
Time (seconds)
Amplitude
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
k=105
k=120
k=135
Figura 5.6: RispostaalGradino
u(t) = δ
−1
(t)
res ente delle os illazioni, prima he esso si stabilizzi. Inoltre all'inizio si può
notare he la risposta al gradino assume valori negativi, per poi res ere no a
portarsi ad un valore positivo a regime. Questo pi o negativo è hiamato
un-dershoot ed è ausato dallo zero instabile della funzione di trasferimento
G(s)
, he siriportainW
1
. Talezero purtroppo nonsi può eliminare dalsistema, ma sipuò ontenereisuoieventuali danni. Infattiifenomenios illatori,siapositivihenegativisonodaevitareper hèsetroppoelevatipotrebberodanneggiare
si- amente leparti delsistemastesso. Tuttavia avereunsistema he ha deitempi
disalita lunghi è ontroprodu ente perl'e ienza del sistemastesso. Quindi si
può dedurre he un valore di ompromesso per il guadagno si ha per
k = 90
. Appli ando la formula della retroazione vista in pre edenza si ottiene lanuovafunzione ditrasferimento delsistemaretroazionato:
W
1
(s) =
−1565s
3
− 40000s
2
− −168900s + 102700
s
5
+ 54.36s
4
+ 3328s
3
+ 43070s
2
+ 118900s + 45610
=
=
(s + 20)(s + 6.097)(s − 0.538)
(s + 19.479 − 48.005i)(s + 19.479 + 48.005i)(s + 11.786)(s + 3.159)(s + 0.456)
=
=
(s + 20)(s + 6.097)(s − 0.538)
(s
2
+ 38.96s + 2684)(s + 11.786)(s + 3.159)(s + 0.456)
Inquesto aso lariposta algradino
u(t) = δ
−1
(t)
risulta:0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Step Response
Time (seconds)
Amplitude
Figura5.7: Rispostaal Gradino
u(t) = δ
Siè raggiunto unbuon risultatograzie alla proprietàdella retroazione e al
on-trollore, he hanno permessoalsistemadirisultareBIBOstabile. Tuttavia una
risposta algradinolimitata nonbasta peravereunsistemaadatto per
determi-nate esigenze: essa deve an he rispettare le eventuali spe i he di progetto su
tempidiassestamentoe ampiezzadelleos illazioni. In aso ontrario, bisognerà
Soddisfa imento delle ulteriori
spe i he
L'obiettivo di ontrollo proposto è quello di far sì he il SEA, partendo da
de- essione nulla, si porti a regime on errore nullo ad un valore
σ = ¯
σ
, dove¯
σ
è un valore arbitrario, raggiungendolo in un tempo di assestamento al5%
non superiorea20
se ondi e onun valore dimassimasovraelongazioneparial20%
. La risposta algradino del sistemaretroazionato della funzione ditrasferimentoW
1
, soddisfa sia la spe i a della sovraelongazione he quella del tempo di as-sestamento, mal'errore a regimenon è nullo: questoper hè ilsistemaè ditipo0,quindinonsarà maiingradodiportarsi aregime on ungradino iningresso.
Per rimediare a tale errore bisogna portare il sistema ad un tipo 1 e per fare
iò bisogna moltipli arlo per un integratore, ioè una funzione avente un polo
nell'origine, retroazionando l'intero sistema. In tal modo ora l'errore a gradino
vienesistemato, tuttavia larisposta agradino ambia drasti amente:
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
−1000
−800
−600
−400
−200
0
200
400
600
800
1000
Step Response
Time (seconds)
Amplitude
Figura6.1: RispostaalGradino
u(t) = δ
essa rende hiaramente il sistema instabile, quindi il solo integratore non
basta. Tuttavia le ose si possono sistemare progettando un nuovo ontrollore
C
2
retroazionato alla funzione di trasferimentoW
1
, he ingloba al suo interno l'integratoredes rittoinpre edenza. Seiltuttovieneprogettatoinmodosaggio,il sistema omplessivo, oltre a risultare BIBOstabile, soddisferà tutte le
spe i- he di progetto des ritte inpre edenza. Di seguito viene riportato lo s hema
omplessivodelsistema:
Figura 6.2: S hema omplessivo delsistema
Unabuona stradadaintraprendereèquelladisfruttareigra idiBodeassieme
alla relazione heinter orre trasovraelongazione
S
,tempodiassestamentoT
a
e margine difaseM
φ
,pulsazione diattraversamentoω
T
. Ci sonovarie formule a riguardo, vengonousatequelle he approssimanoil sistemaad anello hiuso onun modello a duepolidominanti:
S = e
−
√
πξ
1−ξ2
ω
T
=
3
ξT
a
M
φ
= 100ξ
ξ = 0.46 ⇒
M
φ
≈ 45
◦
ω
T
≈ 0.33
rad/sI valori appena trovati indi ano le aratteristi he frequenziali alle quali il
dia-grammadiBodedella funzione
W
1
deveadeguarsipersoddisfaretuttele spe i- he di progetto. In parti olare a livello frequenziale bisogna soddisfare leseguenti ondizioni:
ω
1
≈ ω
T
M
1
≥ M
φ
dove
ω
1
,M
1
sono rispettivamente la pulsazione di taglio e il margine di fase della funzioneW
1
. Non resta he introdurre il diagramma di Bode diW
1
per onfrontare ivalori appena trovati:10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
0
45
90
135
180
225
270
315
360
Phase (deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
System: Wuno
Frequency (rad/s): 9.08
Magnitude (dB): 0.0277
Magnitude (dB)
Daigra ipossiamoavereun'ideaapprosimatariguardoallapulsazioneditaglio:
essa risulta all'in ira uguale a
9.1
rad/s, un valore molto diverso da quello di progetto (0.33
rad/s). Per risolvere questo problema bisogna progettare una rete ritardatri e, la quale è in grado di abbassare il modulo del diagramma diBode,in modo da avere una pulsazione ditaglio minore di quella attuale. Tra
le varie reti ritardatri i, si fa riferimento al ontrollore di tipo PI, essendo una
delle soluzioni di ontrollo più sempli i. Il Proporzionale Integratore è un aso
parti olare del ontrollore PID,e ometale ha unasuastruttura de nita:
C
2
(s) =
k
i
s
(1 + s(α))
dove
k
i
è il guadagno del ontrollore e−1/α
il valore dello zero. Da notare he ilPI, ome sievin edal suonome,in lude unintegratore, risolvendo osì ilproblema dell'errore a gradino per
W
1
. Per assegnaredei valori orretti ai suoi parametri, si può attuarre la seguente strategia, partendo dalla de nizione dipulsazione ditaglio:
|
Fdt(iω
a
)| = 1
dove Fdt è una generi a funzione di trasferimento, e
ω
a
la sua pulsazione di taglio relativa. Se si onsiderasse ora la seguente sostituzione Fdt= C
2
∗ W
1
eω
a
= ω
T
= 0.33
rad/s, i si porta nelle ondizioni di progetto prestabilite, ottenendo un'equazione onin ognitek
i
eα
:k
i
(1 + (0.33i)α)
0.33i
−1565.1(0.33i + 20)(0.33i + 6.097)(0.33i − 0.538)
((0.33i)
2
+ 38.96(0.33i) + 2684)(0.33i + 11.786)(0.33i + 3.159)(0.33i + 0.456)
= 1
dopo unaserie dipassaggi siottienelaseguente:
k
i
(1 + (0.33i)α)
0.33i
(0.6873 − 2.0178i)
= 1
laquale può esseresempli ata ulteriolmente:
|(−6.1144 + 0.6873α) + i(−2.0828 − 2.0178α)| =
1
k
i
risolvendo il modulo:4.544α
2
+ 0.0004934α + 41.72 =
1
k
2
i
egrazieall'usodiun al olatore,sipuòtrovareunasoluzioneottimaledi
trodotto oraildiagramma diBode della funzione
C
2
∗ W
1
:Bode Diagram
Frequency (rad/s)
−80
−60
−40
−20
0
20
40
System: untitled1
Frequency (rad/s): 0.33
Magnitude (dB): 0.0745
Magnitude (dB)
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
0
45
90
135
180
225
270
Phase (deg)
Figura6.4: DiagrammadiBode di
C
2
∗ W
1
In questo asosi può notare he la pulsazione di taglioè all'in ir a
0.33
rad/s, mentreil suomarginedifaseè all'in ir a225
◦
− 180
◦
= 45
◦
lafunzione omplessivadel sistemaretroazionato
W
2
:W
2
(s) =
C
2
W
1
1 + C
2
W
1
=
=
−328s
4
− 8602s
3
− 40980s
2
− 2076s + 14340
s
6
+ 54.36s
5
+ 3000s
4
+ 34460s
3
+ 77920s
2
+ 43530s + 14340
=
=
−328(s + 20)(s + 6.097)(s − 0.538)(s + 0.666)
(s
2
+ 40.61s + 2409)(s + 10.982)(s + 2.152)(s
2
+ 0.62s + 0.252)
e lasuarispostaalgradino relativa:
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Step Response
Time (seconds)
Amplitude
Figura6.5: RispostaalGradino
u(t) = δ
−1
(t)
diW
2
dal quale si possono ri avarele seguenti aratteristi he: tipo
1
(ovvero errore a regime al gradino nullo), sovraelongazione massima del15.6%
, tempo di asse-stamento al5%
pari a ir a11.6
se ondi, tutti valori he soddisfano in modo e iente lespe i he diprogetto. Sebbene il fenomenodell'undershoot non sia[1℄ M. Bisia o and M. Val her, Controlli Automati i. Padova Ita: Libreria
Progetto, 2008.
[2℄ M. Bisia o and M. Val her, Lezioni di Controlli Automati i. PADOVA
ITA:EdizioniLibreria Progetto, 2002.
[3℄ M. Bisia o and S.Braghetto, Teoria dei Sistemi Dinami i. BOLOGNA
1.1 Rappresentazione del omponenteSEA . . . .
2.1 Modello delSEA . . . .
4.1 Risposta alGradino
u(t) = δ
−1
(t)
. . . . 5.1 Luogo delle radi idiG(s)
(C
1
(s) = k
) . . . . 5.2 Ingrandimento delLuogo delle radi i diG(s)
(C
1
(s) = k
). . . . . 5.3 Luogo delle radi idiC
1
G(s)(C
1
= k
(s+20)
(s+5)
)
. . . . 5.4 Ingrandimento delLuogo delle radi i diC
1
G(s)(C
1
= k
(s+20)
(s+5)
)
. . 5.5 Risposta alGradinou(t) = δ
−1
(t)
. . . . 5.6 Risposta alGradinou(t) = δ
−1
(t)
. . . . 5.7 Risposta alGradinou(t) = δ
−1
(t)
. . . . 6.1 Risposta alGradinou(t) = δ
−1
(t)
diW
1
/s
retroazionato . . . . . 6.2 S hema omplessivo delsistema . . . .6.3 DiagrammadiBode di
