Il problema dell'ago ari o
Il problema
Si trattadi apire qual e la distribuzione di ari a all'equilibrioperun ago
ari o (se esiste).
Considero l'ago ome aso limite di un ellissoide rotondo allungato, per il
quale si onos e la soluzione esatta [1℄.
Soluzione per l'ellissoide
Sianoa,b, ,e i soliti simboliin usoperl'ellisse. Assumo oordinate arte-
siane (x;y;z), on z lungo l'asse maggiore; x e y di onseguenza.
Pongo
r
1
= p
u 2
+(z+ ) 2
r
2
= p
u 2
+(z ) 2
= r
1 +r
2
2
= r
1 r
2
2 :
(1)
dove u= p
x 2
+y 2
.
Si vede he va da 1 (sul segmento tra i fuo hi) a 1; da 1 a 1. Le
super i = ost:sono equipotenziali; quindi si puo assumere he il onduttore
abbia =
0
>1 e potenziale V
0
. Inoltre
{ Ilsemiasse maggiore vale
0 .
{ Ilsemiasse minore vale p
2
0 1.
{ L'e entri ita e 1=
0 .
In queste oordinate il potenziale si s rive ([1℄ in fondo a pag. 1285):
V(x;y;z)=V
0
log(+1) log ( 1)
log(
0
+1) log (
0 1)
=W
log (+1) log ( 1)
on ovvia abbreviazione.
Inversione
Conviene invertire le (1):
u= p
(
2
1)(1 2
)
z =
x =u os'
y =u sin'
z = :
(2)
Mi serviranno lerelazioni
u
=
2
u
(1 2
)
u
=
2
u
(
2
1): (3)
La metri a
Voglio al olare
ds 2
=dx 2
+dy 2
+dz 2
:
Abbiamo dalle (2)
dx 2
+dy 2
=du 2
+u 2
d' 2
dz= (d+d)
dz 2
= 2
(
2
d
2
+ 2
d
2
+2dd)
e dalle (3)
du=
2
u
[(1 2
)d (
2
1)d℄
du 2
=
4
u 2
2
(1 2
) 2
d
2
+ 2
(
2
1) 2
d
2 2
2
u 2
dd
= 2
2
(1 2
)
2
1 d
2
+
2
(
2
1)
1 2
d
2
2dd
ds 2
= 2
2
2
2
1 d
2
+ 2
2
2
1 2
d
2
+ 2
(
2
1)(1 2
)d' 2
:
Ne segue perl'elemento di volume
dV = 3
(
2
2
)ddd' (4)
e per l'elemento di super ie (ellissoide =
0 )
dS = 2
q
(
2
0
1)(
2
0
2
)dd': (5)
Esempio 1
Appli hiamo la (4)al al olodel volumedel solidodelimitatodalla super -
ie =
0
. Avremo
V =2
3
0
Z
1 d
1
Z
1 d(
2
2
)=2
3
2
3 (
3
0 1)
2
3 (
0
1)
= 4
3
3
0 (
2
0
1)= 4
3
ab 2
:
Cal oliamo on la (5) la super ie dell'ellissoide:
S=2
2 q
2
0 1
1
Z
1 d
q
2
0
2
= 4
2
2
0 q
2
0 1
Z
0 os
2
tdt
=2b
a
e
ar sine+b
(ho posto e=sin ).
La densita di ari a super iale
Si ri ava da
="
0
jgradVj
per =
0
. Abbiamo
gradV = dV
d
grad
dV
d
=
2W
2
1
grad = 1
2
(gradr
1
+gradr
2 )=
1
2
r+ k
r
1 +
r k
r
2
dove ke il versore dell'asse z.
Quindi
=
"
0 W
(
2
0 1)
r+ k
r
1 +
r k
r
2
=
"
0 W
(
2
0
1)r
1 r
2 j(r
1 +r
2
)r+ (r
2 r
1 )kj
=
"
0 W
(
2
0
1)r
1 r
2 q
2(r 2
+ 2
) 2
+2r
1 r
2 (r
2
2
) 8 2
z 2
:
Osservando he dalle(1) r
1 r
2
= 2
(
2
2
) abbiamo
=
"
0 W
3
(
2
0
1)(
2
0
2
) q
2(r 2
+ 2
) 2
+2 2
(
2
0
2
)(r 2
2
) 8 4
2
0
2
:
Poi, sempre dalle (1) r 2
+ 2
= 2
(
2
+ 2
) e sostituendo
=
2"
0 W
p
(
2
0
1)(
2
0
2
)
: (6)
Q=4
2 q
2
0 1
1
Z
0
() q
2
0
2
d =8"
0
W (7)
=
8"
0 V
0
log(
0
+1) log (
0 1)
: (8)
Si veri a he per
0
!1 si ha asintoti amente
Q =4"
0 aV
0
he e la orretta relazione per un onduttore sferi o.
Dalla(8) si ha la apa ita
C =
8"
0
log (
0
+1) log (
0 1)
:
Si vede he C ! 0 per
0
! 1, il he e ragionevole: un pezzo nito di lo,
di diametrotras urabile, ha apa ita nulla. Dobbiamo quindi aspettar i Q!0
se si fa il limite a potenziale ostante, mentre V
0
! 1 se si fa il limite a Q
ostante. La (8) mostra proprio questo.
Distribuzione limite
La guraapag.seguente rappresentalasezionenelpiano(x;z)dellesuper-
iequipotenziali(ellissoidi) edelle lineedel ampo (iperboli);le primein blue
le se onde in rosso o aran io. Ilsegmento mar atodell'asse z e l'equipotenziale
limite
0
=1. Tutte leellissi eiperboli sono onfo ali: ifuo hisono agliestremi
del segmento.
La gura rimane la stessa se si ambia la super ie onduttri e ( =
0 )
e an he se si ambia il potenziale V
0
su questa. Se si tiene ssa la ari a Q,
usandola(8),ilpotenzialeinognipuntoean heil amponon ambiano,per he
il usso di E e lo stesso su ogni ellissoide. La densita di ari a sul onduttore
ha l'espressione
=
Q
4
2 p
(
2
0
1)(
2
0
2
)
he dis ende dalle (6), (7). Usando la (5)
dS = Q
4
dd': (9)
x z
Consideriamo ora la stris ia di onduttore ompresa fra e +d. Al
variare di
0
(quindi del onduttore) questa stris ia resta sempre ompresa fra
due iperboloidi ( = ost: su un iperboloide). La ari a dQ sulla stris ia si
ottieneintegrando la (9) su ',ossia moltipli ando per 2:
dQ= 1
2 Qd
espressione herestavalidaan heallimite
0
!1,ossiaseil onduttoresiridu e
alsegmentolungo2 dell'assez. Ma l'ultimadelle(2)per =1 idi edz = d,
quindi al limite
dQ= Q
2 dz
e la densitalineare risulta ostante:
= Q
2 :
Risultato inatteso: non 'e al una on entrazione di ari a agli estremi!
Bibliogra a
[1℄ Morse & Feshba h: Methods of Theoreti al Physi s (M Graw{Hill 1953),
1284-1285.
